1

LỜI NÓI ĐẦU

Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức

xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng

dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện,

đ

iều khiển từ xa ... Hệ thống thông tin vô tuyến này ngày càng trở nên quan

trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng

đ

iện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là

rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền

tảng về giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân và đạo hàm

riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang

học sóng và điện học trong Vật lý đại cương.

Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của

chương trình hoàn thiện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và học tập của

Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao

gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau:

Chương 0 Một số công thức toán học

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell

Chương 3 Sóng điện từ phẳng

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ

Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn

giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc

để

giáo trình được hoàn thiện hơn.

Tác giả

Võ Xuân Ân

2

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu

1

Chương 0 Một số công thức toán học

3

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ

8

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell

32

Chương 3 Sóng điện từ phẳng

60

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ

90

Tài liệu tham khảo

107

3

Chương 0

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

1. Vector

{

}

z

y

x

z

y

x

a

k

a

j

a

i

a

,

a

,

a

a

r

r

r

r

+

+

=

=

{

}

z

y

x

z

y

x

b

k

b

j

b

i

b

,

b

,

b

b

r

r

r

r

+

+

=

=

{

}

z

y

x

z

y

x

c

k

c

j

c

i

c

,

c

,

c

c

r

r

r

r

+

+

=

=

•

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

.

a

+

+

=

r

r

•

(

)

(

)

(

)

x

y

y

x

z

x

x

z

y

z

z

y

z

y

x

z

y

x

b

a

b

a

k

b

a

b

a

j

b

a

b

a

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

−

+

−

+

−

=

=

×

r

r

r

r

r

r

r

r

•

( )

b

,

a

cos

b

a

b

.

a

r

r

r

r

r

r

=

•

c

b

a

r

r

r

=

×

Phương:

( )

b

,

a

c

r

r

r

⊥

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai

Độ

lớn:

( )

b

,

a

sin

b

a

c

r

r

r

r

r

=

•

(

)

( )

( )

b

.

a

.

c

c

.

a

.

b

c

b

a

r

r

r

r

r

r

r

r

r

−

=

×

×

2. Toán tử nabla













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

z

,

y

,

x

3. Gradient

z

U

k

y

U

j

x

U

i

U

.

gradU

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

r

r

r

4. Divergence

z

a

y

a

x

a

a

.

a

div

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

r

r

5. Rotary

4













∂

∂

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

×

∇

=

y

a

x

a

k

x

a

z

a

j

z

a

y

a

i

a

a

a

z

y

x

k

j

i

a

a

rot

x

y

z

x

y

z

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

Số phức

Hàm mũ

(

)

y

sin

i

y

cos

e

e

e

x

iy

x

z

+

=

=

+

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có

1

k

2

sin

i

k

2

cos

e

i

k

2

=

π

+

π

=

π

Suy ra

z

i

k

2

z

i

k

2

z

e

e

.

e

e

=

=

π

π

+

Công thức Euler

e

iy

= cosy +isiny

Khi đó số phức z = r e

iϕ

= r(cosϕ +isinϕ)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

(1)

Trong đó:

a

1

, a

2

và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a

1

, a

2

≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

(2)

a

1

, a

2

là các hàm của biến x

5

Định lí 1.

Nếu y

1

= y

1

(x) và y

2

= y

2

(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C

1

y

1

+ C

2

y

2

(trong đó C

1

, C

2

là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.

Hai hàm y

1

(x) và y

2

(x) là độc lập tuyến tính khi

( )

( )

const

x

y

x

y

2

1

≠

, ngược lại là phụ

thuộc tuyến tính

Định lí 2.

Nếu y

1

(x) và y

2

(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi

phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C

1

y

1

+ C

2

y

2

(trong đó C

1

, C

2

là 2

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.

Định lí 3.

Nếu đã biết một nghiệm riêng y

1

(x) của phương trình vi phân từ

trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y

2

(x) của

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y

1

(x) bằng cách đặt y

2

(x) = y

1

(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

(3)

Trong đó:

a

1

và a

2

là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0

Định lí 1.

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm

riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).

Định lí 2.

Cho phương trình không thuần nhất

)

x

(

f

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

2

1

+

=

+

′

+

′′

(4)

Nếu y

1

(x) là nghiệm riêng của phương trình

)

x

(

f

y

a

y

a

y

1

2

1

=

+

′

+

′′

(5)

và y

2

(x) là nghiệm riêng của phương trình

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

2

1

=

+

′

+

′′

(6)

thì y(x) = y

1

(x) + y

2

(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

6

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0

qy

y

p

y

=

+

′

+

′′

(7)

p, q là các hằng số

Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng

kx

e

y =

(8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định

Suy ra

kx

ke

y =

′

,

kx

2

e

k

y =

′′

(9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có

(

)

0

q

pk

k

e

2

kx

=

+

+

(10)

Vì e

kx

≠ 0 nên

0

q

pk

k

2

=

+

+

(11)

Nếu k thoả mãn (11) thì y = e

kx

là một nghiệm riêng của phương trình vi

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

phân (7)

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k

1

và k

2

như sau

- k

1

và k

2

là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình

vi phân (7) là

x

k

1

1

e

y =

,

x

k

2

2

e

y =

(12)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì

(

)

const

e

y

y

x

k

k

2

1

2

1

≠

=

−

(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

x

k

2

x

k

1

2

1

2

1

e

C

e

C

y

y

y

+

=

+

=

(14)

- k

1

và k

2

là 2 số thực trùng nhau: k

1

= k

2

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:

x

k

1

1

e

y =

,

x

k

2

1

xe

y =

7

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

(

)

x

k

2

1

x

k

2

x

k

1

1

1

1

e

x

C

C

xe

C

e

C

y

+

=

+

=

(15)

- k

1

và k

2

là 2 số phức liên hợp: k

1

= α

α

α

α + iβ

β

β

β và k

2

= α

α

α

α - iβ

β

β

β

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là

(

)

(

)

x

i

x

x

i

2

x

i

x

x

i

1

e

e

e

y

e

e

e

y

β

−

α

β

−

α

•

β

α

β

+

α

•

=

=

=

=

(16)

Theo công thức Euler ta có

x

sin

i

x

cos

e

x

sin

i

x

cos

e

x

i

x

i

β

−

β

=

β

+

β

=

β

−

β

(17)

Suy ra

(

)

(

)

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

x

i

x

2

x

x

i

x

1

β

−

β

=

=

β

+

β

=

=

α

β

−

α

•

α

β

α

•

(18)

Nếu

•

1

y

và

•

2

y

là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm

x

sin

e

i

2

y

y

y

x

cos

e

2

y

y

y

x

2

1

2

x

2

1

1

β

=

+

=

β

=

+

=

α

•

•

α

•

•

(19)

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì

const

x

tg

y

y

2

1

≠

β

=

(20)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

(

)

x

sin

C

x

cos

C

e

x

sin

e

C

x

cos

e

C

y

2

1

x

x

2

x

1

β

+

β

=

β

+

β

=

α

α

α

(21)

8

Chương 1

CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1. Vector cường độ điện trường

• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện

trường

E

q

F

r

r

=

(1.1)

Hay:

q

F

E

r

r

=

(1.2)

• Cđđt

E

r

tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó

• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q

2

0

0

r

r

4

Qq

F

r

r

πεε

=

(1.3)

-

m

/

F

10

.

854

,

8

12

0

−

=

ε

- hằng số điện

- ε - độ điện thẩm tương đối

-

0

r

r

- vector đơn vị chỉ phương

• Hệ đt điểm

n

2

1

q

,...,

q

,

q

∑

∑

=

=

πεε

=

=

n

1

i

2

i

i

0

i

0

n

1

i

i

r

r

q

4

1

E

E

r

r

r

(1.4)

i

0

r

r

- các vector đơn vị chỉ phương

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

∫

ρ

πεε

=

l

2

l

0

l

r

r

dl

4

1

E

r

r

(1.5)

9

∫

ρ

πεε

=

S

2

S

0

S

r

r

dS

4

1

E

r

r

(1.6)

∫

ρ

πεε

=

V

2

V

0

V

r

r

dV

4

1

E

r

r

(1.7)

1.1.2. Vector điện cảm

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector điện cảm

D

r

E

D

0

r

r

εε

=

(1.8)

1.1.3. Vector từ cảm

• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển

độ

ng hay dòng điện theo định luật Lorentz

B

v

q

F

r

r

r

×

=

(1.9)

• Từ trường do phần tử dòng điện

l

Id

r

tạo ra được xác định bởi định luật thực

nghiệm BVL

(

)

r

l

Id

r

4

B

d

2

0

r

r

r

×

π

µµ

=

(1.10)

-

m

/

H

10

.

257

,

1

10

.

4

6

7

0

−

−

=

π

=

µ

- hằng số từ

- µ - độ từ thẩm tương đối

• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l

∫

×

π

µµ

=

l

2

0

r

r

l

Id

4

B

r

r

r

(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử

dụng vector cường độ từ trường

H

r

10

0

B

H

µµ

=

r

r

(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện

tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq

I −

=

(1.13)

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn

đ

iện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

E

v

v

e

n

J

0

r

r

r

r

σ

=

ρ

=

=

(1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm

- n

0

- mật độ hạt điện có điện tích e

- ρ - mật độ điện khối

-

v

r

- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện

- σ - điện dẫn suất

• Dòng điện qua mặt S được tính theo

∫

∫

∫

σ

=

=

=

S

S

S

S

d

E

S

d

J

dI

I

r

r

r

r

(1.15)

• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp

U, ta có

(lưu ý: áp dụng c/t S = L

2

và

L

S

L

R

ρ

=

ρ

=

)

R

U

LU

)

EL

)(

L

(

ES

EdS

I

S

=

σ

=

σ

=

σ

=

σ

=

∫

(1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm

Vì

E

r

và

S

d

r

cùng chiều, đặt

11

RL

1

=

σ

(1.17)

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích

• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng

không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng

đ

iện.

• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện

tích giảm đi từ thể tích V đó.

• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có

∫

ρ

=

V

dV

Q

(1.18)

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ

∫

ρ

−

=

−

=

V

dV

dt

d

dt

dQ

I

(1.19)

Mặt khác

∫

=

S

S

d

J

I

r

r

(1.20)

Suy ra

∫

∫

∂

ρ

∂

−

=

V

S

dV

t

S

d

J

r

r

(1.21)

Theo định lý OG

( )

∫

∫

∫

∂

ρ

∂

−

=

∇

=

V

V

S

dV

t

dV

J

.

S

d

J

v

r

r

(1.22)

Suy ra

0

t

J

.

=

∂

ρ

∂

+

∇

v

(1.23)

Đ

ây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên

tục.

1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường

12

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ

• Các phương trình:

E

D

0

r

r

ε

ε

=

(1.24)

µ

µ

=

0

B

H

r

r

(1.25)

gọi là các phương trình vật chất

• ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính

• ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường

không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng

số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường

không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.

Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến

µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,

không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na

+

, Cl

-

có các lớp

electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO

2

, H

2

O,

thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các

nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ

lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.

• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách

đ

iện hay điện môi

Chất dẫn điện: σ > 10

4

1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10

-10

< σ < 10

4

13

Chất cách điện: σ < 10

-10

, σ = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0

1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

• Thông lượng của vector điện cảm

D

r

qua mặt S là đại lượng vô hướng được

xác định bởi tích phân

∫

=

Φ

S

E

S

d

D

r

r

(1.26)

S

d

r

: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài

dS.cos(

D

r

,

S

d

r

) : hình chiếu của S lên phương

D

r

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của

D

r

do q

tạo ra qua mặt kín S, ta có

(

)

Ω

π

=

π

=

=

Φ

d

4

q

r

4

S

d

,

D

cos

.

dS

.

q

S

d

D

d

2

r

r

r

r

(1.27)

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của

D

r

qua toàn mặt kín S là

q

d

4

q

S

d

D

S

=

Ω

π

=

=

Φ

∫

∫

Ω

r

r

(1.28)

• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'

D

r

S

d

r

S

dΩ

r

r

q

14

(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông

lượng của

D

r

qua toàn mặt kín S bằng 0.

• Xét hệ điện tích điểm q

1

, q

2

, ..., q

n

đặt trong mặt kín S, ta có

∑

=

=

n

1

i

i

D

D

r

r

(1.29)

Thông lượng của

D

r

do hệ q

1

, q

2

, ..., q

n

gây ra qua toàn mặt kín S

Q

q

S

d

D

S

d

D

n

1

i

i

n

1

i

S

i

S

=

=

=

=

Φ

∑

∑∫

∫

=

=

r

r

r

r

(1.30)

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm

D

r

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng

đạ

i số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q

1

, q

2

, ..., q

n

, do đó Φ có thể âm

hoặc dương

• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được

tính theo

Q

dV

S

d

D

V

S

E

=

ρ

=

=

Φ

∫

∫

r

r

(1.31)

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-

Gauss đối với điện trường.

Nguyên lý liên tục của từ thông

• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là

dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

D

r

S

d

r

A

B

q

15

• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm

B

r

. Thông

lượng của

B

r

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số

đườ

ng sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của

B

r

được tính

theo

0

S

d

B

S

M

=

=

Φ

∫

r

r

(1.32)

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương

trình cơ bản của trường điện từ

1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này

xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường

E

r

có chiều

là chiều của dòng điện cảm ứng đó.

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện

nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt

của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì

đườ

ng sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm

cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì

hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng

đ

iện !).

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng

đ

iện thì công phải khác 0, có nghĩa là

0

l

d

E

q

l

≠

∫

r

r

(1.33)

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.

Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian

cũng tạo ra một điện trường xoáy.

16

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh

trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi

qua diện tích của vòng dây

dt

d

e

c

Φ

−

=

(1.34)

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện

cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ

∫

=

Φ

S

S

d

B

r

r

(1.35)

là thông lượng của vector từ cảm

B

r

qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra

∫

∫

∫













∂

∂

−

=













−

=

−

=

Φ

−

=

S

S

S

c

S

d

t

B

S

d

dt

B

d

S

d

B

dt

d

dt

d

e

r

r

r

r

r

r

(1.36)

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e

c

theo lưu số của vector cường độ

đ

iện trường

E

r

∫

=

l

c

l

d

E

e

r

r

(1.37)

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn

của

B

r

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta

có

S

d

r

B

r

l

d

r

S

17

∫

∫













∂

∂

−

=

S

l

S

d

t

B

l

d

E

r

r

r

r

(1.38)

Đ

ây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ.

Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường

cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo

thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

(

)

∫

∫

×

∇

=

S

l

S

d

E

l

d

E

r

r

r

r

(1.39)

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

(1.40)

Đ

ây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng

đố

i với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.

1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường

xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để

đả

m bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell

đư

a ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ

trường.

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không

gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

18

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,

Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường

H

r

dọc theo một đường cong kín bất

kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

I

I

l

d

H

n

1

i

i

l

=

=

∑

∫

=

r

v

(1.41)

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện

J

r

thì

∫

∫

=

S

l

S

d

J

l

d

H

r

r

r

v

(1.42)

Đị

nh luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường

đ

iện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện

toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ

giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.

Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức

dP

0

d

0

d

J

J

t

P

t

E

t

D

J

r

r

v

r

r

r

+

=

∂

∂

+

∂

∂

ε

=

∂

∂

=

(1.43)

Trong đó:

J

r

l

d

r

S

d

r

I

i

S

19

t

P

J

dP

∂

∂

=

v

r

- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các

đ

iện tích

t

E

J

0

0

d

∂

∂

ε

=

r

r

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng

đ

iện dịch

Để

chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt

kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ

đ

iện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên

E

r

và dòng điện biến thiên chạy

qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản

tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

t

E

S

I

0

0

d

∂

∂

ε

′

=

r

(1.44)

Theo định luật Gauss

S

E

S

d

E

q

0

S

0

′

ε

=

ε

=

∫

r

r

(1.45)

S

S

d

S

′

=

∫

r

vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đố

i với môi trường chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

S

S'

+q

-q

E

r

~

20

t

E

S

S

d

E

dt

d

dt

dq

I

0

S

0

∂

∂

ε

′

=

ε

=

=

∫

r

r

r

(1.46)

Suy ra

I = I

d0

(1.47)

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch

ngoài tụ điện.

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta

có

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương

đương dòng điện dẫn)

∫

∫

∫

∂

∂

+

=

S

S

l

S

d

t

D

S

d

J

l

d

H

r

r

r

r

r

v

(1.48)

Hay

∫

∫













∂

∂

+

=

S

l

S

d

t

D

J

l

d

H

r

r

r

r

v

(1.49)

Đ

ây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

(

)

∫

∫

×

∇

=

S

l

S

d

H

l

d

H

r

r

r

v

(1.50)

Suy ra

d

J

J

t

D

J

H

r

r

r

r

r

+

=

∂

∂

+

=

×

∇

(1.51)

Đ

ây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một

phương trình cơ bản của trường điện từ

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)

thì do

0

E

J

=

σ

=

r

r

, ta có:

0

d

0

J

t

E

H

r

r

r

=

∂

∂

ε

=

×

∇

(1.52)

21

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn.

1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra

đ

iện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ

trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Đ

iện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một

trường thống nhất gọi là trường điện từ.

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các

hạt mang điện.

- Phương trình Maxwell-Faraday

Dạng tích phân

∫

∫













∂

∂

−

=

S

l

S

d

t

B

l

d

E

r

r

r

r

(1.53)

Dạng vi phân

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

(1.54)

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến

thiên và điện trường xoáy.

- Phương trình Maxwell-Ampere

Dạng tích phân

∫

∫













∂

∂

+

=

S

l

S

d

t

D

J

l

d

H

r

r

r

r

v

(1.55)

Dạng vi phân

t

D

J

H

∂

∂

+

=

×

∇

r

r

r

(1.56)

22

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

- Định lí OG đối với điện trường

Dạng tích phân

q

S

d

D

S

=

∫

r

r

(1.57)

Theo giải tích vector:

∫

∫

∇

=

V

S

dV

D

.

S

d

D

r

r

r

và

∫

ρ

=

V

dV

q

, ta có

Dạng vi phân

ρ

=

∇ D

.

r

(1.58)

Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ

các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn

- Định lí OG đối với từ trường

Dạng tích phân

0

S

d

B

S

=

∫

r

r

(1.59)

Dạng vi phân

0

B

. =

∇

r

(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình

Maxwell

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

t

D

J

H

∂

∂

+

=

×

∇

r

r

r

(1.61)

ρ

=

∇ D

.

r

0

B

. =

∇

r

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

23

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.

Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập

với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn

ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho

nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài

O

J

r

.

Đ

.luật Ohm dạng vi phân:

(

)

O

O

E

E

J

J

r

r

r

r

+

σ

=

+

(1.62)

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường

điện từ tự do

. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

t

D

J

J

H

O

∂

∂

+

+

=

×

∇

r

r

r

r

(1.63)

ρ

=

∇ D

.

r

0

B

. =

∇

r

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là

môi trường điện môi:

E

D

0

r

r

εε

=

môi trường dẫn điện:

E

J

r

r

σ

=

môi trường từ hoá:

H

B

0

r

r

µµ

=

, ta có

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

t

E

J

E

H

0

O

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

(1.64)

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

0

H

. =

∇

r

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

24

• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện

dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài

0

J

J

O

=

ρ

=

=

r

r

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

t

E

H

0

∂

∂

εε

=

×

∇

r

r

(1.65)

0

E

. =

∇

r

0

H

. =

∇

r

Nhận xét:

E

r

và

H

r

đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối

xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

M

J

r

- mật độ dòng từ ngoài

ρ

M

- mật độ từ khối

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không

đ

iện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

t

E

J

H

0

E

∂

∂

εε

+

=

×

∇

r

r

r

, J

E

≡

J

O

(1.66)

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

Ứ

ng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn

đ

iện), mà không cần phải giải cả hai.

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

25

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể

biểu diễn dưới dạng phức, ta có

•

=

E

re

E

r

r

•

=

H

re

H

r

r

(1.67)

•

=

J

re

J

r

r

•

ρ

=

ρ

re

Với:

Trong đó:

(

)

z

y

x

i

mz

i

my

i

mx

m

m

e

E

k

e

E

j

e

E

i

z

,

y

,

x

E

E

ϕ

ϕ

ϕ

•

•

+

+

=

≡

r

r

r

r

r

gọi là biên độ phức

của

•

E

r

; ϕ

x

, ϕ

y

, ϕ

z

là các pha ban đầu

Khi đó

m

0

m

H

i

E

•

•

ωµµ

−

=

×

∇

r

r

Em

m

0

m

J

E

i

E

H

•

•

•

•

+

ωεε

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

(1.69)

0

m

m

E

.

εε

ρ

=

∇

•

•

r

0

H

. =

∇

•

r

1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đ

oạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

D

1n

- D

2n

= ρ

S

ρ

S

mật độ điện mặt

(1.70)

t

i

m

e

ω

•

•

ρ

=

ρ

;

t

i

m

e

E

E

ω

•

•

=

r

r

;

t

i

m

e

H

H

ω

•

•

=

r

r

;

t

i

m

e

J

J

ω

•

•

=

r

r

(1.68)

26

Khi ρ

S

= 0 ta có: D

1n

= D

2n

hay

1

2

n

2

n

1

E

E

ε

ε

=

- đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường

E

1τ

= E

2τ

,

1

2

2

1

D

D

ε

ε

=

τ

τ

(1.71)

- đối với thành phần pháp tuyến của từ trường

B

1n

= B

2n

,

1

2

n

2

n

1

H

H

µ

µ

=

(1.72)

- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường

H

1τ

- H

2τ

= I

S

I

S

dòng điện mặt

Khi I

S

= 0 ta có: H

1τ

= H

2τ

hay

1

2

2

1

B

B

µ

µ

=

τ

τ

(1.73)

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn

lí tưởng có σ

2

= ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa

là

0

H

E

2

2

=

=

r

r

.

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ

0

H

;

E

2

2

≠

r

r

thì dưới tác

dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó

cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả

trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí

tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn.

Khi đó ta được

E

1n

=

1

S

ε

ρ

E

1τ

= 0

H

1n

= 0

H

1τ

= I

S

(1.74)

27

Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành

phần pháp tuyến của

E

r

và thành phần tiếp tuyến của

H

r

1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

W = W

E

+ W

M

=

(

)

∫

ω

+

ω

V

M

E

dV

=

∫













µµ

+

εε

V

2

0

2

0

dV

2

H

2

E

- Định lí Umov Poynting

Đ

ã chứng minh được

O

t

S

P

P

dt

dW

S

d

−

−

−

=

Π

∫

r

r

(1.75)

Trong đó

H

E

r

r

r

×

=

Π

(W/m

2

) vector Poynting

Phương trình =

∫

∫

σ

=

V

2

V

dV

E

dV

E

J

r

r

r

công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn

J

r

gây ra trong V

P

O

=

∫

V

E

dV

E

J

r

r

công suất của nguồn ngoài trong thể tích V

(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ

trong thể tích V

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn

hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của

vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó.

Vector Poynting

Π

r

biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ.

1.10. Định lí nghiệm duy nhất

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn

các điều kiện sau

28

1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t

0

= 0 ở tại bất

kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu,

tức là

(

)

0

,

z

,

y

,

x

E

E

0

r

r

=

khi t = 0

(

)

0

,

z

,

y

,

x

H

H

0

r

r

=

(1.76)

2. Biết thành phần tiếp tuyến của

E

r

và thành phần tiếp tuyến của

H

r

tại mặt

giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ hay

còn gọi là điều kiện biên

E = E

τ|S

hoặc H = H

τ|S

với 0 < t < ∞

(1.77)

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào

đ

ó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các

đ

iều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất.

1.11. Nguyên lí tương hỗ

Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và

các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian.

1. Bổ đề Lorentz

Dạng vi phân













−

−

−

−

=













×

∇

−













×

∇

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

m

1

m

2

m

2

m

1

H

J

H

J

E

J

E

J

H

E

.

H

E

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(1.78)

Dạng tích phân

∫

∫













−

−













−

=

=

























×

−













×

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

S

m

1

m

2

m

2

m

1

dV

H

J

H

J

E

J

E

J

dS

H

E

H

E

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(1.79)

V → ∞, ta có

29

0

dV

H

J

H

J

E

J

E

J

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

=













−

−













−

∫

•

•

•

•

•

•

•

•

r

r

r

r

r

r

r

r

(1.80)

2. Nguyên lí tương hỗ

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

bố trong V

1

, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V

2

và 2 thể tích này không có

miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V → ∞

chia thành 3 miền V

1

, V

2

và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn

lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được

viết lại

∫

∫













−

=













−

•

•

•

•

•

•

•

•

2

V

m

1

m

2

M

m

1

m

2

E

1

V

m

2

m

1

M

m

2

m

1

E

dV

H

J

E

J

dV

H

J

E

J

r

r

r

r

r

r

r

r

(1.81)

gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác

nhau.

1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động

Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định

mối quan hệ giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và

môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau.

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ

6

6

5

5

4

4

M

3

3

E

2

2

1

1

a

t

;

a

l

;

a

J

;

a

J

;

a

E

;

a

H

α

=

α

=

α

=

α

=

α

=

α

=

r

r

r

r

r

r

r

r

(1.82)

4

3

2

1

a

;

a

;

a

;

a

r

r

r

r

là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của

cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian

6

5

a

;

a

là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian

Các hệ số tỉ lệ α

i

có thứ nguyên tương ứng là

α

1

[A/m], α

2

[V/m], α

3

[A/m

2

], α

4

[V/m

2

], α

5

[m], α

6

[s]

Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây

t

E

J

E

H

0

E

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

, J

E

≡

J

O

(1.83)

30

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

Ta được

3

3

6

2

2

1

1

a

c

a

a

c

c

a

r

r

r

+

∂

∂

+

=

×

∇

(1.84)

6

1

5

4

4

2

a

a

c

a

c

a

∂

∂

−

−

=

×

∇

r

r

r

Các hệ số tỉ lệ c

i

không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau

1

5

2

1

c

α

α

σα

=

;

6

5

2

2

c

α

α

εα

=

;

1

5

3

3

c

α

α

α

=

;

2

5

4

4

c

α

α

α

=

;

6

2

5

1

5

c

α

α

α

µα

=

Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ

khác nhau qua hệ số c

i

. Hai hệ điện từ có các hệ số c

i

tương ứng bằng nhau gọi

là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau.

1.13. Trường tĩnh điện

Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi

theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau

0

E =

×

∇

r

ρ

=

∇ D

.

r

(1.85)

E

D

0

r

r

εε

=

1.14. Từ trường của dòng điện không đổi

0

E =

×

∇

r

ρ

=

∇ D

.

r

(1.86)

E

D

0

r

r

εε

=

J

H

r

r

=

×

∇

0

B

. =

∇

r

(1.87)

H

B

0

r

r

µµ

=

31

Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện

trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện

không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn

E

J

r

r

σ

=

, còn điện trường tĩnh thì không

tồn tại bên trong vật dẫn.

32

Chương 2

TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

- µ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

Đặ

t ε’ = εε

0

và µ’ = µµ

0

- ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối

- µ’ là độ từ thẩm tuyệt đối

Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả

nguồn điện và từ ngoài

t

E

J

E

H

0

E

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

(1)

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

(2)

(2.1)

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

(3)

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

(4)

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm

E

r

,

H

r

và các nguồn điện và

từ nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn.

Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)

(

) ( )

(

)

(

)

E

t

J

E

H

H

.

H

0

E

2

r

r

r

r

r

r

×

∇

∂

∂

εε

+

×

∇

+

×

∇

σ

=

∇

−

∇

∇

=

×

∇

×

∇

(1)

(

) ( )

(

)

H

t

J

E

E

.

E

0

M

2

r

r

r

r

r

×

∇

∂

∂

µµ

−

×

−∇

=

∇

−

∇

∇

=

×

∇

×

∇

(2)

(2.2)

Suy ra

33

M

M

0

M

0

E

0

2

2

0

0

2

J

t

J

1

J

t

H

t

H

H

r

r

r

r

r

r

σ

+

∂

∂

εε

+

ρ

∇

µµ

+

×

−∇

=

∂

∂

σ

µµ

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

(1)

t

J

1

J

t

E

t

E

E

E

0

0

M

0

2

2

0

0

2

∂

∂

µµ

+

ρ

∇

εε

+

×

∇

=

∂

∂

σ

µµ

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

r

r

r

(2)

Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn

E

r

hoặc

H

r

. Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế

phải là các hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn

và điện môi lí tưởng σ = 0, ta có

0

t

H

H

2

2

0

0

2

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

(1)

0

t

E

E

2

2

0

0

2

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

(2)

(2.4)

2.2. Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau.

2.2.1. Đối với nguồn điện

Để

đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng σ = 0 hệ phương trình

Maxwell (2.1) được viết lại

t

E

J

H

0

E

∂

∂

εε

+

=

×

∇

r

r

r

(1)

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

(2)

(2.5)

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

(3)

0

H

. =

∇

r

(4)

Đặ

t:

(

)

E

0

A

1

H

r

r

×

∇

µµ

=

(2.6)

34

E

A

r

gọi là thế vector điện

Dễ thấy rằng:

(

)

0

A

.

1

H

.

E

0

=

×

∇

∇

µµ

=

∇

r

r

Đư

a (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được

0

t

A

E

E

=













∂

∂

+

×

∇

r

r

(2.7)

Suy ra

E

E

t

A

E

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

(2.8)

Lưu ý

0

E

=

ϕ

∇

×

∇

(2.9)

ϕ

E

là thế vô hướng điện

E

A

r

và ϕ

E

được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện

Như vậy:

H

r

và

E

r

được biểu diễn qua

E

A

r

và ϕ

E

theo các công thức (2.6) và

(2.8) tương ứng.

Tìm

E

A

r

và ϕ

E

?

Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay

H

r

và

E

r

vào (1) của (2.5) ta có

E

0

E

0

0

E

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

.

t

A

A

r

r

r

r

µµ

−

=













∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

∇

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

(2.10)

E

A

r

và ϕ

E

được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ

0

t

A

.

E

0

0

E

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

r

(2.11)

(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn

Phương trình sóng (2.10) được viết lại

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

A

r

r

r

µµ

−

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

(2.12)

Từ công thức (2.8) thay

E

r

vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có

35

0

2

E

2

0

0

E

2

t

εε

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

−

ϕ

∇

(2.13)

Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không

thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường

đ

iện từ đối với nguồn điện.

E

A

r

và ϕ

E

2.2.2. Đối với nguồn từ

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ

= 0 có dạng

t

E

H

0

∂

∂

εε

=

×

∇

r

r

(1)

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

(2)

(2.14)

0

E

. =

∇

r

(3)

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

(4)

Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có

(

)

M

0

A

1

E

r

r

×

∇

εε

−

=

M

M

t

A

H

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

(2.15)

M

0

2

M

2

0

0

M

2

J

t

A

A

r

r

r

εε

−

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

0

M

2

M

2

0

0

M

2

t

µµ

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

−

ϕ

∇

(2.16)

0

t

A

.

M

0

0

M

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

r

(2.17)

M

A

r

và ϕ

M

là các thế điện động đối với nguồn từ

36

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và

nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và

nguồn từ, có nghĩa là

(

)

E

M

0

E

A

1

t

A

E

ϕ

∇

−

×

∇

εε

−

∂

∂

−

=

r

r

r

(

)

M

M

E

0

t

A

A

1

H

ϕ

∇

−

∂

∂

−

×

∇

µµ

=

r

r

r

(2.18)

Nhận xét:

E

r

và

H

r

được biểu diễn qua

E

A

r

và ϕ

E

hoặc

M

A

r

và ϕ

M

làm cho hệ

phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp

dùng các thế điện động.

2.2.3. Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc

ω thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng

biên độ phức như sau

Em

0

2

Em

2

2

Em

2

J

t

A

k

A

•

•

•

µµ

−

=

∂

∂

−

∇

r

r

r

0

m

2

Em

2

2

Em

2

t

k

εε

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

−

ϕ

∇

•

•

Mm

0

2

Mm

2

2

Mm

2

J

t

A

k

A

•

•

•

εε

−

=

∂

∂

−

∇

r

r

r

(2.19)

0

Mm

2

Mm

2

2

Mm

2

t

k

µµ

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

−

ϕ

∇

•

•

Trong đó:

0

0

k

µµ

εε

ω

=

là số sóng trong môi trường

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình

Hemholtz

Biểu thức của

E

r

và

H

r

có dạng

37

Em

Mm

0

Em

A

1

A

i

E

•

•

•

ϕ

∇

−













×

∇

εε

−

ω

−

=

r

r

r

(2.20)

Mm

Mm

Em

0

t

A

A

1

H

•

•

•

ϕ

∇

−

∂

∂

−













×

∇

µµ

=

r

r

r

Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau

Em

0

0

Em

A

.

1

•

•

∇

µµ

ωεε

=

ϕ

r

(2.21)

Mm

0

0

Mm

A

.

1

•

•

∇

µµ

ωεε

=

ϕ

r

Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều

hoà chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector

Em

A

•

r

và

Mm

A

•

r

2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

Đặ

t

t

A

E

0

0

E

∂

Γ

∂

µµ

εε

=

r

r

(2.22)

Trong đó:

E

Γ

r

gọi là vector Hertz điện

Thay (2.22) vào (2.6) ta được

(

)

(

)

E

0

E

0

t

A

1

H

Γ

×

∇

∂

∂

εε

=

×

∇

µµ

=

r

r

r

(2.23)

Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được

(

)

0

.

t

E

E

=

ϕ

+

Γ

∇

∂

∂

r

(2.24)

Suy ra

E

E

.Γ

−∇

=

ϕ

r

(2.25)

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được

38

(

)

2

E

2

0

0

E

E

E

t

.

t

A

E

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∇

=

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

r

r

(2.26)

Nhận xét:

E

r

và

H

r

đươc biểu diễn qua vector Hertz điện

E

Γ

r

Tìm

E

Γ

r

?

Thay (2.22) vào (2.12) ta được

E

0

2

E

2

0

0

E

2

0

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

t

t

A

A

r

r

r

r

r

µµ

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

µµ

εε

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

(2.27)

Hay

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

1

t

t

r

r

r

εε

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

(2.28)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được

∫

εε

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

t

0

E

0

2

E

2

0

0

E

2

dt

J

1

t

r

r

r

(2.29)

Đặ

t

∫

=

t

0

E

E

dt

J

P

r

r

(2.30)

E

P

r

gọi là vector phân cực của nguồn điện

Phương trình (2.29) được viết lại

0

E

2

E

2

0

0

E

2

P

t

εε

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

r

r

r

(2.31)

Như vậy: vector phân cực

E

P

r

là nguồn tạo ra vector Hertz điện

E

Γ

r

. Do đó

E

Γ

r

còn gọi là thế vector phân cực điện.

2.3.2 Vector Hertz từ

Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn

của hệ phương trình Maxwell ta có

t

A

M

0

0

M

∂

Γ

∂

µµ

εε

=

r

r

(2.32)

39

Trong đó:

M

Γ

r

gọi là vector Hertz từ

M

M

.Γ

−∇

=

ϕ

r

(2.33)

(

)

M

0

t

E

Γ

×

∇

∂

∂

µµ

−

=

r

r

(2.34)

(

)

2

M

2

0

0

M

t

.

H

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∇

=

r

r

r

(2.35)

Nhận xét:

E

r

và

H

r

đươc biểu diễn qua vector Hertz từ

M

Γ

r

Tìm

M

Γ

r

?

M

0

2

M

2

0

0

M

2

J

1

t

t

r

r

r

µµ

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

(2.36)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được

∫

µµ

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

t

0

M

0

2

M

2

0

0

M

2

dt

J

1

t

r

r

r

(2.37)

Đặ

t

∫

=

t

0

M

M

dt

J

P

r

r

(2.38)

M

P

r

gọi là vector từ hoá của nguồn từ

(2.37) được viết lại

0

M

2

M

2

0

0

M

2

P

t

µµ

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

r

r

r

(2.39)

Như vậy: vector từ hoá

M

P

r

là nguồn tạo ra vector Hertz từ

M

Γ

r

. Do đó

M

Γ

r

còn gọi là thế vector từ hoá.

Nhận xét:

E

r

và

H

r

được biểu diễn qua vector Hertz điện

E

Γ

r

hoặc vector

Hertz từ

M

Γ

r

đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động.

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

40

Trường hợp các vector Hertz điện

E

Γ

r

và vector Hertz từ

M

Γ

r

chỉ có một

thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện

E

Γ

r

và vector Hertz từ

M

Γ

r

theo phương z là

E

E

kΓ

=

Γ

r

r

(2.40)

M

M

kΓ

=

Γ

r

r

(2.41)

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện

E

Γ

r

một thành phần) sẽ

có

H

r

theo phương z bằng 0 (H

z

= 0), còn các thành phần khác của

H

r

nói chung

khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ

M

Γ

r

một thành phần) sẽ có

E

r

theo phương z bằng 0 (E

z

= 0), còn các thành phần khác của

E

r

nói chung khác

0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường

đ

iện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình

d’ Alambert chỉ cần xác định

E

r

hoặc

H

r

. Do đó có thể sử dụng một hàm vô

hướng để đại diện cho ϕ

E

và ϕ

M

hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ

Decac của

E

Γ

r

,

M

Γ

r

,

E

A

r

và

M

A

r

, phương trình d’ Alambert được viết lại

g

t

2

2

0

0

2

−

=

∂

ψ

∂

µµ

εε

−

ψ

∇

(2.42)

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất

không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức

là tìm nghiệm của phương trình sau

0

t

2

2

0

0

2

=

∂

ψ

∂

µµ

εε

−

ψ

∇

(2.43)

41

Đố

i với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính

đố

i xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có

( )

ψ

∂

∂

=

∂

ψ

∂

+

∂

ψ

∂

=

ψ

∇

r

r

r

r

1

r

r

2

r

2

2

2

2

2

(2.44)

Đặ

t φ = rψ ta có

0

t

r

2

2

0

0

2

2

=

∂

φ

∂

µµ

εε

−

∂

φ

∂

(2.45)

Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là













+

+













−

=

φ

v

r

t

f

v

r

t

f

2

1

(2.46)

Suy ra

r

v

r

t

f

r

v

r

t

f

2

1













+

+













−

=

ψ

(2.47)

Trong đó:

0

0

1

v

µµ

εε

=

là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f

1

và f

2

là

các hàm tuỳ ý

r

v

r

t

f

1













−

mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn → vô cùng

r

v

r

t

f

2













+

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn

Điều kiện bức xạ tại vô cùng:

0

E

ik

t

E

r

lim

r

=













+

∂

∂

∞

→

r

r

0

H

ik

t

H

r

lim

r

=













+

∂

∂

∞

→

r

r

(2.48)

Trong đó:

0

0

k

µµ

εε

ω

=

là số sóng

42

Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên

theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43)

cho nguồn điểm là hàm f

1

và loại bỏ hàm f

2

Vậy

r

v

r

t

f

1













−

=

ψ

(2.49)

Nếu r → 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình

sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải

chọn dạng của f

1

sao cho ψ là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và

phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng.

Ở

trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại

g

2

−

=

ψ

∇

(2.50)

gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là

∫

π

=

ψ

V

dV

r

g

4

1

(2.51)

Lưu ý :

r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo

(2.49) và (2.51) ta chọn dạng hàm của f

1

như sau













−

π

=













−

v

r

t

g

4

1

v

r

t

f

1

(2.52)

Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là

( )

∫













−

′

π

=

ψ

V

dV

r

v

r

t

,

r

g

4

1

t

,

r

(2.53)

Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở

thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là

v

r

t =

′

(2.54)

43

Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời

gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ.

Tương tự như nghiệm (2.53) ta có

( )

∫













−

′

π

µµ

=

V

E

0

E

dV

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

(2.55)

( )

∫













−

′

π

εε

=

V

M

0

M

dV

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

(2.56)

Đố

i với trường điều hoà ta có

ikr

t

i

ikr

m

v

r

t

i

m

e

g

e

e

g

e

g

v

r

t

g

−

•

ω

−

•













−

ω

•

•

=

=

=













−

(2.57)

( )

ikr

E

v

r

t

i

Em

E

e

t

A

e

A

v

r

t

A

−

•













−

ω

•

•

=

=













−

r

r

r

(2.58)

( )

ikr

M

v

r

t

i

Mm

M

e

t

A

e

A

v

r

t

A

−

•













−

ω

•

•

=

=













−

r

r

r

(2.59)

Các thế chậm

M

E

A

,

A

,

•

•

•

ψ

r

r

được tính là

( )

(

)

∫

−

•

•

′

π

=

ψ

V

ikr

dV

r

e

t

,

r

g

4

1

t

,

r

(2.60)

( )

(

)

∫

−

•

•

′

π

µµ

=

V

ikr

E

0

E

dV

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

(2.61)

44

( )

(

)

∫

−

•

•

′

π

εε

=

V

ikr

M

0

M

dV

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

(2.62)

2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện

Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của

anten.

Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng

đ

iện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài

Để

đơn giản ta có giả thiết như sau

- đặt trong điện môi lí tưởng: σ = 0; ε, µ = const

- l << λ, l là chiều dài của lưỡng cực điện và λ là bước sóng của trường

đ

iện từ do nó phát ra

- Dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện biến thiên điều hoà với tần số góc

ω

- r >> l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực

đ

iện

Ứd phương pháp thế chậm để tính trường

2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện

Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục

lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có

dạng

t

i

m

t

i

m

Se

J

k

e

I

k

I

ω

•

ω

•

•

=

=

r

r

r

r

(2.63)

Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện

Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl

nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế

chậm của lưỡng cực điện là

ikr

m

0

l

ikr

m

0

V

ikr

m

0

Em

Em

e

r

4

l

I

k

dl

r

e

I

4

k

dV

r

e

J

4

k

A

k

A

−

•

−

•

−

•

•

•

π

µµ

=

π

µµ

=

π

µµ

=

=

∫

∫

r

r

r

r

r

(2.64)

45

Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của

dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên

khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường

đề

u bằng r.

Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức

θ

θ

−

θ

=

sin

cos

r

k

0

0

r

r

r

(2.65)

0

r

r

và

0

θ

r

là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu

Khi đó (2.64) được viết lại

(

)

θ

θ

−

θ

π

µµ

=

−

•

•

sin

cos

r

r

4

le

I

A

0

0

ikr

m

0

Em

r

r

r

(2.66)

Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là

(

)













θ

θ

−

θ

×

∇

π

=













×

∇

µµ

=

−

•

•

•

sin

cos

r

r

e

4

l

I

A

1

H

0

0

ikr

m

Em

0

m

r

r

r

r

(2.67)

Suy ra

r

e

sin

ik

r

1

4

l

I

H

ikr

m

0

m

−

•

•

θ













+

π

ϕ

=

r

r

(2.68)

0

ϕ

r

là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu

Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có

m

0

m

E

i

H

•

•

ωεε

=

×

∇

r

r

(2.69)

Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là













θ













+

−

θ

+

θ













+

ωεε

π

=













×

∇

ωεε

=

−

•

•

•

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

.

.

r

e

i

4

l

I

H

i

1

E

2

2

0

2

0

ikr

0

m

m

0

m

r

r

r

r

(2.70)

46

Nhận xét: Các biểu thức tính

•

E

r

và

•

H

r

trong (2.68) và (2.70) của bức xạ

lưỡng cực điện đều có thừa số

r

e

ikr

−

và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng

pha là mặt cầu bán kính r.

Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc

dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha v

ph

Ta có phương trình của mặt đẳng pha là

φ = ωt – kr = const

dφ = ωdt – kdr = 0

(2.72)

Và

k

dt

dr

v

ph

ω

=

=

(2.73)

Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với e

iωt

và lấy phần thực của

•

E

r

và

•

H

r

ta có giá trị tức thời của chúng là

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

H

H

E

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

1

r

k

1

sin

r

4

lk

I

E

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

r

k

1

cos

r

2

lk

I

E

kr

t

sin

kr

t

cos

kr

1

sin

r

4

lk

I

H

r

2

2

0

2

m

2

2

0

2

m

r

m

=

=

=













−

ω

−

−

ω













−

θ

πωεε

=













−

ω

−

−

ω

θ

πωεε

=













−

ω

−

−

ω

θ

π

=

θ

ϕ

θ

ϕ

(2.74)

2.5.2. Trường ở vùng gần

Khi r << λ nhưng vẫn đảm bảo giả thiết r >> l thì gọi là trường ở vùng gần

Do r << λ nên kr =

r

2

λ

π

<< 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé

bậc cao so với

kr

1

và độ lệch pha kr ta có

47

t

sin

sin

r

4

l

I

E

t

sin

cos

r

2

l

I

E

t

cos

sin

r

4

l

I

H

3

0

m

3

0

m

r

2

m

ω

θ

πωεε

=

ω

θ

πωεε

=

ω

θ

π

=

θ

ϕ

(2.75)

Nhận xét: H

ϕ

lệch pha so với E

r

và E

θ

một góc

2

π

nên vector Poynting

trung bình

tb

Π

r

= re

•

Π

r

= 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực

đ

iện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính

chất sóng, gọi là vùng cảm ứng . Hình 2.1 trình bày cấu trúc đường sức của

E

r

và

H

r

2.5.3. Trường ở vùng xa

Khi r >> λ thì thì gọi là trường ở vùng xa

Do r >> λ nên kr =

r

2

λ

π

>> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé

bậc cao so với

kr

1

ta có

(

)

(

)

(

)

(

)

kr

t

sin

sin

r

2

l

I

kr

t

sin

sin

r

4

lk

I

E

kr

t

sin

sin

r

2

l

I

kr

t

sin

sin

r

4

lk

I

H

0

0

m

0

2

m

m

m

−

ω

θ

εε

µµ

λ

−

=

−

ω

θ

πωεε

=

−

ω

θ

λ

−

=

−

ω

θ

π

=

θ

ϕ

(2.76)

Nhận xét:

I

E

r

E

r

H

r

E

r

E

r

E

r

48

- Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần H

ϕ

và E

θ

đồ

ng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector

Poynting phức chỉ có phần thực

tb

Π

r

= re

•

Π

r

≠ 0, năng lượng trường điện từ bức

xạ vào trong không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ

- Biên độ của H

ϕ

và E

θ

tỉ lệ với ω, tỉ lệ nghịch với λ. Nếu có cùng giá trị

dòng điện I

m

, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì H

ϕ

và E

θ

càng lớn

- Biên độ của H

ϕ

và E

θ

tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện

có tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng

2

π

và

bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện θ = 0.

- Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ

hướng. Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(θ, ϕ), là hàm được xác

đị

nh bởi biểu thức:

(

)

θ

=

=

ϕ

θ

sin

E

E

,

F

max

(2.77)

2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ

Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức

S

d

P

S

tb

bx

r

r

∫

Π

=

(2.78)

θ

θ

=

0

0

θ

= 90

0

E =

0

E = E

max

Mặ

t ph

ẳ

ng kinh tuy

ế

n

ϕ

Mặ

t ph

ẳ

ng v

ĩ

tuy

ế

n

Z

49

Trong đó

θ

ωεε

π

=

Π

2

0

3

2

3

2

2
m

tb

sin

r

32

k

l

I

r

r

r

(2.79)

Vi phân mặt cầu

dS = r

2

sinθdθdϕ

Suy ra

bx

2
m

0

0

2

2

2
m

0

3

2

0

0

3

2

3

2

2
m

bx

R

2

I

12

k

l

I

d

sin

d

r

32

k

l

I

P

=

εε

µµ

π

=

θ

θ

ϕ

ωεε

π

=

∫

∫

π

π

(2.80)

Trong đó

2

0

0

0

0

2

bx

1

3

2

6

lk

R













λ

εε

µµ

=

εε

µµ

π

=

(2.81)

R

bx

- trở bức xạ của lưỡng cực điện

Đặ

t

0

0

c

z

εε

µµ

=

[Ω]

(2.82)

z

c

- trở sóng của môi trường

Trong chân không hoặc không khí, ta có ε = µ = 1, do đó

Ω

=

π

=

ε

µ

=

377

120

z

0

0

0

c

d

θ

d

ϕ

H

r

E

r

S

d

r

I

r

50

Ω













λ

=













λ

π

=

2

2

2

0

bx

1

790

1

80

R

W

1

I

395

P

2

2
m

0

bx













λ

=

2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ

Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten

Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ

biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực

đ

iện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay

H

r

bằng

E

r

, thay

E

r

bằng

H

r

, thay µ bằng - ε và thay

m

I

•

bằng

Mm

I

•

−

r

e

sin

ik

r

1

4

l

I

E

ikr

Mm

0

m

−

•

•

θ













+

π

ϕ

−

=

r

r

(2.83)













θ













+

−

θ

+

θ













+

ωµµ

π

=

−

•

•

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

r

e

i

4

l

I

H

2

2

0

2

0

ikr

0

Mm

m

r

r

r

(2.84)

Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là

sóng cầu,

E

r

,

H

r

~ r, ω

E

r

,

H

r

có tính định hướng trong không gian

I

E

r

E

r

E

r

E

r

E

r

H

r

51

Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực

đ

iện thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với

E

r

và

H

r

đổi chỗ cho nhau

2.6.1 Trường điện từ của vòng dây

Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1

vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi I

m

chạy qua tương tự như lưỡng cực

từ. Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố.

Giả sử:

- mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu

- kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó

phát ra

- dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω:

t

i

m

e

I

I

ω

•

•

=

với

biên độ và pha dọc theo đường dây có giá trị như nhau

Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra

∫

−

•

•

′

π

µµ

=

V

ikr

m

0

Em

dV

e

r

J

4

A

r

r

(2.85)

Trong đó: r’ là khoảng cách từ điểm Q đến yếu tố vi phân

l

d

r

Ta có:

l

Sd

dV

r

=

,

l

d

I

l

Sd

J

dV

J

m

m

m

r

r

r

r

•

=

=

(2.86)

Suy ra

∫

′

π

µµ

=

−

•

•

l

ikr

m

0

Em

l

d

r

e

4

I

A

r

r

(2.87)

Vì dòng điện chạy trong dây dẫn chỉ theo phương vĩ tuyến ϕ nên thế chậm

Em

A

•

r

của nó cũng chỉ có 1 thành phần hướng theo phương vĩ tuyến

Thí dụ:

52

Xét 2 yếu tố vi phân

l

d

r

của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng

P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng

P gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân

l

d

r

lại phân tích thành 2

yếu tố vi phân:

l

d ′′

r

// (P) và

l

d ′

r

⊥ (P).

Nhận xét:

- thế vector do các yếu tố vi phân

l

d ′′

r

tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng

hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu

- thế vector do các yếu tố vi phân

l

d ′

r

tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng

hướng với nhau nên tăng gấp đôi.

Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân

l

d ′

r

. Hơn nữa

do tính đối xứng của

l

d ′

r

đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo

nửa vòng dây và nhân đôi

Ta có:

dl’ = dl cosϕ = Rcosϕ dϕ

(2.88)

Trong đó: R là bán kính của vòng dây

Suy ra:

∫

ϕ

′

ϕ

π

µµ

ϕ

=

−

•

•

V

ikr

m

0

0

Em

d

r

cos

e

2

R

I

A

r

r

(2.89)

P

ϕ

θ

r

r’

O

a

a’

b

R

I

Q

O

a’

R

I

ϕ

ϕ

dl

dl’’

dl’

dl’

dl’’

dl

53

Trong đó:

0

ϕ

r

là vector đơn vị hướng theo phương vĩ tuyến, theo hình vẽ

trên ta có các hệ thức sau

2

2

2

ab

aQ

r

+

=

′

,

ϕ

−

+

=

cos

ROa

2

R

Oa

ab

2

2

2

(2.90)

Hay

ϕ

θ

−

+

=

ϕ

−

+

+

=

′

cos

sin

Rr

2

R

r

cos

ROa

2

R

Oa

aQ

r

2

2

2

2

2

2

(2.91)

Trong đó: r là khoảng cách từ O đến Q

Theo giả thiết r’ >> R nên cho R

2

= 0 và từ (2.91) ta có

ϕ

θ

−

≈

ϕ

θ

−

=

ϕ

θ

−

=

′

cos

sin

R

r

cos

sin

r

R

2

1

r

cos

sin

Rr

2

r

r

2

Suy ra

ϕ

θ

+

=













ϕ

θ

+

≈

≈

ϕ

θ

−

=

ϕ

θ

−

=

′

cos

sin

r

R

r

1

cos

sin

r

R

1

r

1

cos

sin

r

R

1

1

r

1

cos

sin

R

r

1

r

1

2

Và

(

)

(

)

(

)

(

)

ϕ

θ

+

ϕ

θ

=

=

=

≈

−

ϕ

θ

−

ϕ

θ

−

−

′

−

cos

sin

kR

sin

i

cos

sin

kR

cos

e

e

e

e

e

ikr

cos

sin

ikR

ikr

cos

sin

R

r

ik

r

ik

Khi λ >> R thì kR << 1, do đó có thể xem

(

)

1

cos

sin

kR

cos

≈

ϕ

θ

(

)

ϕ

θ

≈

ϕ

θ

cos

sin

kR

cos

sin

kR

sin

Suy ra

(

)

ϕ

θ

+

≈

−

′

−

cos

sin

ikR

1

e

e

ikr

r

ik

Thay vào tích phân trong (2.89) ta có













+

θ

π

=

ϕ

ϕ

′

−

−

∫

ik

r

1

sin

r

e

2

d

cos

r

e

ikr

V

ikr

(2.92)

Và

54

2

ikr

m

0

0

Em

R

ik

r

1

sin

r

4

e

I

A













+

θ

µµ

ϕ

=

−

•

•

r

r

(2.93)













θ













+

−

θ

+

θ













+

=

−

•

•

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

r

e

4

R

I

H

2

2

0

2

0

ikr

2

m

m

r

r

r

(2.94)













+

θ

ωεε

ϕ

=













×

∇

ωεε

=

−

•

•

•

ik

r

1

sin

r

i

4

le

k

R

I

H

i

1

E

0

ikr

2

2

m

0

m

0

m

r

r

r

(2.95)

Dễ thấy rằng trường bức xạ của vòng dây dẫn có tính chất tương tự như

trường bức xạ của lưỡng cực từ và sẽ hoàn toàn giống nhau nếu thoả mãn điều

kiện sau

2

m

0

Mm

R

I

i

l

I

π

µµ

=

ω

•

•

(2.96)

Đặ

t

ω

=

=

•

•

•

i

l

I

l

q

P

Mm

Mm

M

r

r

r

(2.97)

M

P

•

r

gọi là moment lưỡng cực từ

Đặ

t

2

m

0

0

m

0

0

Mv

R

I

S

S

I

S

P

π

µµ

=

µµ

=

•

•

•

r

r

r

(2.98)

Mv

P

•

r

gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện

m

I

•

và diện tích S

Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương

nhau

Mv

M

P

P

•

•

=

r

r

(2.99)

Từ các biểu thức (2.94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ

của vòng dây ở vùng xa là

55

(

)

(

)

kr

t

cos

sin

r

4

k

R

I

E

kr

t

cos

sin

r

4

k

R

I

H

0

0

2

2

m

2

2

m

−

ω

θ

εε

µµ

=

=

−

ω

θ

−

=

ϕ

θ

(2.100)

Công suất bức xạ và trở bức xạ của vòng dây được tính là

bxv

2
m

bxv

R

2

I

P =

(2.101)

c

2

3

bx

z

S

3

8

R













λ

π

=

(2.102)

2.7. Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt

Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và

từ mặt chảy vuông góc với nhau.

Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ

nhật kích thước a, b

Dòng điện mặt hướng theo trục x: I

ESx

bthiên điều hoà theo thời gian

Dòng từ mặt hướng theo trục y: I

MSy

bthiên điều hoà theo thời gian

S << λ nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn

bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens

Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện

tích với dòng điện mặt I

ESx

và dòng từ mặt I

MSy

ta có

I

ESx

I

MSy

O

a

b

x

z

y

56

∫

−

•

•

π

µµ

=

S

ikr

ESxm

0

Exm

dS

r

e

I

4

A

(2.103)

∫

−

•

•

π

εε

=

S

ikr

MSym

0

Mym

dS

r

e

I

4

A

(2.104)

Vì dòng điện mặt I

ESx

hướng theo trục x nên

Exm

A

•

cũng chỉ có thành phần

này, tương tự dòng từ mặt I

MSy

hướng theo trục y nên

Mym

A

•

cũng chỉ có thành

phần này

Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên

toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố

diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể

đư

a các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài

r

4

e

I

S

A

ikr

ESxm

0

Exm

π

µµ

=

−

•

•

(2.105)

r

4

e

I

S

A

ikr

MSym

0

Mym

π

εε

=

−

•

•

(2.106)

Trong đó:

r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ

S = ab là diện tích của yếu tố mặt

Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên

hệ với nhau như sau

θ

+

ϕ

θ

+

ϕ

θ

=

cos

A

sin

sin

A

cos

sin

A

A

z

y

x

r

θ

+

ϕ

θ

+

ϕ

θ

=

θ

sin

A

sin

cos

A

cos

cos

A

A

z

y

x

(2.107)

ϕ

+

ϕ

−

=

ϕ

cos

A

sin

A

A

y

x

Do chỉ có

Exm

A

•

và

Mym

A

•

khác 0, ta có

ϕ

θ

=

•

•

cos

sin

A

A

Exm

Erm

57

ϕ

θ

=

•

θ

•

cos

cos

A

A

Exm

m

E

(2.108)

ϕ

−

=

•

ϕ

•

sin

A

A

Exm

m

E

ϕ

θ

=

•

•

sin

sin

A

A

Mym

Mrm

ϕ

θ

=

•

θ

•

sin

cos

A

A

Mym

m

M

(2.109)

ϕ

=

•

ϕ

•

cos

A

A

Mym

m

M

Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và

(2.109), ta được













×

∇

µµ

=

•

•

Em

0

A

1

H

r

r













×

∇

εε

−

=

•

•

Mm

0

A

1

E

r

r

Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa

Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm

r

1

, bỏ qua các số

hạng bậc cao hơn

n

r

1













. Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và

(2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm

r

A

m

0

∂

∂

ϕ

θ

•

r

và

r

A

m

0

∂

∂

θ

ϕ

•

r

được giữ

lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có

ikr

ESxm

m

E

e

r

4

cos

cos

I

ikS

H

−

•

ϕ

•

π

ϕ

θ

=

ikr

ESxm

m

E

e

r

4

sin

I

ikS

H

−

•

θ

•

π

ϕ

−

=

(2.110)

ikr

MSym

m

M

e

r

4

sin

cos

I

ikS

E

−

•

ϕ

•

π

ϕ

θ

=

58

ikr

MSym

m

M

e

r

4

cos

I

ikS

E

−

•

θ

•

π

ϕ

−

=

Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai













×

∇

ωεε

−

=

•

•

Em

0

Em

H

i

1

E

r

r













×

∇

ωµµ

−

=

•

•

Mm

0

Mm

E

i

1

H

r

r

cho các biểu thức (2.110) ta có

ikr

ESxm

0

0

m

E

e

r

4

sin

I

S

ik

E

−

•

ϕ

•

π

ϕ

εε

µµ

=

ikr

ESxm

0

0

m

M

e

r

4

cos

cos

I

S

ik

E

−

•

θ

•

π

ϕ

θ

εε

µµ

−

=

(2.111)

ikr

0

0

MSym

m

M

e

r

4

cos

I

ikS

H

−

•

ϕ

•

π

εε

µµ

ϕ

−

=

ikr

0

0

MSym

m

M

e

r

4

sin

cos

I

ikS

H

−

•

θ

•

π

εε

µµ

ϕ

θ

−

=

Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của E

θ

và E

ϕ

ta được

(

)

θ

α

+

π

ϕ

εε

µµ

−

=

+

=

−

•

ϕ

•

ϕ

•

ϕ

Σ

•

cos

1

e

r

4

sin

I

ikS

E

E

E

ikr

ESxm

0

0

m

M

m

E

m

(2.112)

Trong đó:

0

0

ESxm

MSym

I

I

εε

µµ

=

α

Tương tự, theo các thành phần của H

θ

và H

ϕ

ta được













θ

α

+

π

εε

µµ

ϕ

−

=

+

=

−

•

ϕ

•

ϕ

•

ϕ

Σ

•

cos

1

1

e

r

4

cos

I

ikS

H

H

H

ikr

0

0

MSym

m

M

m

E

m

59

(

)

θ

α

+

π

ϕ

−

=

+

=

−

•

θ

•

θ

•

θ

Σ

•

cos

1

e

r

4

sin

I

ikS

H

H

H

ikr

ESxm

m

M

m

E

m

(2.113)

Nhận xét:

- Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa

của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng

dạng đường cong cardioid

- Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ

của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa

mặt
phẳng

C(1+

α

cos

θ

)

z

60

Chương 3

SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG

• Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng

• Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ

• Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu

• Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng

trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ.

• Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong

môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và

khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn

sóng điện từ là điều hoà với ω và rất xa với điểm khảo sát.

3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng

3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave)

- Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của

E

r

và

H

r

bằng

nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất

- Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng

nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của

E

r

và

H

r

trong hệ toạ độ Decac có

dạng

xm

P

ym

zm

E

i

z

H

y

H

•

•

•

ωε

=

∂

∂

−

∂

∂

(1)

ym

P

zm

xm

E

i

x

H

z

H

•

•

•

ωε

=

∂

∂

−

∂

∂

(2)

zm

P

xm

ym

E

i

y

H

x

H

•

•

•

ωε

=

∂

∂

−

∂

∂

(3)

xm

0

ym

zm

H

i

z

E

y

E

•

•

•

ωµµ

−

=

∂

∂

−

∂

∂

(4)

61

ym

0

zm

xm

H

i

x

E

z

E

•

•

•

ωµµ

−

=

∂

∂

−

∂

∂

(5)

zm

0

xm

ym

H

i

y

E

x

E

•

•

•

ωµµ

−

=

∂

∂

−

∂

∂

(6)

Trong đó:

• Oz ≡ phương truyền sóng

• mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P //

mặt phẳng xOy và có phương trình z = l













ωεε

σ

−

εε

=

ε

0

0

P

i

1

E

r

và

H

r

có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và ∉ x, y; chỉ ∈ z, t. Khi

đ

ó:

0

y

H

x

H

y

E

x

E

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

(3.1)

0

H

E

zm

zm

=

=

•

•

(3.2)

Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng

hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của

E

r

và

H

r

.

Các

E

r

và

H

r

nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng

phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng

TEM.

3.1.2. Nghiệm phương trình sóng

Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có:

P

O

l

y

z

62

0

E

k

z

E

xm

2
P

2

xm

2

=

+

∂

∂

•

•

(7)

0

E

k

z

E

ym

2
P

2

ym

2

=

+

∂

∂

•

•

(8)

0

H

k

z

H

xm

2
P

2

xm

2

=

+

∂

∂

•

•

(9)

0

H

k

z

H

ym

2
P

2

ym

2

=

+

∂

∂

•

•

(10)

Trong đó:

0

0

0

0

P

P

i

1

k

µµ













ωεε

σ

−

εε

=

µµ

ε

ω

=

- số sóng phức

Nhận xét:

- vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm

nghiệm của một trong số các phương trình sóng này.

- đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số

không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là

z

ik

xmpx

z

ik

xmt

xm

P

P

e

E

e

E

E

•

−

•

•

+

=

(3.3)

Trong đó:

-

z

ik

xmt

P

e

E

−

•

biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt

phẳng P

P

O

l

y

z

63

-

z

ik

xmpx

P

e

E

•

biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt

phẳng P

-

xmt

E

•

,

xmpx

E

•

là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng

Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là

z

ik

ympx

z

ik

ymt

ym

z

ik

xmpx

z

ik

xmt

xm

z

ik

ympx

z

ik

ymt

ym

P

P

P

P

P

P

e

H

e

H

H

e

H

e

H

H

e

E

e

E

E

•

−

•

•

•

−

•

•

•

−

•

•

+

=

+

=

+

=

(3.4)

Suy ra













+

+













+

=

+

=













+

+













+

=

+

=

•

−

•

•

−

•

•

•

•

•

−

•

•

−

•

•

•

•

z

ik

ympx

z

ik

ymt

z

ik

xmpx

z

ik

xmt

ym

xm

m

z

ik

ympx

z

ik

ymt

z

ik

xmpx

z

ik

xmt

ym

xm

m

P

P

P

P

P

P

P

P

e

H

e

H

j

e

H

e

H

i

H

j

H

i

H

e

E

e

E

j

e

E

e

E

i

E

j

E

i

E

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(3.5)

Để

tìm mối liên hệ giữa

m

E

•

r

và

m

H

•

r

cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách

quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x //

E

r

, do đó trục y //

H

r

, ta có

m

xm

ym

xm

m

E

i

E

i

E

j

E

i

E

•

•

•

•

•

=

=

+

=

r

r

r

r

r

vì

0

E

ym

=

•

m

ym

ym

xm

m

H

j

H

j

H

j

H

i

H

•

•

•

•

•

=

=

+

=

r

r

r

r

r

vì

0

H

xm

=

•

(3.6)

Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta

có mối liên hệ giữa

m

E

•

r

và

m

H

•

r

cho sóng tới và sóng phản xạ như sau

x

y

m

H

•

r

m

E

•

r

ym

H

•

xm

E

•

O

64

mpx

P

ympx

P

0

ympx

P

xmpx

mpx

mt

P

ymt

P

0

ymt

P

xmt

mt

H

Z

H

z

H

i

1

E

E

H

Z

H

z

H

i

1

E

E

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

−

=

ε

µµ

−

=

∂

∂

ωε

−

=

=

=

ε

µµ

=

∂

∂

ωε

−

=

=

(3.7)

Trong đó:

(

)

E

E

0

0

P

0

P

itg

1

1

Z

itg

1

Z

δ

−

=

δ

−

εε

µµ

=

ε

µµ

=

(3.8)

Từ (3.7) dạng của

m

E

•

r

và

m

H

•

r

cho sóng phẳng TEM được viết lại

z

ik

mpx

z

ik

mt

m

z

ik

mpx

z

ik

mt

P

m

P

P

P

P

e

H

e

H

H

e

k

H

e

k

H

Z

E

•

−

•

•

•

−

•

•

+

=

























×

−













×

=

r

r

r

r

r

r

r

r

(3.9)

Hoặc

(

)

(

)

(

)

(

)

z

k

t

i

mpx

z

k

t

i

mt

t

i

m

z

k

t

i

mpx

z

k

t

i

mt

P

t

i

m

P

P

P

P

e

H

e

H

e

H

H

e

k

H

e

k

H

Z

e

E

E

+

ω

•

−

ω

•

ω

•

•

+

ω

•

−

ω

•

ω

•

•

+

=

=

























×

−













×

=

=

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(3.10)

Để

đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền

trong môi trường rộng vô hạn.

β

α

γ

O

x

y

z

l

65

Dạng của

m

E

•

r

và

m

H

•

r

của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z

đượ

c biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với

Ox, Oy và Oz tạo thành các góc α, β và γ. Ta có:

(

)

l

k

t

i

mt

t

P

e

H

H

−

ω

•

•

=

r

r

(3.11)

mt

H

•

r

nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l.

Và

(

)

l

k

t

i

mt

P

t

P

e

l

H

Z

E

−

ω

•

•













×

=

r

r

r

(3.12)

l

r

là vector đơn vị của phương truyền sóng l.

Số sóng phức k

P

và trở sóng phức Z

P

có thể viết lại

ψ

=

α

−

β

=

i

P

P

P

e

Z

Z

i

k

(3.13)

Trong đó

α, β và ψ là các số thực

α là hệ số tổn hao của môi trường

β là hệ số pha của sóng

ψ argument của trở sóng phức

Khi đó α, β,

P

Z

và ψ biểu diễn qua ω, ε, µ và thời gianδ

E

như sau

E

2

0

0

tg

1

2

1

2

1

δ

+

+

−

µµ

εε

ω

=

α

(3.14)

E

2

0

0

tg

1

2

1

2

1

δ

+

+

µµ

εε

ω

=

β

(3.15)

4

E

2

P

tg

1

Z

Z

δ

+

=

(3.16)

66

E

2

E

2

tg

1

1

tg

1

1

arctg

arctg

δ

+

+

δ

+

+

−

=

β

α

=

ψ

(3.17)

Vận tốc pha v

ph

của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha

của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao α = 0,

mặt đồng pha của sóng tới có dạng

const

z

t

=

β

−

ω

=

φ

(3.18)

Suy ra

0

dz

dt

d

=

β

−

ω

=

φ

(3.19)

Cho nên vận tốc pha v

ph

được xác định bởi

E

2

E

2

0

0

ph

tg

1

2

1

2

1

v

tg

1

2

1

2

1

1

.

1

dt

dz

v

δ

+

+

=

δ

+

+

µµ

εε

=

β

ω

=

=

(3.20)

Trong đó

v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn

Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được

tính là

P

2

mt

2

mt

P

mt

*

mt

tb

Z

E

2

1

k

H

Z

2

1

k

H

E

re

2

1

re

r

r

r

r

r

r

=

=













×

=

Π

=

Π

•

•

•

(3.21)

Lưu ý: Vì

•

E

r

và

•

H

r

đồng pha nên ψ = 0 ⇒

1

e

i

=

ψ

3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng

3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng

• Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới)

trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn.

67

• Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên σ = 0,

0

0

0

P

i

1

εε

=













ωεε

σ

−

εε

=

ε

, k

P

= k và Z

P

= Z. Từ các biểu thức (3.14) –

(3.21) ta có

Z

E

2

1

H

Z

2

1

v

1

v

Z

Z

k

0

,

0

2

mt

2

mt

tb

0

0

ph

0

0

P

0

0

=

=

Π

=

µµ

εε

=

εε

µµ

=

=

µµ

εε

ω

=

=

β

=

ψ

=

α

r

(3.22)

m

E

•

r

và

m

H

•

r

có dạng là

z

i

mt

m

z

i

mt

m

e

k

H

Z

E

e

H

H

β

−

•

•

β

−

•

•













×

=

=

r

r

r

r

r

(3.23)

Hoặc

(

)

(

)

z

t

i

mt

t

i

m

z

t

i

mt

t

i

m

e

k

H

Z

e

E

E

e

H

e

H

H

β

−

ω

•

ω

•

•

β

−

ω

•

ω

•

•













×

=

=

=

=

r

r

r

r

r

r

r

(3.24)

Nhận xét:

•

E

r

và

H

r

vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng

•

E

r

và

H

r

luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền

sóng

• Vận tốc pha v

ph

là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường

• Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở

sóng Z là một số thực

68

3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện

• Trong môi trường dẫn điện σ ≠ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng

phức,

α

−

β

=

µµ













ωεε

σ

−

εε

ω

=

µµ

ε

ω

=

i

i

1

k

0

0

0

0

P

P

ψ

=













ωεε

σ

−

εε

µµ

=

ε

µµ

=

i

P

0

0

0

P

0

P

e

Z

i

1

Z

Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13)

•

E

r

và

•

H

r

có dạng

(

)

(

)

(

)

z

z

t

i

mt

z

i

z

t

i

mt

z

k

t

i

mt

e

e

H

e

H

e

H

H

P

α

−

β

−

ω

•

α

+

β

−

ω

•

−

ω

•

•

=

=

=

r

r

r

r

.......

(

)

(

)

(

)

z

z

t

i

mt

P

z

i

z

t

i

mt

i

P

z

k

t

i

mt

P

e

e

k

H

Z

e

k

H

e

Z

e

k

H

Z

E

P

α

−

ψ

+

β

−

ω

•

α

+

β

−

ω

•

ψ

−

ω

•

•













×

=

=













×

=













×

=

r

r

r

r

r

r

r

(3.25)

H

r

E

r

69

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một

cách gần đúng xem σ → ∞, do đó thời gian δ

E

>> 1 nên theo các biểu thức

(3.14) – (3.21) ta có

0

E

E

2

tg

tg

1

ωεε

σ

=

δ

≈

δ

+

2

tg

1

2

1

2

1

0

E

2

0

0

σ

ωµµ

≈

δ

+

+

−

µµ

εε

ω

=

α

2

tg

1

2

1

2

1

0

E

2

0

0

σ

ωµµ

≈

δ

+

+

µµ

εε

ω

=

β

σ

ωµµ

=

≈

0

P

Z

Z

0

E

2

0

0

ph

2

tg

1

2

1

2

1

v

σµµ

ω

≈

δ

+

+

µµ

εε

ω

=

β

ω

=

( )

4

1

arctg

tg

1

1

tg

1

1

arctg

arctg

E

2

E

2

π

=

≈

δ

+

+

δ

+

+

−

=

β

α

=

ψ

(3.26)

• góc tổn hao α ≠ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của

•

E

r

và

•

H

r

suy giảm theo quy luật hàm mũ e

-αz

dọc theo phương truyền sóng z.

•

•

E

r

và

•

H

r

lệch pha nhau một góc ψ = argZ

P

0

m

E

z

0

m

m

e

E

E

α

−

=

z

x

y

70

• v

ph

là hàm số phụ thuộc tần số ω, có nghĩa là ω thay đổi trong quá trình

lan truyền sóng điện từ ⇒ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán

sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc.

3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn

Nhận xét:

Theo công thức

2

0

σ

ωµµ

≈

α

nhận thấy rằng

• Trong vật dẫn điện tốt σ rất lớn và nếu tần số sóng điện từ ω càng cao thì

α càng lớn. Do đó biên độ của

E

r

và

H

r

suy giảm rất nhanh khi truyền vào

bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng

sát bề mặt của vật dẫn điện tốt.

• Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài.

Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm.

Ứ

d: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần

• Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn

đ

iện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay

hiệu ứng skin

• Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay

độ

dày lớp skin δ, đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu

⊕

⊕

B

r

B

r

c

B

r

c

B

r

Thép

Cu

71

bên trong vật dẫn mà tại đó biện độ của

E

r

và

H

r

giảm đi e = 2,718... lần

so với giá trị tại bề mặt.

Theo (3.25) và (3.26) ta có

z

0

m

m

z

0

m

m

e

H

H

e

E

E

α

−

α

−

=

=

(3.27)

Trong đó:

E

m0

và H

m0

là biên độ của

E

r

và

H

r

tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định

nghĩa độ thấm sâu của trường ta có

e

e

E

E

m

0

m

=

=

αδ

(3.28)

Suy ra

σ

ωµµ

=

σ

ωµµ

=

α

=

δ

0

0

2

2

1

1

(3.29)

Nhận xét:

• Trong công thức (3.29), σ và µ là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ

thấm sâu của trường δ tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số ω và điện

dẫn suất σ của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của

trường rất bé cỡ δ = 0,5 µm ở dải sóng vô tuyến f = 10

6

Hz. Do đó các

kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt.

• Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều

trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không

đề

u nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở

kháng mặt riêng của vật dẫn

• Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu Z

S

, là tỉ số điện áp của trường rơi

trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy

qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó

72

Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có

trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng

xOy.

Giả sử

E

r

≡ Ox. Theo định luật Ohm ta có:

(

)

β

+

α

σ

=

σ

=

=

=

β

+

α

−

∞

∞

∫

∫

∫

i

E

dz

e

E

dz

J

S

d

J

I

0

m

z

i

0

0

m

0

x

S

r

r

(3.30)

Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0 → ∞, mặt dù bề dày vật dẫn là hữu

hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật

dẫn có thể xem là vô hạn.

Cường độ điện trường

E

r

tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn

vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có

(

)

(

)

S

S

0

0

m

0

m

S

i

R

i

1

2

i

1

i

1

E

E

I

U

Z

χ

+

=

+

σ

ωµµ

=

+

σ

α

=













α

β

+

α

σ

=

=

do α = β

(3.31)

Trong đó:

σ

ωµµ

=

2

R

0

S

là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn.

(3.32)

x

y

z

E

r

J

r

O

Π

r

73

R

S

chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng

lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn.

χ

S

là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn Z

S

.

Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng

sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như

Au, Ag, Cu ...

3.4. Sự phân cực của sóng phẳng

Sóng điện từ có các vector

E

r

và

H

r

dao động theo phương xác định gọi là

sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector

E

r

và

H

r

dao động theo mọi phương

ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực.

Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực

tròn và phân cực thẳng.

3.4.1. Phân cực elip

Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector

E

r

vạch một hình elip

trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng

hợp của 2 sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của

E

r

vuông góc nhau.

Giả sử có 2 sóng phẳng như sau:

(

)

(

)

ϕ

+

β

−

ω

=

β

−

ω

=

z

t

cos

E

j

E

z

t

cos

E

i

E

my

2

mx

1

r

r

r

r

(3.33)

Sóng tổng hợp có dạng

ϕ

=

ϕ

−















+













2

my

mx

2

1

2

my

2

2

mx

1

sin

E

E

E

E

cos

2

E

E

E

E

(3.34)

Đ

ây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E

1

, E

2

). Trục

lớn của elip hợp với trục Ox một góc ψ được tính theo:

ϕ

−

=

ψ

cos

E

E

E

E

2

2

tg

2
my

2
mx

my

mx

(3.35)

74

Trong đó: E

mx

> E

my

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector

E

r

tổng hợp vạch

nên một đường elip xoắn trong không gian

3.4.2. Phân cực tròn

Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: E

mx

= E

my

= E

m

và lệch pha

nhau một góc

2

π

±

=

ϕ

. Suy ra

1

sin

2

=

ϕ

,

0

cos =

ϕ

và phương trình (3.34) trở

thành

2
m

2
2

2

1

E

E

E

=

+

(3.36)

Đ

ây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E

1

, E

2

).

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector

E

r

tổng hợp vạch nên

một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn.

Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector

E

r

tổng hợp quay thuận chiều kim

đồ

ng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng

vector

E

r

tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn

quay trái. Chiều quay của vector

E

r

tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch

pha

2

π

3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính)

Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector

E

r

luôn hướng song song

theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính.

trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị ϕ = 0, ±π, ±2π, ...

Suy ra sinϕ = 0, cosϕ = ±1 và phương trình (3.34) trở thành

0

E

E

E

E

2

my

2

mx

1

=















+

(3.37)

Hay

75

1

mx

my

2

E

E

E

E

±

=

(3.38)

Đ

ây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox

một góc ψ’ được tính theo

mx

my

E

E

tg

=

ψ′

(3.39)

Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector

E

r

người ta còn phân thành 2

trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng.

3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng

Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt

phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để

đơ

n giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng.

3.5.1. Sóng tới phân cực ngang

Nếu vector

E

r

của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân

cực ngang. Trong trường hợp này vector

E

r

của sóng tới sẽ song song với mặt

phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ?

Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy ≡ mặt phẳng phân cách 2 môi trường,

trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi

trường là điện môi có các tham số điện ε

1

, µ

1

, ε

2

, µ

2

tương ứng.

Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương z

t

, lập với pháp tuyến z một

góc ϕ

t

nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương

của vector

E

r

của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi

x

y

ψ’

E

r

E

mx

E

my

O

76

trường 1 với góc phản xạ ϕ

phản xạ

truyền theo hướng z

px

, còn sóng khúc xạ tại mặt

phẳng phân cách với góc khúc xạ ψ đi vào môi trường 2 theo phương z

kx

. Theo

h.vẽ nhận thấy rằng

E

r

của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1

thành phần theo trục x, còn

H

r

của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và

z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có:

Sóng tới

t

1

t

1

z

ik

mz

1

my

1

1

z

ik

mx

1

1

e

H

k

H

j

H

e

E

i

E

−

•

•

•

−

•

•













+

=

=

r

r

r

r

r

(3.40)

Sóng phản xạ

px

1

px

1

z

ik

mz

1

my

1

1

z

ik

mx

1

1

e

H

k

H

j

H

e

E

i

E

−

•

•

•

−

•

•













′

+

′

−

=

′

′

=

′

r

r

r

r

r

(3.41)

Sóng khúc xạ

kx

2

kx

2

z

ik

mz

2

my

2

2

z

ik

mx

2

2

e

H

k

H

j

H

e

E

i

E

−

•

•

•

−

•

•













+

=

=

r

r

r

r

r

(3.42)

Trong đó:

0

1

0

1

1

k

µ

µ

ε

ε

ω

=

và

0

2

0

2

2

k

µ

µ

ε

ε

ω

=

là số sóng của môi trường 1 và 2 tương

ứ

ng. Các phương truyền sóng z

t

, z

px

và z

kx

biểu diễn qua x, y, z như sau:

ψ

+

ψ

−

=

ϕ

−

ϕ

−

=

ϕ

+

ϕ

−

=

cos

z

sin

y

z

cos

z

sin

y

z

cos

z

sin

y

z

kx

px

px

px

t

t

t

(3.43)

77

Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho

E

r

và

H

r

tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có:

my

2

2

my

1

my

1

1

mx

2

2

mx

1

mx

1

1

H

H

H

H

H

E

E

E

E

E

•

τ

•

•

•

τ

•

•

τ

•

•

•

τ

•

=

=

′

+

=

=

=

′

+

=

(3.44)

Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có:

ψ

•

ϕ

•

ϕ

•

ψ

•

ϕ

•

ϕ

•

=

′

−

=

′

+

sin

y

ik

my

2

sin

y

ik

my

1

sin

y

ik

my

1

sin

y

ik

mx

2

sin

y

ik

mx

1

sin

y

ik

mx

1

2

px

1

t

1

2

px

1

t

1

e

H

e

H

e

H

e

E

e

E

e

E

(3.45)

(3.45) luôn thoả mãn ∀y ta lại có:

ψ

ϕ

ϕ

•

•

•

•

•

•

=

=

=

′

−

=

′

+

sin

y

ik

sin

y

ik

sin

y

ik

my

2

my

1

my

1

mx

2

mx

1

mx

1

2

px

1

t

1

e

e

e

H

H

H

E

E

E

(3.46)

Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra:

px

t

ϕ

=

ϕ

(3.47)

ψ

=

ϕ

sin

k

sin

k

2

t

1

(3.48)

Nhận xét:

(3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách.

(3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ.

Đặ

t

ϕ

px

ϕ

t

ψ

1

E

r

1

E′

r

1

H

r

1

H′

r

z

px

z

t

z

k

y

z

2

E

r

2

H

r

O

78

0

1

1

n

ε

ε

=

và

0

2

2

n

ε

ε

=

(3.49)

lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử µ

1

= µ

2

= µ thì định luật khúc

xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học

ψ

=

ϕ

sin

n

sin

n

2

t

1

(3.50)

Để

mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ

người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ.

Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng

phản xạ và sóng tới tính cho

E

r

, kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus)

là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho

E

r

, kí hiệu T.

Đố

i với sóng phân cực ngang ta có:

m

1

m

1

ng

E

E

R

•

•

′

=

và

m

1

m

2

ng

E

E

T

•

•

=

(3.51)

Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có:

ψ

=

ϕ

′

=

′

ϕ

=

=

′

=

′

=

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

cos

H

H

,

cos

H

H

cos

H

H

,

E

E

E

E

,

E

E

m

2

my

2

t

m

1

my

1

t

m

1

my

1

mx

2

m

2

mx

1

m

1

mx

1

m

1

(3.52)

và

2

m

2

m

2

1

m

1

m

1

1

m

1

m

1

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

H

•

•

•

•

•

•

=

′

=

′

=

(3.53)

79

Trong đó:

0

1

0

1

1

Z

ε

ε

µ

µ

=

và

0

2

0

2

2

Z

ε

ε

µ

µ

=

là trở sóng của môi trường 1 và 2

tương ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của

chúng cho

m

1

E

•

ta có

(

)

2

ng

1

t

ng

ng

ng

Z

cos

T

Z

cos

R

1

T

R

1

ψ

=

ϕ

−

=

+

(3.54)

Suy ra:

ψ

+

ϕ

ϕ

=

ψ

+

ϕ

ψ

−

ϕ

=

cos

Z

cos

Z

cos

Z

2

T

cos

Z

cos

Z

cos

Z

cos

Z

R

1

t

2

t

2

ng

1

t

2

1

t

2

ng

(3.55)

(3.55) gọi là công thức Fresnel

Góc khúc xạ ψ có thể tính được qua góc tới ϕ

t

theo định luật khúc xạ (3.48)

như sau:

t

2

2

1

2

t

2

1

sin

1

sin

k

k

1

cos

ϕ

ε

ε

−

≈













ϕ

−

=

ψ

(3.56)

Nếu 2 môi trường là điện môi có µ

1

= µ

2

= µ thì (3.55) được viết lại

t

2

2

1

2

t

1

t

1

ng

t

2

2

1

2

t

1

t

2

2

1

2

t

1

ng

sin

1

cos

cos

2

T

sin

1

cos

sin

1

cos

R

ϕ

ε

ε

−

ε

+

ϕ

ε

ϕ

ε

=

ϕ

ε

ε

−

ε

+

ϕ

ε

ϕ

ε

ε

−

ε

−

ϕ

ε

=

(3.57)

3.5.2. Sóng tới phân cực đứng

Nếu vector

E

r

của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực

đứ

ng. Trong trường hợp này vector

H

r

của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng

phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ?

80

Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy ≡ mặt phẳng phân cách 2 môi trường,

trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường và trục x chỉ

phương của vector

H

r

của sóng tới.

Theo h.vẽ nhận thấy rằng

H

r

của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ

chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn

E

r

của các sóng trên có 2 thành phần theo

trục y và z. Tiến hành tương tự như đối với sóng phân cực ngang ta có:

ψ

+

ϕ

ϕ

=

ψ

+

ϕ

ψ

−

ϕ

=

cos

Z

cos

Z

cos

Z

2

T

cos

Z

cos

Z

cos

Z

cos

Z

R

2

t

1

t

2

đ

2

t

1

2

t

1

đ

(3.58)

T

đ

và R

đ

liên hệ với nhau theo công thức:

2

1

đ

đ

Z

Z

T

R

1

=

+

(3.59)

Nếu 2 môi trường là điện môi có µ

1

= µ

2

= µ thì (3.58) được viết lại

t

2

2

1

1

t

2

t

1

đ

t

2

2

1

1

t

2

t

2

2

1

1

t

2

đ

sin

1

cos

cos

2

T

sin

1

cos

sin

1

cos

R

ϕ

ε

ε

−

ε

+

ϕ

ε

ϕ

ε

=

ϕ

ε

ε

−

ε

+

ϕ

ε

ϕ

ε

ε

−

ε

−

ϕ

ε

=

(3.60)

ϕ

px

ϕ

t

ψ

1

E

r

1

E′

r

1

H

r

1

H′

r

z

px

z

t

z

k

y

z

2

E

r

2

H

r

O

81

3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách

Khi sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách 2 môi trường, tức là ϕ

t

=

0, theo định luật khúc xạ ta có cosψ = 1 và do đó góc khúc xạ ψ = 0. Hệ số khúc

xạ và hệ số phản xạ trong các biểu thức của (3.55) và (3.58) có dạng đơn giản

như sau:

2

1

2

đ

2

1

2

1

đ

1

2

2

ng

1

2

1

2

ng

Z

Z

Z

2

T

,

Z

Z

Z

Z

R

Z

Z

Z

2

T

,

Z

Z

Z

Z

R

+

=

+

−

=

+

=

+

−

=

(3.61)

3.5.4. Sự phản xạ toàn phần

Nếu môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2 n

1

> n

2

, theo (3.50) ta

có:

t

2

1

sin

n

n

sin

ϕ

=

ψ

(3.62)

có nghĩa là ψ > ϕ

t

. Khi đó ta sẽ có góc tới giới hạn 0 < ϕ

0

<

2

π

để đạt được điều

kiện:

1

sin

n

n

sin

0

2

1

=

ϕ

=

ψ

(3.63)

và ψ =

2

π

. Khi đó sóng khúc xạ sẽ truyền sát mặt phẳng phân cách 2 môi trường.

Nếu tiếp tục tăng ϕ

t

> ϕ

0

thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay

trở lại môi trường 1 (ứng với ψ >

2

π

), gọi là hiện tượng phản xạ toàn phần. Góc

ϕ

0

gọi là góc giới hạn được xác định theo công thức:

1

2

0

n

n

arcsin

=

ϕ

(3.64)

Hiện tượng phản xạ toàn phần được ứng dụng để truyền ánh sáng trong sợi

quang.

82

3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần

Nếu sóng tới truyền đến mặt phẳng phân cách vào môi trường 2 mà không

phản xạ trở lại môi trường 1 gọi là sự khúc xạ toàn phần. Trong trường hợp này

hệ số phản xạ bằng 0. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc

Brewster, kí hiệu là ϕ

b

. Từ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đối với 2 trường

hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới như sau:

0

sin

1

Z

cos

Z

0

R

0

sin

1

Z

cos

Z

0

R

b

2

2

1

2

b

1

đ

b

2

2

1

1

b

2

ng

=

ϕ

ε

ε

−

−

ϕ

→

=

=

ϕ

ε

ε

−

−

ϕ

→

=

(3.65)

Nhận xét:

- 2 phương trình trong (3.65) không thể có nghiệm đồng thời, tức là chỉ có

1 trong 2 trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. LT và TN đã chỉ ra

rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần và góc

Brewster ϕ

b

được xác định như sau:

2

1

b

tg

ε

ε

=

ϕ

(3.66)

- Các kết quả đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng

phân cách 2 môi trường là điện môi cũng đúng đối với các môi trường bất kì có

đ

iện dẫn suất σ ≠ 0. Khi đó các công thức Fresnel trong (3.55) và (3.58) chỉ cần

thay ε = ε

P

và Z = Z

P

.

3.6. Điều kiện biên gần đúng Leontovic

Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi

(môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn σ

2

(môi trường 2), ta có:

2

E

2

1

2

P

1

tg

hay

k

k

δ

ε

<<

ε

<<

(3.67)

Theo định luật khúc xạ (3.48) ta có:

83

t

2

E

2

1

sin

tg

sin

ϕ

δ

ε

ε

≈

ψ

(3.68)

Như vậy: với mọi góc tới ϕ

t

khi thoả mãn điều kiện (3.67) thì góc khúc xạ

ψ ≈ 0, có nghĩa là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có điện dẫn suất lớn theo

phương pháp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường không phụ thuộc vào

góc tới ϕ

t

.

Nếu chọn trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt phẳng phân cách thì

E

r

và

H

r

của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng:

(

)

(

)

τ

τ

τ

×

τ

=

×

τ

=

τ

=

2

0

2

2

P

0

2

2

0

2

E

k

H

Z

k

E

H

H

r

r

r

r

r

r

r

(3.69)

Trong đó:

-

0

τ

r

là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường

- H

2τ

, E

2τ

là các thành phần tiếp tuyến của

H

r

và

E

r

của sóng khúc xạ ở sát

mặt phẳng phân cách

Theo điều kiện biên tổng quát tại mặt phẳng phân cách ta có:

τ

τ

τ

τ

=

=

2

1

2

1

H

H

E

E

(3.70)

Suy ra:

τ

τ

=

1

2

P

1

H

Z

E

(3.71)

(3.71) mô tả quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của

H

r

và

E

r

của sóng điện

từ phẳng truyền từ môi trường điện môi qua môi trường dẫn điện có điện dẫn

suất lớn, gọi là điều kiện biên gần đúng Leontovic. Trong thực tế điều kiện

biên gần đúng Leontovic được ứng dụng để tính tổn hao của sóng điện từ truyền

dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt.

3.7. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng

3.7.1. Môi trường không đẳng hướng

84

Môi trường đẳng hướng có các tham số điện từ ε, µ, σ là các hằng số;

E

r

//

D

r

;

B

r

//

H

r

theo các phương trình vật chất:

E

D

0

r

r

εε

=

,

H

B

0

r

r

µµ

=

(3.72)

Trong tn ngoài các môi trường đẳng hướng còn có các môi trường không

đẳ

ng hướng, ở đó theo các hướng khác nhau các tham số điện từ ε, µ có giá trị

khác nhau. ε, µ được biểu diễn dưới dạng tensor độ từ thẩm

µ

t

và tensor độ điện

thẩm

ε

t

như sau:





















ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=

ε





















µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

=

µ

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

,

t

t

(3.73)

Các phương trình vật chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là:

E

D

r

t

r

ε

=

,

H

B

r

t

r

µ

=

(3.74)

Hay:

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

H

H

H

B

H

H

H

B

H

H

H

B

E

E

E

D

E

E

E

D

E

E

E

D

µ

+

µ

+

µ

=

µ

+

µ

+

µ

=

µ

+

µ

+

µ

=

ε

+

ε

+

ε

=

ε

+

ε

+

ε

=

ε

+

ε

+

ε

=

(3.75)

Nhận xét:

- (3.75) cho thấy rằng

E

r

#

D

r

;

B

r

#

H

r

- Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả ε, µ đều là tensor, chỉ

có các môi trường không đẳng hướng như sau:

Môi trường có ε, σ là hằng số và độ từ thẩm là tensor

µ

t

, gọi là môi trường

không đẳng hướng từ quay. Thí dụ: ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi là

môi trường từ quay đối với sóng điện từ, được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao

tần làm các tbị điều khiển sự truyền sóng.

85

Môi trường có µ, σ là hằng số và độ điện thẩm là tensor

ε

t

, gọi là môi

trường không đẳng hướng điện quay. Thí dụ: chất khí bị ion hoá (plasma) dưới

tác dụng của từ trường không đổi là môi trường điện quay đối với sóng điện từ.

Tầng ion của khí quyển trái đất cũng là môi trường điện quay đối với sóng điện

từ, khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion cần xét đến tính không đẳng hướng

của nó.

3.7.2. Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm

Ferrite chính là hợp chất Fe

3

O

4

và một số oxide kim loại khác như MnO,

MgO, NiO ... vừa có tính chất điện môi vừa có tính chất sắt từ, ε = 5 – 20, σ =

10

-4

– 10

-6

(Ωm)

-1

. Khi không có từ trường không đổi ,

0

H

r

= 0, ferrite biểu hiện

như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ

trường không đổi,

0

H

r

≠ 0, ferrite biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng

hướng từ quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ từ thẩm có dạng như

sau:





















µ

µ

−

µ

=

µ

0

x

x

0

0

0

ia

0

ia

t

(3.76)

Trong đó:

M

m

e

H

m

e

a

ia

1

0

0

0

0

0

M

2
M

2

0

0

yx

xy

2
M

2

0

M

0

yy

xx

x

=

ω

µ

=

ω

ω

−

ω

ωω

µ

=

−

=

µ

−

=

µ













ω

−

ω

ω

ω

−

µ

=

µ

=

µ

=

µ

(3.77)

Với:

- e là điện tích của electron

86

- m

0

là khối lượng của electron

- M là độ lớn của vector từ hoá của ferrite

- ω là tần số của sóng điện từ

- ω

M

là tần số cộng hưởng từ quay

- µ

0

là hằng số từ

Khí bị ion hoá có một số lượng lớn các đ/tích tự do gồm electron và ion,

gọi là môi trường plasma, có σ rất lớn. Khi không có từ trường không đổi ,

0

H

r

=

0, plasma biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện

từ. Khi có từ trường không đổi,

0

H

r

≠ 0, plasma biểu hiện tính chất của môi

trường không đẳng hướng điện quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ

đ

iện thẩm có dạng như sau:





















ε

ε

−

ε

=

ε

z

x

x

0

0

0

ib

0

ib

t

(3.78)

Trong đó:

0

0

2

2
0

0

0

0

M

2

2
0

0

zz

z

2
M

2

0

M

0

yx

xy

2
M

2

2
0

0

yy

xx

x

m

Ne

H

m

e

1

b

ib

1

ε

=

ω

µ

=

ω













ω

ω

−

ε

=

ε

=

ε

ω

−

ω

ω

ω

ε

=

−

=

ε

−

=

ε













ω

−

ω

ω

−

ε

=

ε

=

ε

=

ε

(3.79)

Với:

- ω

M

là tần số cộng hưởng từ quay

- e là điện tích của electron

87

- m

0

là khối lượng của electron

- N là số electron trong 1 đơn vị thể tích

- ε

0

là hằng số điện

- µ

0

là hằng số từ

- ω là tần số của sóng điện từ

3.7.3. Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá

Xét sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo phương của vector từ trường

không đổi từ hoá vật liệu ferrite rộng vô hạn. Chọn trục z trùng với phương

truyền sóng và vector

0

H

r

, sử dụng tensor độ từ thẩm (3.76) và điều kiện ngang

của sóng phẳng TEM (3.1) cho các phương trình Maxwell ta có:

0

E

H

ia

H

i

z

E

H

ia

H

i

z

E

0

H

E

i

z

H

E

i

z

H

z

x

y

x

x

y

x

x

y

z

y

x

x

y

=













+

µ

ω

−

=

∂

∂













−

µ

ω

=

∂

∂

=

ωε

=

∂

∂

ωε

−

=

∂

∂

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

(3.80)

Nghiệm của (3.80) có dạng:

ikz

my

mx

ikz

my

mx

e

H

j

H

i

H

e

E

j

E

i

E

−

•

•

•

−

•

•

•













+

=













+

=

r

r

r

r

r

r

(3.81)

Thay (3.81) vào (3.80) ta có:

a

k

2

x

2

2

ε

ω

±

=

εµ

ω

−

(3.82)

Suy ra:

88

(

)

(

)

a

k

a

k

x

x

−

µ

ε

ω

=

+

µ

ε

ω

=

−

+

(3.83)

Khi đó vận tốc pha và trở sóng được tính theo công thức:

(

)

(

)

ε

−

µ

=

ε

+

µ

=

−

µ

ε

=

ω

=

+

µ

ε

=

ω

=

−

+

−

−

+

+

a

Z

a

Z

a

1

k

v

a

1

k

v

x

P

x

P

x

ph

x

ph

(3.84)

Các thành phần của

H

r

và

E

r

của sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá:

+

•

+

+

•

+

•

+

+

•

+

•

+

•

−

=

=

=

x

P

y

y

P

x

x

y

H

Z

E

H

Z

E

H

i

H

(3.85)

Và

−

•

−

−

•

−

•

−

−

•

−

•

−

•

−

=

=

−

=

x

P

y

y

P

x

x

y

H

Z

E

H

Z

E

H

i

H

(3.86)

Hay dưới dạng vector:

(

)

(

)

+

•

+

•

+

•

+

+

•

−

ω

+

•

+

•

=















×

=

+

=

+

mx

m

P

z

k

t

i

m

H

H

k

H

Z

E

e

j

i

i

H

H

r

r

r

r

r

r

(3.87)

Và

89

(

)

(

)

−

•

−

•

−

•

−

−

•

−

ω

−

•

−

•

=















×

=

−

=

−

mx

m

P

z

k

t

i

m

H

H

k

H

Z

E

e

j

i

i

H

H

r

r

r

r

r

r

(3.88)

Nhận xét:

- (3.85) và (3.87) mô tả sóng phân cực tròn quay phải

- (3.86) và (3.88) mô tả sóng phân cực tròn quay trái

Như vậy: khi sóng phẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá bởi từ

trường không đổi, môi trường này thể hiện các tham số điện từ khác nhau đối

với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái ứng với các số sóng k

+

và k

-

; vận

tốc pha v

ph

+

, v

ph

-

và trở sóng Z

P

+

, Z

P

-

khác nhau. Do đó độ từ thẩm của môi

trường ferrite bị từ hoá có giá trị khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay

phải và quay trái như sau:

a

a

x

x

−

µ

=

µ

+

µ

=

µ

−

+

(3.89)

Nhận xét: khi sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá

dọc theo từ trường không đổi

0

H

r

hướng theo trục z thì vector

H

r

của sóng điện

từ sẽ quay đi một góc θ. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực của sóng phân

cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá gọi là h/ứng Faraday. Góc

quay mặt phẳng phân cực của

H

r

trong 1 đơn vị chiều dài trong ferrite gọi là

hằng số Faraday, kí hiệu là θ’ và được tính theo công thức:

(

)

a

a

2

2

k

k

x

x

−

µ

−

+

µ

ε

ω

=

−

=

θ′

−

+

(3.90)

90

Chương 4

NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ

4.1. Khái niệm

• Nếu trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có một hay một nhóm vật

thể mà các kích thước của chúng cỡ bước sóng của sóng điện từ thì tại đó

có thể xảy ra hiện tượng sóng phản xạ lại môi trường, sóng khúc xạ truyền

vào các vật thể và sự đi vòng của sóng tới qua các vật thể làm cho cấu

trúc của trường sóng tới thay đổi. Hiện tượng trên gọi là sự nhiễu xạ sóng

đ

iện từ tại các vị trí bất đồng nhất của môi trường. Các vật thể này gọi là

vật chướng ngại, sóng tới gọi là sóng sơ cấp, sóng phản xạ gọi là sóng thứ

cấp. Trường điện từ nhiễu xạ toàn phần là trường tổng hợp của các sóng

sơ cấp, sóng thứ cấp và sóng khúc xạ

• Mục tiêu: xác định trường thứ cấp hoặc trường toàn phần tại một điểm bất

kì trong không gian môi trường đồng nhất và đẳng hướng tại thời điểm t

bất kì khi đã biết các tham số điện và dạng hình học của vật chướng ngại,

và cấu trúc của trường sóng sơ cấp.

• Vì vật chướng ngại có dạng hhọc rất phức tạp và ở những vị trí khác nhau

so với nguồn sơ cấp, do đó bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể giải

gần đúng. Trong thực tế người ta thường dùng các đại lượng vật lí như tiết

diện phản xạ tương đương, tiết diện hấp thụ toàn phần ... đặc trưng cho sự

nhiễu xạ sóng điện từ.

• Việc giải chính xác bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể thực hiện đối

với vật chướng ngại có dạng hhọc đơn giản như htrụ tròn nhỏ dài vô hạn,

hcầu đặt rất xa nguồn sóng sơ cấp, có nghĩa là cấu trúc của nguồn và

trường sóng sơ cấp không phụ thuộc vào vật chướng ngại.

4.2. Nhiễu xạ của sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn

4.2.1. Bài toán

91

- Giả sử có một vật dẫn điện tốt dạng trụ tròn bán kính a dài vô hạn đặt

trong kk và có sóng phẳng điều hoà truyền tới vuông góc với trục của vật dẫn.

Xác định trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn.

- Chọn hệ toạ độ trụ có trục z trùng với trục của vật dẫn và sóng phẳng điều

hoà truyền dọc theo trục Ox và vuông góc với trục của vật dẫn. Khi đó sự phân

cực của sóng tới có thể xảy ra 2 trường hợp:

t

E

r

// Oz và

t

E

r

⊥ Oz. Nếu sóng tới là

sóng phân cực thẳng bất kì của

t

E

r

thì nó được xem như là tổng hợp của 2 trường

hợp trên. Do đó việc giải bài toán nhiễu xạ sóng điện từ phẳng chỉ cần xét đối

với dạng sóng phẳng phân cực đã nêu.

- Vì sóng tới vuông góc với z nên đối với trường sóng phản xạ ta có:

(

)

0

H

,

E

z

=

∂

∂

và các phương trình Maxwell có dạng:

mz

0

mr

m

m

0

mz

mr

0

mz

E

i

H

H

r

r

r

1

H

i

r

E

H

r

i

E

•

•

ϕ

•

ϕ

•

•

•

•

ωεε

=

















ϕ

∂

∂

−













∂

∂

ωµµ

=

∂

∂

ωµµ

−

=

ϕ

∂

∂

(4.1)

t

E

r

t

H

r

t

E

r

t

Π

r

t

Π

r

t

H

r

Oz

//

E

t

r

Oz

E

t

⊥

r

z

x

a

2

92

và:

mz

0

0

mr

m

m

0

mz

mr

0

mz

H

i

E

E

r

r

r

1

E

i

r

H

E

r

i

H

•

•

ϕ

•

ϕ

•

•

•

•

µµ

ωεε

−

=

















ϕ

∂

∂

−













∂

∂

ωεε

−

=

∂

∂

ωεε

=

ϕ

∂

∂

(4.2)

Nhận xét:

- Hệ phương trình (4.1) chỉ gồm các thành phần

mz

E

•

,

mr

H

•

,

ϕ

•

m

H

và

mr

E

•

= 0

(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp điện ngang hay từ dọc,

kí hiệu là TE hoặc H, ứng với trường hợp sóng tới phân cực

mt

E

•

// Oz.

- Hệ phương trình (4.2) chỉ gồm các thành phần

mz

H

•

,

mr

E

•

,

ϕ

•

m

E

và

mr

H

•

= 0

(phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp từ ngang hay điện dọc,

kí hiệu là TH hoặc E, ứng với trường hợp sóng tới phân cực

mt

E

•

⊥ Oz.

- Hai hệ phương trình (4.1) và (4.2) có dạng tương tự nhau nên chỉ cần xét

một trong 2 hệ phương trình trên là được, cụ thể là hệ phương trình (4.1). Vì vật

dẫn điện tốt có σ rất lớn nên trường sóng khúc xạ hầu như không tồn tại trong

vật dẫn. Để đơn giản, xem vật dẫn có σ → ∞. Đối với sóng tới phân cực có

mt

E

•

//

Oz thì điều kiện biên của phương trình (4.1) như sau:

0

E

E

z

zt

=

+

•

•

(4.3)

tại:

r = a ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; -∞ < z < ∞

- Sóng phản xạ từ bề mặt vật dẫn truyền ra xa vô hạn theo phương r phải có

đặ

c trưng sóng tại vô cùng, có nghĩa là phải thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô

cùng:

93

0

H

ik

r

H

lim

0

E

ik

r

E

lim

r

r

=













+

∂

∂

=













+

∂

∂

∞

→

∞

→

r

r

r

r

(4.4)

Vậy: bài toán nhiễu xạ sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui về

việc xác định nghiệm của phương trình (4.1) và các điều kiện (4.3) và (4.4).

4.2.2. Trường thứ cấp

Để

tìm nghiệm của phương trình (4.1) với các điều kiện (4.3) và (4.4), ta

chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng. Đặt các giá trị của

mr

H

•

,

ϕ

•

m

H

từ 2

phương trình đầu vào phương trình cuối của hệ (4.1) ta có:

0

E

k

E

r

1

r

E

r

1

r

E

mz

2

2

mz

2

2

mz

2

mz

2

=

+

ϕ

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

•

•

•

•

(4.5)

Nghiệm của (4.5) có dạng:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∑

∑

∑

∞

−∞

=

ϕ

•

ϕ

•

∞

−∞

=

ϕ

•

•

∞

−∞

=

ϕ

•

•

∂

∂

−

ω

µµ

−

=

−

ω

µµ

=

−

−

=

m

im

2

m

2

m

m

m

0

mzt

m

m

im

2

m

2

m

m

m

0

mzt

mr

m

im

2

m

2

m

m

m

mzt

mz

e

r

kr

H

ka

H

ka

J

i

r

E

H

e

kr

H

ka

H

ka

mJ

i

r

E

H

e

kr

H

ka

H

ka

J

i

E

E

(4.6)

Trong đó:

J

m

(kr) là hàm Bessel cấp m

( )

( )

kr

H

2

m

là hàm Hanken cấp m loại 2

4.2.3. Giản đồ hướng

Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thể biểu diễn trực

quan bằng giản đồ hướng như sau:

94

- Tìm cường độ trường thứ cấp ở vùng xa thoả mãn kr >> 1. Áp dụng dạng

tiệm cận của hàm Hanken cấp m loại 2 khi kr → ∞ và bỏ qua số hạng nhỏ bậc

cao

2

/

3

r

1

so với

2

/

1

r

1

của (4.6) ta có:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

H

e

ka

H

ka

J

e

kr

2

E

H

e

ka

H

ka

J

e

kr

2

E

E

mr

m

im

2

m

m

4

kr

i

0

0

mzt

m

m

im

2

m

m

4

kr

i

mzt

mz

≈

π

εε

µµ

≈

π

−

≈

•

∞

−∞

=

ϕ













π

−

−

•

ϕ

•

∞

−∞

=

ϕ













π

−

−

•

•

∑

∑

(4.7)

Nhận xét:

- Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn chỉ có 2 thành phần

mz

E

•

,

ϕ

•

m

H

vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r.

- Theo (4.7) giản đồ hướng của trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn

dài vô hạn như hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với các tham số ka

khác nhau.

- Từ giản đồ hướng nhận thấy rằng khi ka ≈ 1, a << λ thì trường thứ cấp có

cường độ gần đều theo mọi phương, do đó nó làm méo đều trường sơ cấp theo

mọi phương. Khi ka >> 1, a >> λ thì trường thứ cấp bắt đầu xh các cực đại ở

phía đối diện với nguồn sóng tới và làm méo trường sóng tới ở phía này mạnh

hơn. Khi ka → ∞, a → ∞ thì trường thứ cấp có cực đại quay về phía sóng tới và

có một vùng tối ở phía đối diện, cường độ trường ở vùng này bằng 0.

Để

đánh giá tính chất của trường bức xạ thứ cấp khi trường sơ cấp truyền

qua vật chướng ngại, người ta đưa ra đại lượng diện tích phản xạ tương đương.

Đố

i với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn thì diện tích phản xạ tương đương tính theo 1

đơ

n vị chiều dài của htrụ là σ

0

được xác định theo công thức:

tbt

0

bx

P

Π

σ

=

(4.8)

Trong đó:

95

P

bx

là công suất bức xạ của trường thứ cấp tính theo 1 đơn vị chiều dài

Π

tbt

là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới

2

mzt

0

0

tbt

E

2

1

•

εε

µµ

=

Π

(4.9)

∫

∫

π

ϕ

Π

=

Π

=

2

0

tb

S

tb

bx

rd

dS

P

(4.10)

2

mz

0

0

2

m

0

0

m

mz

tb

E

1

2

1

H

2

1

H

.

E

re

2

1

•

ϕ

•

ϕ

•

∗

•

εε

µµ

=

εε

µµ

=













=

Π

(4.11)

Từ các biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương σ

0

được tính

theo:

( )

( )

( )

2

m

2

m

m

0

ka

H

ka

J

ka

4

a

4

∑

∞

−∞

=

=

σ

(4.12)

4.3. Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff

Tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với hàm vô hướng ψ sau

đ

ây:

0

k

2

2

=

ψ

−

ψ

∇

(4.13)

tại điểm P bất kì trong thể tích V được giới hạn bởi mặt kín S. Giả thiết rằng

hàm ψ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó liên tục trong V và trên S.

Áp dụng định lí Green ta có:

(

)

∫

∫













∂

ψ

∂

φ

−

∂

φ

∂

ψ

=

ψ

∇

φ

−

φ

∇

ψ

S

V

2

2

dS

n

n

dV

(4.14)

Trong đó hàm φ, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó cũng liên tục trong V và

trên S. Chọn hàm φ có dạng:

r

e

ikr

−

=

φ

(4.15)

Trong đó: r là khoảng cách từ điểm P đến một điểm bất kì trong thể tích V.

96

Nhận xét:

- Hàm φ dạng (4.15) thoả mãn định lí Green tại mọi vị trí trừ điểm P, vì tại

đ

iểm P: φ → ∞ khi r → 0. Để áp dụng định lí Green đối với điểm P, bao điểm P

bằng mặt cầu đủ nhỏ S

0

bán kính R

0

. Khi đó miền V được giới hạn bởi các mặt S

và S

0

. Vì hàm φ dạng (4.15) cũng thoả mãn phương trình sóng (4.13) nên vế trái

của (4.14) bằng 0 và ta có:

∫

∫













∂

ψ

∂

φ

−

∂

φ

∂

ψ

−

=













∂

ψ

∂

φ

−

∂

φ

∂

ψ

S

S

dS

n

n

dS

n

n

0

(4.16)

- Các đạo hàm theo pháp tuyến

n

∂

∂

trên S và S

0

lấy theo pháp tuyến

0

n

r

hướng ra ngoài thể tích V. Do đó trên mặt cầu S

0

ta có:

r

n

;

r

n

∂

ψ

∂

−

=

∂

ψ

∂

∂

φ

∂

−

=

∂

φ

∂

(4.17)

nên:

r

e

r

1

ik

r

e

r

n

ikr

ikr

−

−













+

=













∂

∂

−

=

∂

φ

∂

(4.18)

Suy ra:

2
0

tb

0

ikR

tb

0

ikR

0

S

0

R

4

r

R

e

R

e

R

1

ik

dS

n

n

I

0

0

0

π



























∂

ψ

∂

+

ψ













+

=













∂

ψ

∂

φ

−

∂

φ

∂

ψ

=

−

−

∫

(4.19)

Trong đó:

tb

ψ

và

tb

r













∂

ψ

∂

là các gtừ trườngb của hàm ψ và đạo hàm riêng của nó trên

mặt cầu S

0

có giá trị hữu hạn. Do đó xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S

0

thu

nhỏ thành 1 điểm ta có:

( )

( )

0

R

khi

P

4

I

P

0

0

tb

→

πψ

=

ψ

→

ψ

(4.20)

Theo (4.16) suy ra:

97

( )

∫















∂

ψ

∂

−













∂

∂

ψ

π

−

=

ψ

−

−

S

ikr

ikr

dS

n

r

e

r

e

n

4

1

P

(4.21)

Nhận xét:

- (4.21) là biểu thức của nguyên lí Huyghens-Kirchhoff. Từ biểu thức

(4.21) có thể tìm được hàm ψ tại một điểm bất kì trong thể tích V. Nếu các giá

trị của ψ và

n

∂

ψ

∂

trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố, thì giá

trị của ψ tại một điểm bất kì trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu

nguyên tố bức xạ ở trên mặt S bao quanh thể tích V.

- (4.21) cũng áp dụng được đối với trường hợp mặt S là giới hạn trong của

miền V’ bên ngoài, thực vậy:

Miền V’ được xem như giới hạn bởi mặt kín S và mặt cầu S’ có tâm nằm

trong V với bán kính R

∞

→ ∞, khi đó:

0

dS

n

n

I

S

→













∂

ψ

∂

φ

−

∂

φ

∂

ψ

=

∫

′

∞

(4.22)

Vì R

∞

>> r’, r’ là khoảng cách từ tâm hình cầu S’ đến điểm P, nên có thể

xem R

∞

// r, r là khoảng cách từ điểm P đến điểm bất kì của mặt cầu S’ rộng vô

hạn, ta có:

α

′

−

=

≈

∞

∞

cos

r

R

r

,

r

1

R

1

(4.23)

Nên:

P

R

0

S

0

S

S

R

∞

α

r’

r

V’

S’

P

V

V

98

α

′

−

∞

−

∞

≈

=

φ

cos

r

ik

ikR

ikr

e

e

R

1

r

e

(4.24)

Trong đó: α là góc giữa R

∞

và r’.

Đố

i với mặt cầu S’ ta có:

r

n

∂

∂

=

∂

∂

Do đó:

∫

′

α

′

∞

−

∞

∞

∞





























∂

ψ

∂

+













+

ψ

−

=

∞

S

cos

r

ik

ikR

dS

e

R

e

R

R

1

ik

I

(4.25)

Trong trường hợp giới hạn, khi R

∞

→ ∞ thì I

∞

→ 0 nếu thoả mãn điều kiện sau:

0

R

1

ik

R

lim

R

=















ψ













+

+

∂

ψ

∂

∞

∞

∞

→

∞

(4.26)

hay:

∞

→

∞

∞

→

∞

∞

∞

ψ













+

−

=

∂

ψ

∂

R

R

R

1

ik

R

(4.27)

Nhận xét:

- Điều kiện (4.26) hoặc (4.27) dễ dàng được thoả mãn nếu ψ thoả mãn điều

kiện bức xạ tại vô cùng, tức là hàm ψ tại vô cùng có dạng:

(

)

∞

−

∞

→

∞

∞

ϕ

θ

=

ψ

R

e

,

f

ikR

R

(4.28)

Vì hàm ψ dạng (4.15) thoả mãn phương trình (4.13) nên cũng đúng đối với

miền ngoài V’.

- Phương trình (4.13) có dạng tương tự như dạng của phương trình sóng

thuần nhất cho

E

r

và

H

r

trong hệ toạ độ Decac. Do đó có thể áp dụng nguyên lí

Huyghens-Kirchhoff để giải các bài toán nhiễu xạ.

- Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff đối với hàm vô hướng có thể xem như là

trường hợp riêng của nguyên lí dòng tương đương.

4.4. Nguyên lí dòng tương đương

99

Giả sử có các nguồn q

1

, q

2

, ..., q

n

đặt trong miền V trong mặt kín S, xác

đị

nh trường tại điểm P bất kì trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lí

H-K có thể xác định trường tại P trong V’ của các nguồn đã cho qua các nguồn

bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương

(dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương tạo ra

tại điểm P bất kì trong V’ trùng với trường do các nguồn đã cho trong V tạo ra

cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong miền V

bằng 0. Do đó điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là

0

H

E

S

in

S

in

=

′

=

′

τ

τ

(4.29)

Theo định lí nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường

của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P bất kì trong V’ trùng nhau phải có

đ

iều kiện là:

0

H

H

0

E

E

S

out

S

out

S

out

S

out

≠

=

′

≠

=

′

τ

τ

τ

τ

(4.30)

Nhận xét: Theo (4.29) và (4.30) nhận thấy rằng các thành phần tiếp tuyến

của

E

r

và

H

r

của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ 0 sang khác 0

khi qua mặt S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành

phần tiếp tuyến

τ

′

E

,

τ

′

H

của trường trên mặt S tương đương với sự tồn tại của

dòng điện mặt I

S

và dòng từ mặt I

SM

chạy trên mặt S. Sự phụ thuộc của dòng

đ

iện mặt và dòng từ mặt vào

E

r

và

H

r

như sau:

q

1

•

0

n

r

V

V’

q

2

•

q

n

•

P •

H

,

E

r

r

S

10

(

)

(

)

S

out

0

SM

S

out

0

S

E

n

I

H

n

I

r

r

r

r

r

r

×

−

=

×

=

(4.31)

Trong đó:

0

n

r

là vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S.

Áp dụng phương pháp thế điện động ta xác định được biểu thức cho các thế

chậm của vector điện và từ do các nguồn dòng tương đương

S

I

r

và

SM

I

r

trên S tạo

ra tại điểm P trong V’ theo (2.61), (2.62) và (4.31) ta có:

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

−

−

•

•

−

•

•

′

×

π

εε

−

=

π

εε

=

′

×

π

µµ

=

π

µµ

=

S

ikr

out

0

0

S

ikr

SM

0

M

S

ikr

out

0

0

S

S

0

E

dS

r

e

E

n

4

dS

r

e

I

4

A

dS

r

e

H

n

4

dS

r

I

4

A

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.32)

Nhận xét:

- Trong (4.32) các tham số điện từ ε, µ và số sóng k phải tính đối với môi

trường ngoài miền V’.

- Các biểu thức (4.31) và (4.32) là biểu thức của nguyên lí dòng tương

đươ

ng của trường điện từ. Nguyên lí này ứng dụng để giải các bài toán nhiễu xạ

sóng điện từ rất tiện lợi.

- Trường nhiễu xạ được tính dựa trên các biểu thức của nguyên lí H-K và

nguyên lí dòng tương đương có chính xác hay không tuỳ thuộc vào giá trị của

nguồn thứ cấp nguyên tố hay nguồn dòng tương đương phân bố trên bề mặt S.

Nói chung chỉ có thể giải gần đúng bài toán nhiễu xạ sóng điện từ.

4.5. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ trên màn chắn phẳng rộng vô hạn

Giả sử có sóng phẳng truyền theo phương của trục z đi tới vuông góc với

một lỗ trên mặt phẳng dẫn điện lí tưởng rộng vô hạn, xác định trường nhiễu xạ

của sóng phẳng qua lỗ tại vùng bên kia của màn chắn trong môi trường đồng

nhất đẳng hướng.

10

Chọn hệ toạ độ Decac với trục z trùng với phương truyền của sóng tới, mặt

phẳng màn chắn trùng với mặt xOy và

t

E

r

của sóng tới hướng theo trục x. Biểu

thức của cường độ trường sóng tới có dạng:

ikz

mt

mt

ikz

mt

c

mt

mt

e

H

j

H

e

H

z

i

E

i

E

−

•

−

•

•

=

=

=

r

r

r

r

r

(4.33)

Chia màn chắn phẳng ra làm 2 phần là phần lỗ S

0

và phần mặt kim loại S

1

.

Áp dụng nguyên lí dòng tương đương để tính trường nhiễu xạ qua lỗ S

0

, tức là

phải xác định các dòng điện và dòng từ mặt chạy trên S

0

và S

1

. Một cách gần

đ

úng xem màn chắn S trùng với mặt sóng của sóng tới. Khi đó trên lỗ S

0

cường

độ

các vector

E

r

và

H

r

của nguồn dòng tương đương được xem bằng cường độ

trường của sóng tới cũng tại mặt lỗ này (z = 0) nên:

mt

S

out

mt

c

mt

S

out

H

j

H

H

z

i

E

i

E

0

0

•

τ

•

•

τ

=

′

=

=

′

r

r

r

r

r

(4.34)

Còn trên phần S

1

của màn chắn dẫn điện lí tưởng (σ → ∞) về phía bên kia

của sóng tới thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường nguồn dòng

tương đương bằng 0.

t

H

r

t

E

r

t

Π

r

S

S

0

O

y

x

z

S

1

10

0

H

0

E

1

1

S

out

S

out

=

′

=

′

τ

τ

r

r

(4.35)

Chọn

0

n

r

≡ Oz và áp dụng các biểu thức (4.32) của nguyên lí dòng tương

đươ

ng ta được các thế chậm của trường nhiễu xạ ở nửa không gian z > 0 qua lỗ

trên màn chắn như sau:

∫

∫

∫

∫

−

•

−

•

•

−

•

−

•

•

π

εε

−

=













×

π

εε

−

=

π

µµ

−

=













×

π

µµ

=

S

ikr

mt

c

0

S

ikr

mt

c

0

Mm

S

ikr

mt

0

S

ikr

mt

0

Em

dS

r

e

4

H

z

j

dS

r

e

H

z

i

k

4

A

dS

r

e

H

4

i

dS

r

e

H

j

k

4

A

0

0

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.36)

Trong đó:

(

)

(

)

2

2

2

z

y

y

x

x

r

+

′

−

+

′

−

=

là khoảng cách từ điểm tính trường

P(x, y, z) tới một điểm bất kì trên lỗ S

0

có toạ độ (x’, y’, 0).

Gọi khoảng cách từ tâm O của lỗ S

0

đến điểm tính trường P là R, ta có:

(

)

2

2

2

y

x

y

y

'

xx

2

R

r

′

+

′

+

′

+

−

=

với

2

2

2

2

z

y

x

R

+

+

=

Trong trường hợp xét trường nhiễu xạ ở vùng xa, tức là khoảng cách r, R

lớn hơn nhiều so với bước sóng λ và kích thước lỗ S

0

tương ứng với điều kiện

y

,

x

R

R

′

′

>>

λ

>>

(4.37)

và

(

)

y

y

x

x

R

1

R

r

R

1

r

1

′

+

′

−

≈

≈

(4.38)

Áp dụng (4.38) tích phân theo mặt lỗ S

0

trong các biểu thức của thế chậm

(4.36) có dạng:

∫

∫

′

+

′

−

−

=

=

φ

0

0

S

R

y

y

x

x

ik

S

ikR

ikr

dS

e

R

e

dS

r

e

(4.39)

Nhận xét: nếu tích phân (4.39) xác định được thì trường điện từ nhiễu xạ

qua lỗ S

0

sẽ là

10

Mm

Mm

0

0

Em

0

m

Mm

0

Em

Em

0

0

m

A

i

A

.

i

1

A

1

H

A

1

A

i

A

.

i

1

E

•

•

•

•

•

•

•

•

ω

−













∇

∇

µµ

ωεε

+













×

∇

µµ

=













×

∇

εε

−

ω

−













∇

∇

µµ

ωεε

=

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.40)

Xét trường hợp lỗ S

0

có dạng chữ nhật kích thước a, b trên màn chắn phẳng

rộng vô hạn dẫn điện lí tưởng. Đối với trường nhiễu xạ ở vùng xa trong trường

hợp này điều kiện (4.37) viết lại:

R >> a, b >> λ

(4.41)

Tích phân (4.39) đối với lỗ dạng chữ nhật có dạng là:

y

R

2

kb

y

R

2

kb

sin

x

R

2

ka

x

R

2

ka

sin

R

e

ab

e

iky

R

e

ikx

R

R

e

y

d

x

d

e

R

e

ikR

2

/

b

2

/

b

R

y

ky

i

2

/

a

2

/

a

R

x

kx

i

ikR

2

/

a

2

/

a

2

/

b

2

/

b

R

y

y

x

x

ik

ikR

























=

=

=

′

′

=

φ

−

−

′

−

′

−

−

−

′

+

′

−

∫ ∫

(4.42)

Các thế chậm vector điện và từ có dạng

M

mt

0

mt

0

Mm

E

mt

0

mt

0

Em

4

H

Z

4

H

Z

j

A

H

4

H

4

i

A

φ

π

εε

−

=

φ

π

εε

−

=

φ

π

µµ

−

=

φ

π

µµ

−

=

•

•

•

•

•

•

r

r

r

r

r

r

(4.43)

Trong đó:

φ

=

φ

φ

=

φ

j

,

i

M

E

r

r

r

r

(4.44)

Chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có:

ϕ

ϕ

−

ϕ

θ

θ

+

ϕ

θ

=

ϕ

ϕ

−

ϕ

θ

θ

+

ϕ

θ

=

ϕ

θ

=

ϕ

θ

=

cos

sin

cos

sin

sin

r

j

sin

cos

cos

cos

sin

r

i

sin

sin

r

y

cos

sin

r

x

0

0

0

0

0

0

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.45)

Khi đó:

10

ϕ

θ













ϕ

θ

ϕ

θ













ϕ

θ

=

φ

−

sin

sin

R

2

kb

sin

sin

R

2

kb

sin

cos

sin

R

2

ka

cos

sin

R

2

ka

sin

R

e

ab

ikR

(4.46)

Nhận xét: vì hàm φ chứa thừa số dạng

R

e

ikR

−

nên từ các biểu thức (4.40),

(4.43), (4.44) và (4.46) cho thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa có

dạng sóng cầu. Khi bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao so với

r

1

và đối với trường ở

vùng xa (r → ∞) thì các biểu thức (4.43), (4.44) và (4.46) biểu diễn theo các

toán tử grad, div và rot trong hệ toạ độ cầu ta có:

(

)

(

)

θ

ϕ

φ

ϕ

−

φ

θ

=

φ

×

∇

φ

−

=

φ

∇

∇

M

,

E

0

M

,

E

0

M

,

E

Mr

,

E

2

0

M

,

E

ik

k

r

.

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.47)

Trong đó:

Mr

,

E

φ

r

,

ϕ

φ

M

,

E

r

và

θ

φ

M

,

E

r

là các thành phần của các vector

E

φ

r

và

M

φ

r

theo phương bán kính, kinh tuyến và vĩ tuyến trong hệ toạ độ cầu.

Trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa theo (4.40), (4.43), (4.44), (4.46) và

(4.47) như sau:

(

)

(

)

(

)

(

)

ϕ

ϕ

−

ϕ

θ

θ

+

φ

π

=

ϕ

ϕ

−

ϕ

θ

θ

+

φ

π

=

•

•

cos

sin

cos

1

4

H

ik

H

sin

cos

cos

1

4

H

z

ik

E

0

0

mt

m

0

0

mt

c

m

r

r

r

r

r

r

(4.48)

Từ biểu thức (4.48) chúng ta thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có

tính định hướng trong không gian theo các toạ độ θ và ϕ.

x

y

S

0

a

b

0

z

x

y

ϕ

θ

r

M

10

Giản đồ hướng của trường nhiễu xạ: ở vùng xa và kích thước lỗ lớn hơn

nhiều so với bước sóng thì hàm φ biến đổi nhanh hơn hàm cosθ nên một cách

gần đúng giản đồ hướng của trường được xác định chủ yếu qua hàm φ. Xác định

hàm đặc trưng hướng của trường tại 2 mặt phẳng đặc biệt:

- Tại mặt phẳng ϕ = 0 (mặt phẳng E) giản đồ hướng có dạng

( )

θ













θ

=

θ

sin

2

ka

sin

2

ka

sin

F

E

(4.49)

- Tại mặt phẳng ϕ =

2

π

(mặt phẳng H) giản đồ hướng có dạng

( )

θ













θ

=

θ

sin

2

kb

sin

2

kb

sin

F

H

(4.50)

Nhận xét: Vì giản đồ hướng F

E

(θ) và F

H

(θ) có dạng hoàn toàn giống nhau

nên chỉ cần vẽ đồ thị cho F

E

(θ) hoặc F

H

(θ). Đồ thị của giản đồ hướng dạng F

H

(θ)

đượ

c vẽ trong hệ toạ độ Decac và hệ toạ độ cực như hình vẽ

Từ giản đồ hướng trên cho thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có 1

búp sóng chính và nhiều búp phụ nhỏ khác. Điều này có thể giải thích bằng sự

2θ*

θ

0

F(θ)

2

sin

kb

θ

π

10

giao thoa của sóng bức xạ từ các diện tích nguyên tố trên mặt S

0

. Độ rộng của

búp sóng chính là góc 2θ* được xác định từ điều kiện:

0

2

sin

kb

sin

=













θ

∗

(4.51)

Nếu lấy không điểm đầu tiên ta có:

π

=

θ

∗

2

sin

kb

(4.52)

Với góc θ* nhỏ thì θ* ≈ sinθ* và độ rộng của búp sóng chính là

b

2

sin

2

2

λ

=

θ

≈

θ

∗

∗

(4.53)

Nếu kích thước lỗ b tăng so với bước sóng λ hoặc khi λ → 0 thì búp sóng

chính sẽ hẹp lại thành một tia giống như trong quang hình.

10

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Giáo Dục,

2006

2. Tôn Thất Bảo Đạt, Dương Hiển Thuận, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN

TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông,

2007

3. Ngô Nhật Ảnh, Trương Trọng Tuấn Mỹ, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Đại

học Quốc gia TPHCM, 1995

4. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, NXB

Giáo Dục, 1978

5. Bo Thidé, ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY, Uppsala University

Press, 2000

6. Landau L.D., Lifshitz E.M., THE CLASSICAL THEORY OF FIELDS,

Pergamon Press, 1975

7. Low F.E., CLASSICAL FIELD THEORY, John Wiley & Sons, Inc.,

1997