c

c

» »» »» 

 

» !"#$!%&

1. KiӅu Khҳc Lâu, LÝ THUYӂT TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, GD, 2006 

2. Ngô Nhұt Ҧnh, TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, ĐHBK TPHCM, 1995 

3. NguyӉn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYӂT TRƯӠNG, GD, 1978 

 

!'()*+

,»-.»/»01

23456&7

Ô

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x

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G

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Phương: 

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»

ñ

 

ChiӅu: theo qui tҳc vһn nút chai 

Đӝ lӟn: 

Œ

b

,

a

sin

b

a

c

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»

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M

Œ

Œ

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c

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Hàm mũ  

Œ

y

sin

i

y

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e

e

x

iy

x

ë

^

^

 

Hàm mũ là mӝt hàm tuҫn hoàn có chu kì là 2 i. Thӵc vұy, ta có 

1

k

2

sin

i

k

2

cos

e

i

k

2

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^

 

Suy ra  

ë

i

k

2

ë

i

k

2

ë

e

e

.

e

e

^

^

 

Công thӭc Euler 

e

iy

 = cosy +isiny 

Khi đó sӕ phӭc ë = r e

i

 = r(cos +isin) 

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai là phương trình bұc nhҩt đӕi vӟi 

hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:  

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

G

G

(1) 

Trong đó:  

c

c

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a

1

, a

2

 và  (x) là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x  

(x) = 0 ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính thuҫn nhҩt  
(x)   0 ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính không thuҫn nhҩt 

a

1

, a

2

  const ƒ (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính có hӋ sӕ không đәi  

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"! D))!C 

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:   

0

y

a

y

a

y

2

1

G

G

 

(2) 

a

1

, a

2

 là các hàm cӫa biӃn x 

E)!B23

 NӃu y

1

 = y

1

(x) và y

2

 = y

2

(x) là 2 nghiӋm cӫa (2) thì y = C

1

y

1

 + C

2

y

2

 

(trong đó C

1

, C

2

 là 2 hҵng sӕ tuǤ ý) cũng là nghiӋm cӫa phương trình ҩy.  

p 

Œ

Œ

const

x

y

x

y

2

1

±

Ý

E)!B93

 NӃu y

1

(x) và y

2

(x) là 2 nghiӋm đӝc lұp tuyӃn tính cӫa phương trình vi 

phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt (2) thì y = C

1

y

1

 + C

2

y

2

 (trong đó C

1

, C

2

 là 2 

hҵng sӕ tuǤ ý) là nghiӋm tәng quát cӫa phương trình ҩy.  

E)! B 63

  NӃu  đã  biӃt  mӝt  nghiӋm  riêng  y

1

(x)  cӫa  phương  trình  vi  phân  tӯ 

trưӡng  cҩp  hai  thuҫn  nhҩt  (2)  thì  có  thӇ  tìm  đưӧc  mӝt  nghiӋm  riêng  y

2

(x)  cӫa 

phương trình đó, đӝc lұp tuyӃn tính vӟi y

1

(x) bҵng cách đһt y

2

(x) = y

1

(x).u(x) 

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"$!F)*! D))!C

 

Phương  trình  vi  phân  tӯ  trưӡng  cҩp  hai  là  phương  trình  bұc  nhҩt  đӕi  vӟi 

hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:  

)

x

(

y

a

y

a

y

2

1

^

 

(3) 

Trong đó:  

a

1

 và a

2

 là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x;  (x)   0 

E)! B 23

  NghiӋm  tәng  quát  cӫa  phương  trì nh  không  thuҫn  nhҩt  (3)  bҵng 

nghiӋm  tәng  quát  cӫa  phương  trình  thuҫn  nhҩt  (2)  tương  ӭng  và  mӝt  nghiӋm 

riêng nào đó cӫa phương trình không thuҫn nhҩt (3).  

c

c

(

E)!B93

 Cho phương trình không thuҫn nhҩt 

)

x

(

f

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

2

1

G

G

G

 

(4) 

NӃu y

1

(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình 

)

x

(

y

a

y

a

y

1

2

1

G

G

 

(5) 

và y

2

(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình  

)

x

(

y

a

y

a

y

2

2

1

G

G

 

(6) 

thì y(x) = y

1

(x) + y

2

(x) cũng là nghiӋm riêng cӫa phương trình (4)  

!'()*7@)!<>!A) =)B)!6C>!"6G!H$!F)*IJ 

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:   

0

qy

y

p

y

G

G

 

(7) 

p, q là các hҵng sӕ 

Giҧ sӱ nghiӋm riêng cӫa (7) có dҥng 

kx

e

y

 

(8) 

Trong đó: k là hҵng sӕ sӁ đưӧc xác đӏnh  

Suy ra 

kx

ke

y

,       

kx

2

e

k

y 

 

(9) 

Thay (8) và (9) vào (7) ta có 

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0

q

pk

k

e

2

kx

G

G

 

(10) 

Vì e

kx

   0 nên  

0

q

pk

k

2

G

G

 

(11) 

NӃu k  thoҧ mãn (11) thì y = e

kx

 là mӝt nghiӋm riêng cӫa phương trình vi 

phân (7). Phương trình (11) gӑi là   ! cӫa phương trình vi 

phân (7) 

Nhұn xét: " ! (7) là phương trình bұc 2 có 2 nghiӋm k

1

 

và k

2

 như sau 

$

2

<$

9

9H!K6$!86)!" 

, khi đó 2 nghiӋm riêng cӫa phương trình 

vi phân (7) là  

c

c

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x

k

1

1

e

y

,     

x

k

2

2

e

y

 

(12) 

Hai nghiӋm riêng (12) là đӝc lұp tӯ trưӡng vì  

Œ

const

e

y

y

x

k

k

2

1

2

1

 

(13) 

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là  

x

k

2

x

k

1

2

1

2

1

e

e

y

y

y

G

G

 

(14) 

$

2

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9

9H!K67L)*)!" $

2

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9

Hai nghiӋm riêng đӝc lұp tӯ trưӡng: 

x

k

1

1

e

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, 

x

k

2

1

xe

y

 

NghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là  

Œ

x

k

2

1

x

k

2

x

k

1

1

1

1

e

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y

G

G

 

(15) 

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2

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2

M¸P <$

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M¸ 

Hai nghiӋm riêng cӫa phương trình vi phân (7) là  

Œ

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x

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x

x

i

2

x

i

x

x

i

1

e

e

e

y

e

e

e

y

º

º

M

G

M

 

(16) 

Theo công thӭc Euler ta có 

x

sin

i

x

cos

e

x

sin

i

x

cos

e

x

i

x

i

º

G

º

 

(17) 

Suy ra 

Œ

Œ

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

x

i

x

2

x

x

i

x

1

º

G

º

M

M

 

(18) 

NӃu 

M

1

y

 và 

M

2

y

 là 2 nghiӋm cӫa phương trình vi phân (7) thì các hàm  

x

sin

e

i

2

y

y

y

x

cos

e

2

y

y

y

x

2

1

2

x

2

1

1

G

G

M

M

M

M

 

(19) 

cũng là nghiӋm cӫa phương  trình vi phân (7) và đӝc lұp tӯ trưӡng vì  

c

c

g

const

x

tg

y

y

2

1

^

 

(20) 

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là  

Œ

x

sin

x

cos

e

x

sin

e

x

cos

e

y

2

1

x

x

2

x

1

G

^

G

^

 

(21) 

 

c

c

×

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232386I['O)*I\67')*6!&7'])*I)^

232323456&76'])*I_I)7'])* 

M ĐiӋn  trưӡng  đưӧc  đһc  trưng  bӣi  lӵc  tác  dөng  lên  điӋn  tích  đһt  trong  điӋn 

trưӡng 

q

F

»

»

 

(1.1) 

Hay:  

q

F

»

»

 

(1.2) 

M Cđđt 

E

»

 tҥi  mӝt  điӇm  bҩt  kì  trong  điӋn trưӡng  là  đҥi  lưӧng  vector  có  trӏ  sӕ 

bҵng lӵc tác dөng lên mӝt đơn vӏ điӋn tích điӇm dương đһt tҥi điӇm đó  

M Lӵc tác dөng giӳa 2 đt điӇm Q và q  

2

0

0

r

r

4

Qq

F

»

»

»

 

(1.3) 

- 

m

/

F

10

.

854

,

8

12

0

º

 - hҵng sӕ điӋn 

-   - đӝ điӋn thҭm tương đӕi 

- 

0

r

»

 - vector đơn vӏ chӍ phương 

M HӋ đt điӇm 

n

2

1

q

,...,

q

,

q

 

í

í

»

n

1

i

2

i

i

0

i

0

n

1

i

i

r

r

q

4

1

»

»

»

 

(1.4) 

i

0

r

»

 - các vector đơn vӏ chӍ phương 

M Trong thӵc tӃ hӋ thưӡng là dây mҧnh, mһt phҷng hay khӕi hình hӑc, do đó:  

»

l

2

l

0

l

r

r

dl

4

1

»

»

 

(1.5) 

c

c

î

^

S

2

S

0

S

r

r

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4

1

E

»

»

 

(1.6) 

»

x

2

x

0

x

r

r

dx

4

1

»

»

 

(1.7) 

232393456&7I)6%#

M ĐӇ  đơn  giҧn  khi  tính  toán  đӕi  vӟi  các  môi  trưӡng  khác  nhau,  ngưӡi  ta  sӱ 

dөng vector điӋn cҧm 

»

 

 

0

»

»

 

(1.8) 

232363456&7^6%#

M Tӯ trưӡng đưӧc đһc trưng bӣi tác dөng lӵc cӫa tӯ trưӡng lên điӋn tích chuyӇn 

đӝng hay dòng điӋn theo đӏnh luұt Lorentë  

v

q

F

»

»

»

 

(1.9) 

M Tӯ trưӡng do phҫn tӱ dòng điӋn 

l

Id

»

 tҥo ra đưӧc xác đӏnh bӣi đӏnh luұt thӵc 

nghiӋm BVL 

Œ

r

l

Id

r

4

d

2

0

»

»

»

»

 

(1.10) 

- 

m

/

10

.

257

,

1

10

.

4

6

7

0

º

º

»

 - hҵng sӕ tӯ 

-  - đӝ tӯ thҭm tương đӕi 

M Tӯ trưӡng  cӫa dây dүn có chiӅu dài l  

^

l

2

0

r

r

l

Id

4

B

»

»

»

 

(1.11) 

23233456&76'])*I_^7'])*

M ĐӇ  đơn  giҧn  khi  tính  toán  đӕi  vӟi  các  môi  trưӡng  khác  nhau,  ngưӡi  ta  sӱ 

dөng vector cưӡng đӝ tӯ trưӡng 

»

 

 

c

c

0

»

»

 

(1.12) 

2393E)! `!#<IE)! `:%&&)I)B6!

239323E)! `!#;[)*<>!A)

M Cưӡng đӝ dòng điӋn I chҥy qua mһt S đһt vuông góc vӟi nó  bҵng lưӧng điӋn 

tích q chuyӇn qua mһt S trong mӝt đơn vӏ thӡi gian  

dt

dq

I

º

 

(1.13) 

Dҩu trӯ chӍ dòng điӋn I đưӧc xem là dương khi q giҧm  

M ĐӇ mô tҧ đҫy đӫ sӵ chuyӇn đӝng cӫa các hҥt mang điӋn trong môi trưӡng dүn 

điӋn, ngưӡi ta đưa ra khái niӋ m mұt đӝ dòng điӋn 

E

v

v

e

n

J

0

»

»

»

»

w

^

^

^

 

(1.14) 

dҥng vi phân cӫa đӏnh luұt Ohm 

- n

0

 - mұt đӝ hҥt điӋn có điӋn tích e  

-  - mұt đӝ điӋn khӕi 

- 

v

»

 - vұn tӕc dӏch chuyӇn cӫa các hҥt điӋn  

- w - điӋn dүn suҩt 

M Dòng điӋn qua mһt S đưӧc tính theo 

ž

ž

ž

ž

d

ž

d

J

dI

I

»

»

»

»

 

(1.15) 

M Mӝt vұt dүn dҥng khӕi lұp phương cҥnh L, 2 mһt đӕi diӋn nӕi vӟi nguӗn áp 

U, ta có  

#$%&'()*

L

ž

L

R

U

LU

)

EL

)(

L

(

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EdS

I

S

^

w

^

w

^

w

^

w

^

 

(1.16) 

dҥng thông thưӡng cӫa đӏnh luұt Ohm  

Vì 

E

»

 và 

ž

d

»

 cùng chiӅu, đһt  

c

c

Ò

1

 

(1.17) 

 - điӋn dүn suҩt có đơn vӏ là 1/m 

239393E)! `:%&&)I)B6!

M ĐiӋn  tích  có  thӇ  phân  bӕ  liên  tөc  hay  gián  đoҥn,  không  tӵ  sinh  ra  và  cũng 

không tӵ  mҩt đi,  dӏch chuyӇn tӯ  vùng này sang vùng  khác  và tҥo nên dòng 

điӋn. 

M Lưӧng  điӋn tích đi ra  khӓi  mһt  kín  S bao  quanh thӇ tích  V bҵng lưӧng  điӋn 

tích giҧm đi tӯ thӇ tích V đó. 

M Giҧ sӱ trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi mһt S, ta có  

^

V

dV

Q

 

(1.18) 

sau thӡi gian dt lưӧng điӋn tích trong V giҧm đi dQ  

^

^

V

dV

dt

d

dt

dQ

I

 

(1.19) 

Mһt khác 

^

ž

ž

J

I

»

»

 

(1.20) 

Suy ra 

^

V

S

V

t

S

J

»

»

 

(1.21) 

»!5&IE)!a

Œ

^

^

V

V

S

V

t

V

J

.

S

J

¼

»

»

 

(1.22) 

Suy ra 

0

t

J

.

G

¼

 

(1.23) 

Đây là ҥng vi phân cӫa đӏnh luұt bҧo toàn điӋn tích hay  Î  

. 

236386I\67')*6(:%)6b"#F7'])* 

c

c

M Các đһc trưng cơ bҧn cӫa môi trưӡng:  , , w 

M Các phương trình: 

E

D

0

»

»

^

 

(1.24) 

0

»

»

 

(1.25) 

gӑi là các phương trình vұt chҩt 

M

, , w   cưӡng đӝ trưӡng : môi trưӡng tuyӃn tính  

M

, , w  const : môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng  

M

, , w theo các hưӟng khác nhau có giá trӏ không đәi khác nhau: môi trưӡng 

không đҷng hưӟng. Khi đó  ,  biӇu iӉn bҵng các tensor có  ҥng như bҧng 

sӕ.  Chҷng  hҥn  errite  bӏ  tӯ  hoá  hoһc  plasma  bӏ  tӯ  hoá  là  các  môi  trưӡng 

không đҷng hưӟng khi truyӅn sóng điӋn tӯ  

M

, , w  vӏ trí : môi trưӡng không đӗng nhҩt 

Trong tӵ nhiên đa sӕ các chҩt có   > 1 và là môi trưӡng tuyӃn tính.   

Xecnhec có   >> 1 : môi trưӡng phi tuyӃn 

  >  1  :  chҩt  thuұn  tӯ  :  các  kim  loҥi  kiӅm,  Al,  NO,  Phương  trình,  O,  N, 

không khí, ebonic, các nguyên tӕ đҩt hiӃm  

  <  1  :  chҩt  nghӏch  tӯ  :  các  khí  hiӃm,  các  ion  như  Na

+

,  Cl

-

  có  các  lӟp 

electron giӕng như khí hiӃm, và các chҩt khác  như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO

2

, H

2

O, 

thuӹ tinh, đa sӕ các hӧp chҩt hӳu cơ  

 >> 1 : chҩt sҳt tӯ : môi trưӡng phi tuyӃn :  e, Ni, Co, G, hӧp kim các 

nguyên tӕ  sҳt tӯ hoһc không  sҳt tӯ  e-Ni,  e-Ni-Al. Đӝ  tӯ hoá cӫa chҩt  sҳt tӯ 

lӟn hơn đӝ tӯ hoá cӫa chҩt nghӏch  tӯ và thuұn tӯ hàng trăm triӋu lҫn.  

M Căn  cӭ  vào  đӝ  үn  điӋn  riêng  w:  chҩt  үn  điӋn,  chҩt  bán  үn  và  chҩt  cách 

điӋn hay điӋn môi 

Chҩt үn điӋn: w > 10

4

 1/m, w =  : chҩt үn điӋn lý tưӣng 

Chҩt bán үn: 10

-10

 < w < 10

4

 

c

c

9

Chҩt cách điӋn: w < 10

-10

, w = 0 : điӋn môi lý tưӣng 

 

Không khí là điӋn môi lý tưӣng:   =  = 1, w = 0 

233E)!BH7&*7";H$" HHI<cI)7'])*

M Đưӧc tìm ra bҵng thӵc nghiӋm, là cơ sӣ cӫa các phương trình Maxwell  

M Thông lưӧng cӫa vector điӋn cҧm 

»

 qua mһt S là đҥi lưӧng vô hưӟng đưӧc 

xác đӏnh bӣi tích phân 

^

S

E

S

D

»

»

 

(1.26) 

 

 

ž

d

»

 : vi phân diӋn tích theo hưӟng pháp tuyӃn ngoài  

dž.cos(

»

,

ž

d

»

) : hình chiӃu cӫa ž lên phương 

»

 

M Xét  mӝt mһt kín S bao quanh điӋn tích điӇm q, tính thông lưӧng cӫa 

»

 o q 

tҥo ra qua mһt kín S, ta có 

Œ

»

»

d

4

q

r

4

ž

d

,

cos

.

dž

.

q

ž

d

d

2

»

»

»

»

 

(1.27) 

 là vi phân góc khӕi tӯ điӋn tích q nh ìn toàn bӝ iӋn tích S 

Thông lưӧng cӫa 

»

 qua toàn mһt kín S là 

q

d

4

q

S

d

S

»

»

»

 

(1.28) 

M Xét  trưӡng  hӧp  điӋn  tích  điӇm  q  nҵm  ngoài  mһt  kín  S.  Tӯ  điӋn  tích  q  nhìn 

toàn mһt S ưӟi mӝt góc khӕi nào đó. Mһt S có thӇ chia  thành 2 n ӱa S và S' 

D

»

 

S

»

 

S

 

 

r

»

 

q 

c

c

6

(có giao tuyӃn là AB). Pháp tuyӃn ngoài cӫa S và S' sӁ có chiӅu ngưӧc nhau. 

Do  đó  tích  phân  trên  S  và  S'  có  cùng  giá  trӏ  nhưng  trái  ҩu.  Khi  đó  thông 

lưӧng cӫa 

D

»

 qua toàn mһt kín S bҵng 0. 

 

M Xét hӋ điӋn tích điӇm q

1

, q

2

, ..., q

n

 đһt trong mһt kín S, ta có 

í

n

1

i

i

»

»

 

(1.29) 

Thông lưӧng cӫa 

D

»

 o hӋ q

1

, q

2

, ..., q

n

 gây ra qua toàn mһt kín S 

Q

q

S

D

S

D

n

1

i

i

n

1

i

S

i

S

^

^

^

^

 

^

^

»

»

»

»

 

(1.30) 

Vұy: Thông lưӧng cӫa vector điӋn cҧm 

»

 qua mһt kín S bҩt kǤ bҵng tәng 

đҥi sӕ các điӋn tích nҵm trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi S  

Lưu ý:  Vì  Q là tәng đҥi sӕ các điӋn tích q

1

, q

2

, ..., q

n

, o đó   có thӇ âm 

hoһc ương 

M NӃu trong thӇ tích V đưӧc bao quanh bӣi S có mұt đӝ điӋn k hӕi  thì   đưӧc 

tính theo  

Q

V

S

D

V

S

E

^

^

^

»

»

 

(1.31) 

Các công thӭc (1.30) và (1.31) là ҥng toán hӑc cӫa đӏnh lí Ostrograski -

Gauss đӕi vӟi điӋn trưӡng. 

Nguyên lý liên tөc cӫa tӯ thông  

M Thӵc  nghiӋm  đã  chӭng  tӓ  đưӡng  sӭc  tӯ  là  khép  kín  ù  nguӗn  tҥo  ra  nó  là 

òng điӋn hay nam châm. Tìm biӇu thӭc toán hӑc biӇu iӉn cho tính chҩt này  

D

»

 

S

»

 

A 

B 

q 

c

c

(

M Giҧ sӱ có mһt kín S tuǤ ý nҵm trong tӯ trưӡng vӟi vector tӯ cҧm 

B

»

. Thông 

lưӧng cӫa 

B

»

 qua mһt kín S bҵng tәng sӕ các đưӡng sӭc tӯ  đi qua mһt S này. 

Do  đưӡng  sӭc  tӯ  khép  kín  nên  sӕ  đưӡng  sӭc  tӯ  đi  vào  thӇ  tích  V  bҵng  sӕ 

đưӡng sӭc tӯ đi ra khӓi thӇ tích V đó. Vì vұy thông lưӧng cӫa 

B

»

 đưӧc tính 

theo 

0

S

B

S

M

^

^

»

»

 

(1.32) 

Công thӭc (1.32) gӑi là nguyên lý  liên tөc cӫa tӯ thông. Đây là mӝt phương 

trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ  

233 `)Id#!?)!C!'()*7@)!"ef5"7";"=

Khi đһt vòng ây kín trong mӝt tӯ trưӡng biӃn thiên thì trong vòng ây này 

xh òng điӋn cҧm ӭng. Chӭng tӓ trong vòng ây có mӝt  điӋn trưӡng 

»

 có chiӅu 

là chiӅu cӫa òng điӋn cҧm ӭng đó.  

Thí nghiӋm vӟi các vòng ây làm bҵng các chҩt khác nhau, trong điӅu kiӋn 

nhiӋt đӝ khác nhau đӅu có kӃt quҧ tương tӵ. Chӭng tӓ vòng ây үn không phҧi 

là nguyên nhân gây ra điӋn trưӡng mà chӍ là  phương tiӋn giúp chӍ ra sӵ có mһt 

cӫa  điӋn  trưӡng  đó.  ĐiӋn  trưӡng  này  cũng  không  phҧi  là  điӋn  trưӡng  tĩnh  vì 

đưӡng sӭc cӫa điӋn trưӡng tĩnh là đưӡng cong hӣ. ĐiӋn trưӡng tĩnh không làm 

cho hҥt điӋn  ӏch chuyӇn theo đưӡng cong kín đӇ tҥo thành òng điӋn đưӧc (vì 

hoá  ra  trong  điӋn  trưӡng  tĩnh  không  cҫn  tӕn  công  mà  vүn  sinh  ra  năng  lưӧng 

điӋn !).  

Muӕn cho các hҥt điӋn  ӏch chuyӇn theo đưӡng cong kín đӇ tҥo thành òng 

điӋn thì công phҧi khác 0, có nghĩa là  

0

l

E

q

l

»

»

 

(1.33) 

và đ.sӭc cӫa điӋn trưӡng này phҧi là các đ.cong kín và gӑi là điӋn trưӡng xoáy.  

Phát  biӇu  luұn  điӇm  I:  Bҩt  kì  mӝt  tӯ  trưӡng  nào  biӃn  đәi  theo  thӡi  gian 

cũng tҥo ra mӝt điӋn trưӡng xoáy.  

c

c

?

ThiӃt lұp phương trình Maxwell- araay:  

Theo  đӏnh  luұt  cҧm  ӭng  điӋn  tӯ  cӫa  araay,  sӭc  điӋn  đӝng  cҧm  ӭng  xh 

trong mӝt vòng ây kim loҥi kín vӅ trӏ sӕ bҵng tӕc đӝ biӃn thiên cӫa tӯ thông đi 

qua iӋn tích cӫa vòng ây  

t

e

c

º

 

(1.34) 

Dҩu (-) phҧn ҧnh sӭc điӋn đӝng cҧm ӭng trong vòng ây tҥo ra òng điӋn 

cҧm ӭng có chiӅu sao cho chӕng lҥi sӵ biӃn thiên cӫa tӯ thông   

ž

ž

»

»

 

(1.35) 

là thông lưӧng cӫa vector tӯ cҧm 

B

»

 qua S đưӧc bao bӣi vòng ây. Suy ra  

ÊÊ

º

ÊÊ

º

º

º

ž

ž

ž

c

ž

d

t

ž

d

dt

d

ž

d

dt

d

dt

d

e

»

»

»

»

»

»

 

(1.36) 

Hoһc biӇu iӉn sӭc điӋn đӝng cҧm ӭng e

c

 theo lưu sӕ cӫa vector cưӡng đӝ 

điӋn trưӡng 

»

 

l

c

l

d

e

»

»

 

(1.37) 

ChiӅu cӫa vòng ây kín l lҩy ngưӧc chiӅu kim đӗng hӗ khi nhìn nó tӯ ngӑn 

cӫa 

B

»

  

 

Vì vòng ây kín l đӭng yên nên theo các công thӭc (1.35), (1.36), (1.37) ta 

có 

ž

»

 

B

»

 

l

»

 

ž

 

c

c

g

ÊÊ

º

ž

l

ž

d

t

l

d

»

»

»

»

 

(1.38) 

Đây  là  phương  trình  Maxwell- araay  ưӟi  ҥng  tích  phân,  cũng  là  mӝt 

phương trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ.  

Vұy:  Lưu  sӕ  cӫa  vector  cưӡng  đӝ  điӋn  trưӡng  xoáy  ӑc  theo  mӝt  đưӡng 

cong kín bҩt kì bҵng vӅ giá trӏ tuyӋt đӕi nhưng trái ҩu vӟi tӕc đӝ biӃn thiên theo 

thӡi gian cӫa tӯ thông gӱi qua  iӋn tích giӟi hҥn bӣi đưӡng cong kín đó.  

Theo giҧi tích vector (công thӭc Green -Stock) 

Œ

^

S

l

S

E

l

E

»

»

»

»

 

(1.39) 

Theo các phương trình (1.38) và (1.39) 

t

B

E

^

»

»

 

(1.40) 

Đây là phương trình Maxwell- araay ưӟi ҥng  vi phân, có thӇ áp өng 

đӕi vӟi tӯng điӇm mӝt trong không gian có tӯ trưӡng biӃn thiên.  

23g3 `)Id#!?!"!'()*7@)!"ef5#>575

Theo  luұn điӇm  I, tӯ trưӡng biӃn thiên theo thӡi  gian  sinh ra điӋn trưӡng 

xoáy.  Vұy  ngưӧc  lҥi  điӋn  trưӡng  biӃn  thiên  có  sinh  ra    tӯ  trưӡng  không  ?  ĐӇ 

đҧm bҧo tính đӕi xӭng trong mӕi liӋn hӋ giӳa điӋn trưӡng và tӯ trưӡng, Maxwell 

đưa ra luұn điӇm II: 

Bҩt  kì  mӝt  điӋn  trưӡng  nào  biӃn  thiên  theo  thӡi  gian  cũng  tҥo  ra  mӝt  tӯ 

trưӡng. 

(Đã chӭng minh bҵng thӵc nghiӋm)  

Lưu  ý:  điӋn  trưӡng  nói  chung  có  thӇ  không  p.bӕ  đӗng  đӅu  trong  không 

gian, có nghĩa là thay đәi tӯ điӇm này sang điӇm khác, nhưng theo luұn điӇm II 

è

     

è

    . 

ThiӃt lұp phương trình Maxwell-Ampere: 

c

c

×

Theo nguyên lí tác өng tӯ cӫa òng điӋn và đӏnh luұt Biot -Savart-Laplace, 

Ampere phát biӇu đӏnh luұt òng điӋn toàn phҫn:  

*+,- ./010

H

»

&2./0/34

 356+,%&789 &83 /3:0/ 

I

I

l

d

n

1

i

i

l

í

»

¼

 

(1.41) 

 

 

Dòng điӋn I đi qua iӋn tích S có thӇ phân bӕ liên tөc hoһc gián đoҥn.  

NӃu òng điӋn qua mһt S có phân bӕ liên tөc vӟi mұt đӝ òng điӋn 

J

»

thì 

ž

l

ž

d

J

l

d

»

»

»

¼

 

(1.42) 

Đӏnh luұt òng điӋn toàn phҫn cũng là mӝt phương trình c ơ bҧn cӫa trưӡng 

điӋn tӯ 

j

 !"#$#% 

Căn cӭ vào đӏnh luұt cҧm ӭng điӋn tӯ cӫa  araay và đӏnh luұt òng điӋn 

toàn phҫn cӫa Ampere, Maxwell bҵng lý thuyӃt đã chӍ ra sӵ tác өng tương hӛ 

giӳa  đt  và  tӯ  trưӡng  cùng  vӟi  viӋc  đưa  ra  khái  niӋm  mӟi  vӅ  òng  điӋn  ӏch. 

Dòng điӋn ӏch có mұt đӝ đưӧc tính theo công thӭc  

0

0

J

J

t

t

t

D

J

»

»

¼

»

»

»

G

G

 

(1.43) 

Trong đó: 

J

»

 

l

»

 

S

»

 

I

i

 

S 

c

c

î

t

J

d

¼

»

  -  mұt  đӝ  òng  điӋn  p.cӵc  trong  điӋn  môi  o  sӵ  xê  ӏch  cӫa  các 

điӋn tích 

t

J

0

0

»

»

 - điӋn trưӡng biӃn thiên trong chân không và gӑi là mұt đӝ òng 

điӋn ӏch 

ĐӇ chӭng  minh  sӵ tӗn tҥi cӫa òng điӋn  ӏch, xét thí ө  sau: có  mӝt  mһt 

kín S bao quanh 1 trong 2 bҧn cӫa tө điӋn. Do có điӋn áp xoay chiӅu đһt vào tө 

điӋn nên giӳa 2 bҧn tө có điӋn trưӡng biӃn thiên 

»

 và òng điӋn biӃn thiên chҥy 

qua tө. Dòng điӋn này chính là òng điӋn #%  &  vì giӳa 2 bҧn 

tө không tӗn tҥi điӋn tích chuyӇn đӝng và có giá trӏ:  

t

E

S

I

0

0

^

»

 

(1.44) 

Theo đӏnh luұt Gauss 

ž

ž

d

q

0

ž

0

»

»

 

(1.45) 

S

S

S

^

»

 vì điӋn trưӡng chӍ tӗn tҥi giӳa 2 bҧn tө  

Đӕi vӟi môi trưӡng chân không, ta có:   = 1 

 

Dòng điӋn үn chҥy trong ây үn nӕi vӟi tө có giá trӏ bҵng  

S

 

S'

 

+q

 

-q

 

E

»

 

~ 

c

c

t

E

S

S

E

t

t

q

I

0

S

0

^

^

^

»

»

»

 

(1.46) 

Suy ra 

I = I

0

 

(1.47) 

Vұy: òng điӋn ӏch chҥy giӳa 2 bҧn tө bҵng  òng điӋn үn chҥy ӣ mҥch 

ngoài tө điӋn. 

Bҵng cách bә sung òng điӋn ӏch vào vӃ phҧi cӫa phương trình (1.42), ta 

có 

36 +    ;    /   1 0 &7 8 &< 

&78&=

^

S

S

l

S

t

D

S

J

l

H

»

»

»

»

»

¼

 

(1.48) 

Hay 

ÊÊ

^

S

l

S

t

D

J

l

H

»

»

»

»

¼

 

(1.49) 

Đây là phương trình Maxwell-Ampere ưӟi ҥng tích phân 

Theo giҧi tích vector (công thӭc Green -Stock) 

Œ

^

S

l

S

H

l

H

»

»

»

¼

 

(1.50) 

Suy ra 

J

J

t

D

J

H

»

»

»

»

»

^

^

 

(1.51) 

Đây  là  phương  trình  Maxwell-Ampere  ưӟi  ҥng  vi  phân,  cũng  là  mӝt 

phương trình cơ bҧn cӫa trưӡng điӋn tӯ 

NӃu môi trưӡng có điӋn үn suҩt  w = 0 (điӋn môi lí tưӣng và chân không) 

thì o 

0

E

J

^

w

^

»

»

, ta có: 

0

0

J

t

E

H

»

»

»

^

^

 

(1.52) 

c

c

9

Vұy: òng điӋn ӏch hay điӋn trưӡng biӃn thiên theo thӡi gian cũng tҥo ra 

tӯ trưӡng như òng điӋn үn. 

23h3»7'])*I)^<!>!'()*7@)!"ef5 

Theo các luұn điӇm cӫa Maxwell, tӯ trưӡng biӃn thiên theo thӡi gian tҥo ra 

điӋn  trưӡng  xoáy,  và  ngưӧc  lҥi  điӋn  trưӡng  biӃn  thiên  th eo  thӡi  gian  tҥo  ra  tӯ 

trưӡng. Vұy trong không gian điӋn trưӡng và tӯ trưӡng có thӇ đӗng thӡi tӗn tҥi 

và có liên hӋ chһt chӁ vӟi nhau  

ĐiӋn trưӡng và tӯ trưӡng đӗng thӡi tӗn tҥi trong không gian tҥo thành mӝt 

trưӡng thӕng nhҩt gӑi là trưӡng điӋn tӯ.  

Trưӡng điӋn tӯ là  mӝt ҥng  vұt chҩt đһc trưng cho  sӵ  tương tác  giӳa các 

hҥt mang điӋn. 

!'()*7@)!"ef5"7";"=

Dҥng tích phân 

ÊÊ

^

S

l

S

t

B

l

E

»

»

»

»

 

(1.53) 

Dҥng vi phân 

t

B

E

^

»

»

 

(1.54) 

Y

>?@A4- B C.;,D8 E 103

D80/%F

!'()*7@)!"ef5#>575

Dҥng tích phân 

ÊÊ

^

S

l

S

t

D

J

l

H

»

»

»

»

¼

 

(1.55) 

Dҥng vi phân 

t

D

J

G

»

»

»

 

(1.56) 

c

c

9

Y

>?@A - B C.$803DG+

 10&78&=F 

E)!BI<cI)7'])*

Dҥng tích phân 

q

ž

d

D

ž

»

»

 

(1.57) 

Theo giҧi tích vector: 

^

V

S

V

D

.

S

D

»

»

»

 và 

^

V

V

q

, ta có 

Dҥng vi phân 

^

 D

.

»

 

(1.58) 

Y

> ?  H I  -  % 0 +A 8 0 J H 1

%8& /%8K$0LM  

E)!BI<c^7'])*

Dҥng tích phân 

0

ž

d

ž

»

»

 

(1.59) 

Dҥng vi phân 

0

.

»

 

(1.60) 

Y

>?I- %0+A10$0HLM

Các  phương  trình  (1.54),  (1.56),  (1.58),  (1.60)  gӑi  là  hӋ  phương  trình 

Maxwell 

t

B

E

^

»

»

 

 

t

J

G

»

»

»

 

(1.61) 

 Y

.

»

 

 

0

.

»

 

 

>!'()*7@)!"ef5<c)* i))*&

c

c

99

Trong lí thuyӃt anten bӭc xҥ điӋn tӯ phát ra tӯ nguӗn và đi vào không gian. 

Dòng điӋn  trong anten là nguӗn bӭc xҥ điӋn tӯ.  Nguӗn òng  điӋn này  đӝc lұp 

vӟi môi trưӡng và không chӏu ҧnh hưӣng cӫa trưӡng o nó tҥo ra, gӑi là nguӗn 

ngoài.  Các  nguӗn  ngoài  có  bҧn  chҩt  điӋn  hoһc  không  điӋn.  ĐӇ  đһc  trưng  cho 

nguӗn  ngoài  cӫa  trưӡng  điӋn  tӯ  ta  có  khái  niӋm  mұt  đӝ  òng  điӋn  ngoài 

J

»

. 

Đ.luұt  hm ҥng vi phân: 

Œ

ý

ý

J

J

»

»

»

»

G

G

 

(1.62) 

Nhұn  xét:  hӋ  phương  trình  Maxwell  (1.61)  chӍ  mô  tҧ  trưӡng  điӋn  tӯ  tҥi 

nhӳng điӇm trong không gian không tӗn tҥi nguӗn ngoài cӫa trưӡng hay  

 #. Khi có nguӗn ngoài hӋ phương trình Maxwell đưӧc viӃt lҥi  

t

º

»

»

 

 

t

Y

J

J

ý

G

G

»

»

»

»

 

(1.63) 

 Y

.

»

 

 

0

.

»

 

 

Trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng có  ,  và w, tӭc là 

môi trưӡng điӋn môi: 

E

D

0

»

»

^

 

môi trưӡng үn điӋn: 

E

J

»

»

w

^

 

môi trưӡng tӯ hoá: 

0

»

»

, ta có 

t

0

º

»

»

 

 

t

J

0

ý

G

G

»

»

»

»

 

(1.64) 

0

E

.

^

»

 

 

0

H

. ^

»

 

 

* =N)BIJj)6b"!>!'()*7@)!"ef5 

c

c

96

M Xét trưӡng hӧp môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, không òng điӋn 

үn, không điӋn tích tӵ o và nguӗn ngoài 

0

J

J

ý

»

»

 

t

H

E

0

^

»

»

 

 

t

0

»

»

 

(1.65) 

0

E

.

^

»

 

 

0

H

. ^

»

 

 

Nhұn xét: 

»

 và 

»

 đӕi xӭng và có thӇ đәi lүn cho nhau  

M ĐӇ hӋ phương trình Maxwell trong trưӡng hӧp có nguӗn ngoài vүn đӕi 

xӭng, cҫn phҧi đưa thêm 2 đҥi lưӧng hình thӭc  

M

J

»

 - mұt đӝ òng tӯ ngoài 

M

 - mұt đӝ tӯ khӕi 

Trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, không òng điӋn үn, không 

điӋn tích tӵ o, vӟi nguӗn điӋn và tӯ  ngoài 

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

 

 

t

J

0

G

»

»

»

, ` È`

 

(1.66) 

0

E

.

^

»

 

 

0

.

»

 

 

Ӭng өng: nӃu kӃt quҧ bài toán cho mӝt nguӗn điӋn (nguӗn tӯ) đã biӃt, thì 

sӱ өng nguyên lý đәi lүn đӇ xác đӏnh kӃt quҧ bài toán c ho mӝt nguӗn tӯ (nguӗn 

điӋn), mà không cҫn phҧi giҧi cҧ hai.  

>!'()*7@)!"ef5I<c7'])*I)^Ik !& 

c

c

9(

Trưӡng điӋn tӯ và nguӗn biӃn thiên điӅu hoà vӟi tҫn sӕ góc  Ç nên có thӇ 

biӇu iӉn ưӟi ҥng phӭc, ta có  

M

^

E

re

E

»

»

 

 

M

re

»

»

 

(1.67) 

M

^

J

re

J

»

»

 

 

M

^

 re

 

 

Vӟi:  

Trong  đó: 

Œ

ë

y

x

i

më

i

my

i

mx

m

m

e

k

e

j

e

i

ë

,

y

,

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M

M

G

G

^

»

»

»

»

»

gӑi  là  biên  đӝ  phӭc 

cӫa 

M

E

»

; 

x

, 

y

, 

ë

 là các pha ban đҫu 

Khi đó 

m

0

m

H

i

E

M

M

Ç

^

»

»

 

 

m

m

0

m

J

i

M

M

M

M

G

G

»

»

»

»

 

(1.69) 

0

m

m

.

M

M

»

 

 

0

.

M

»

 

 

23l3k $):N)I<c686<56&76b"7'])*I)^ 

Xét hai môi trưӡng 1 và 2 có mһt phân cách S, xét tính liên  tөc hoһc gián 

đoҥn cӫa cácvector cӫa trưӡng điӋn tӯ và đã xác đӏnh đưӧc  

- đӕi vӟi thành phҫn pháp tuyӃn cӫa điӋn trưӡng  

D

1n

 - D

2n

 = 

S

 

S

 8!

(1.70) 

t

i

m

e

M

M

 ; 

t

i

m

e

M

M

»

»

 ; 

t

i

m

e

M

M

»

»

 ; 

t

i

m

e

J

J

M

M

»

»

 

(1.68) 

c

c

9?

Khi 

S

 = 0 ta có: D

1n

 = D

2n

 hay 

1

2

n

2

n

1

E

E

^

 

- đӕi vӟi thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa điӋn trưӡng  

E

1

 = E

2

,       

1

2

2

1

D

D

^

 

(1.71) 

- đӕi vӟi thành phҫn pháp tuyӃn cӫa tӯ trưӡng  

B

1n

 = B

2n

,       

1

2

n

2

n

1

^

 

(1.72) 

- đӕi vӟi thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa tӯ trưӡng  

1

 - 

2

 = I

S

 

I

S

 &78!

Khi I

S

 = 0 ta có: H

1

 = H

2

 hay 

1

2

2

1

B

B

^

 

(1.73) 

- Trưӡng hӧp đһc biӋt môi trưӡng 1 là điӋn môi và môi trưӡng 2 là vұt үn 

lí tưӣng có w

2

 = . Trong vұt үn lí tưӣng trưӡng điӋn tӯ không tӗn tҥi, có nghĩa 

là 

0

H

2

2

^

^

»

»

.  

Thӵc vұy, nӃu vұt үn lí tưӣng tӗn tҥi trưӡng điӋn tӯ 

0

;

2

2

±

»

»

 thì ưӟi tác 

өng cӫa trưӡng các điӋn tích tӵ o sӁ phân bӕ lҥi điӋn tích trên bӅ mһt cӫa nó 

cho đӃn khi trưӡng phө o chúng tҥo ra triӋt tiêu vӟi trưӡng ban đҫu và kӃt quҧ 

trưӡng  tәng  hӧp  trong  vұt  үn  lý  tưӣng  bҵng  0.  Trên  bӅ  mһt  S  cӫa  vұt  үn  lí 

tưӣng có òng điӋn mһt và điӋn tích mһt tӗn tҥi trong mӝt lӟp mӓng vô hҥn.   

Khi đó ta đưӧc 

E

1n

 = 

1

S

 

E

1

 = 0 

H

1n

 = 0 

H

1

 = I

S

 

(1.74) 

c

c

9g

Vұy: trưӡng điӋn  tӯ trong điӋn  môi  sát  mһt  vұt үn lí tưӣng chӍ có thành 

phҫn pháp tuyӃn cӫa 

»

 và thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa 

»

 

23m3n)*'O)*7'])*I)^E)!BR#&<&=))*

- Năng lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ 

W = W

E

 + W

M

 =

Œ

Ç

Ç

V

M

E

V

 =

ÊÊ

V

2

0

2

0

V

2

2

E

 

- Đӏnh lí Umov Poynting 

Đã chӭng minh đưӧc 

O

t

S

P

P

t

W

S

^

»

»

 

(1.75) 

Trong đó 

H

E

»

»

»

^

 (W/m

2

) vector Poynting 

Phương trình = 

^

x

2

x

dx

dx

J

»

»

»

 công suҩt tiêu hao nhiӋt o òng điӋn үn 

J

»

 gây ra trong V 

P

O

 = 

x

dx

J

»

»

 công suҩt cӫa nguӗn ngoài trong thӇ tích V  

(1.75) gӑi là đӏnh lí Umov Poynting mô tҧ sӵ cân bҵng cӫa trưӡng điӋn tӯ 

trong thӇ tích V 

Phát biӇu: Tәng các đӝ biӃn đәi năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ, công suҩt  tәn 

hao  nhiӋt  và  công  suҩt  nguӗn  ngoài  trong  thӇ  tích  V  bҵng  thông  lưӧng  cӫa 

vector Poynting qua mһt kín S bao thӇ tích V đó.  

Vector Poynting 

(

»

 biӇu thӏ sӵ ӏch chuyӇn năng lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ.  

232+3E)!B)*!#; =)!C

HӋ phương trình Maxwell có nghiӋm uy nhҩt khi trưӡng điӋn tӯ thoҧ mãn 

các điӅu kiӋn sau 

c

c

9×

1. BiӃt các vector cđ điӋn trưӡng và tӯ trưӡng tҥi thӡi điӇm t

0

 = 0 ӣ tҥi bҩt 

kì điӇm nào trong vùng không gian khҧo sát hay còn gӑi là điӅu kiӋn ban đҫu, 

tӭc là  

Œ

0

,

ë

,

y

,

x

E

E

0

»

»

^

 khi t = 0 

 

Œ

0

,

ë

,

y

,

x

H

H

0

»

»

^

 

(1.76) 

2. BiӃt thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa 

E

»

 và thành phҫn tiӃp tuyӃn cӫa 

H

»

 tҥi mһt 

giӟi hҥn S bao miӅn không gian khҧo sát trong khoҧng thӡi gian 0 < t <   hay 

còn gӑi là điӅu kiӋn biên  

E = E

|S

 hoһc H = H

|S

 vӟi 0 < t <  

(1.77) 

Nhұn xét: Đӏnh lí nghiӋm uy nhҩt có ý nghĩa quan trӑng vì bҵng cách nào 

đó ta nhұn đưӧc nghiӋm cӫa hӋ phương trình Maxwell và nӃu nó thoҧ mãn các 

điӅu kiӋn trên thì nghiӋm nhұn đưӧc là  uy nhҩt. 

23223* =N)B'()*!o

Nguyên lí tương hӛ phҧn ҧnh mӕi quan hӋ tương hӛ giӳa trưӡng điӋn tӯ và 

các nguӗn tҥo ra nó tҥi hai điӇm khác nhau trong không gian.  

'(")*

Dҥng vi phân 

ÊÊ

º

º

º

º

ÊÊ

º

ÊÊ

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

J

J

J

J

.

.

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

 

(1.78) 

Dҥng tích phân 

ÊÊ

ÊÊ

^

^

ÊÊ

ÊÊ

ÊÊ

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

S

m

1

m

2

m

2

m

1

V

H

J

H

J

E

J

E

J

S

H

E

H

E

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

 

(1.79) 

V Î , ta có 

c

c

9î

0

dx

J

J

J

J

x

m

1

m

2

m

2

m

1

m

1

m

2

m

2

m

1

ÊÊ

º

º

ÊÊ

º

M

M

M

M

M

M

M

M

»

»

»

»

»

»

»

»

 

(1.80) 

9 +,-. /
Giҧ sӱ trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng, nguӗn điӋn và tӯ 1 phân 

bӕ  trong  V

1

,  nguӗn  điӋn  và  tӯ  2  phân  bӕ  trong  V

2

  và  2  thӇ  tích  này  không  có 

miӅn chung. Do đó  vӃ trái cӫa phương trình (1.80) tích phân trong miӅn V  Î  

chia thành 3 miӅn V

1

, V

2

 và miӅn còn lҥi. Tuy nhiên tích phân trong miӅn còn 

lҥi bҵng 0  vì  miӅn này  không tӗn tҥi nguӗn cho nên phương  trình (1.80) đưӧc 

viӃt lҥi 

ÊÊ

º

ÊÊ

º

M

M

M

M

M

M

M

M

2

V

m

1

m

2

m

1

m

2

1

V

m

2

m

1

m

2

m

1

dV

J

J

dV

J

J

»

»

»

»

»

»

»

»

 

(1.81) 

gӑi là nguyên lí tương hӛ cӫa trưӡng điӋn tӯ và nguӗn cӫa chúng ӣ 2 miӅn khác 

nhau. 

23293* =N)BIi)*;[)*I)I_)* 

Nguyên lí đӗng ҥng điӋn đӝng hay còn gӑi là nguyên lí mүu hoá xác đӏnh 

mӕi quan hӋ giӳa trưӡng điӋn tӯ. Các tham sӕ điӋn và hình hӑc cӫa h Ӌ điӋn tӯ và 

môi trưӡng đӕi vӟi 2 hӋ điӋn tӯ đӗng ҥng điӋn đӝng vӟi nhau.  

Tham sӕ hoá các đҥi lưӧng cӫa trưӡng điӋn tӯ  

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

a

t

;

a

l

;

a

J

;

a

J

;

a

;

a

»

»

»

»

»

»

»

»

 

(1.82) 

4

3

2

1

a

;

a

;

a

;

a

»

»

»

»

 là các vector đơn vӏ không có thӭ nguyên chӍ sӵ phө thuӝc cӫa 

cưӡng đӝ trưӡng và nguӗn vào các toҥ đӝ không gian và thӡi gian  

6

5

a

;

a

 là các đơn vӏ vô hưӟng xác đӏnh toҥ đӝ không gian và thӡi gian  

Các hӋ sӕ tӍ lӋ ¸

i

  có thӭ nguyên tương ӭng là  

¸

1

 [A/m], ¸

2

 [V/m], ¸

3

 [A/m

2

], ¸

4

 [V/m

2

], ¸

5

 [m], ¸

6

 [s] 

Thay các đҥi lưӧng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây  

t

J

0

G

G

»

»

»

»

, ` È`

 

(1.83) 

c

c

9

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

 

 

Ta đưӧc 

3

3

6

2

2

1

1

a

c

a

a

c

c

a

»

»

»

^

 

(1.84) 

6

1

5

4

4

2

a

a

c

a

c

a

^

»

»

»

 

 

Các hӋ sӕ tӍ lӋ c

i

  không có thӭ nguyên tương ӭng vӟi các biӇu thӭc sau  

1

5

2

1

c

¸

¸

w

¸

^

; 

6

5

2

2

c

¸

¸

¸

^

; 

1

5

3

3

c

¸

¸

¸

^

; 

2

5

4

4

c

¸

¸

¸

^

; 

6

2

5

1

5

c

¸

¸

¸

¸

^

 

HӋ phương trình (1.84) là ҥng không có thӭ nguyên, mô tҧ các hӋ điӋn tӯ 

khác nhau qua hӋ sӕ c

i

. Hai hӋ điӋn tӯ có các hӋ sӕ c

i

 tương ӭng bҵng nhau gӑi 

là 2 hӋ đӗng ҥng điӋn đӝng vӟi nhau.  

23263»7'])*p)!I)

Trưӡng tĩnh điӋn đưӧc tҥo ra bӣi các điӋn tích đӭng yên và không biӃn đәi 

theo thӡi gian, ta có hӋ phương trình Maxwell như sau  

0

»

 

 

 Y

.

»

 

(1.85) 

Y

0

»

»

 

 

2323»^7'])*6b";q)*I)$!F)*IJ 

0

»

 

 

 Y

.

»

 

(1.86) 

E

D

0

»

»

^

 

 

 

J

H

»

»

^

 

 

0

.

»

 

(1.87) 

H

B

0

»

»

^

 

 

c

c

6

Nhұn  xét:  ĐiӋn  trưӡng  cӫa  òng  điӋn  không  đәi  cũng  tương  tӵ  như  điӋn 

trưӡng  tĩnh  và  là  mӝt  trưӡng  thӃ,  chӍ  khác  nhau  là điӋn  trưӡng  cӫa  òng  điӋn 

không đәi tӗn tҥi ngay cҧ trong vұt үn 

J

»

»

, còn điӋn trưӡng tĩnh thì không 

tӗn tҥi bên trong vұt үn.  

c

c

6

!'()*9

»Vr0W» stu

9

323!'()*7@)!HG)*I<c686<56&76'])*I_7'])* 

Lưu ý: 

-   là đӝ điӋn thҭm tӍ đӕi đӕi vӟi môi trưӡng  

-  là đӝ tӯ thҭm tӍ đӕi đӕi vӟi môi trưӡng 

Đһt  ¶ = 

0

 và ¶ = 

0

 

-  ¶ là đӝ điӋn thҭm tuyӋt đӕi 

- ¶ là đӝ tӯ thҭm tuyӋt đӕi 

HӋ phương trình Maxwell trong môi trưӡng đӗng nhҩt và đҷng hưӟng có cҧ 

nguӗn điӋn và tӯ ngoài 

t

J

H

0

G

G

»

»

»

»

 

(1) 

 

t

H

J

E

0

M

^

»

»

»

 

(2) 

(2.1) 

0

.

»

 

(3) 

 

0

M

H

.

^

»

 

(4) 

 

Nhұn xét: Các phương trình (1) và (2) bao gӗm 

E

»

, 

H

»

 và các nguӗn điӋn và 

tӯ nên khó giҧi. Vì vұy cҫn đưa chúng vӅ ҥng đơn giҧn hơn.  

Lҩy rot 2 vӃ cӫa các phương trình (1) và (2)  

Œ

Œ

Œ

Œ

t

J

.

0

2

»

»

»

»

»

»

G

G

º

 

(1) 

 

Œ

Œ

Œ

t

J

.

0

2

»

»

»

»

»

º

º

º

 

(2) 

(2.2) 

Suy ra 

c

c

69

0

0

0

2

2

0

0

2

J

t

J

1

J

t

t

»

»

»

»

»

»

G

G

G

º

º

º

 

(1) 

t

J

1

J

t

t

0

0

0

2

2

0

0

2

G

G

º

º

»

»

»

»

»

 

(2) 

Nhұn  xét:  VӃ  trái  cӫa  các  phương  trình  (1)  và  (2)  trong  (2.3)  chӍ  còn 

»

 

hoһc 

»

. Đây là các phương trình  vi phân cҩp 2 có vӃ phҧi. Rҩt  khó  giҧi  vì  vӃ 

phҧi là các hàm rҩt phӭc tҥp. Thưӡng chӍ giҧi trong trưӡng hӧp không có nguӗn 

và điӋn môi lí tưӣng w = 0, ta có 

0

t

H

H

2

2

0

0

2

^

»

»

 

(1) 

 

0

t

E

E

2

2

0

0

2

^

»

»

 

(2) 

(2.4) 

9

393!'()*7@)!6!&686!I)I_)* 

Nhұn xét: hӋ phương trình Maxwell (2.1) là tuyӃn tính, các nguӗn điӋn và 

tӯ thưӡng đưӧc kích thích riêng rӁ và đӝc lұp vӟi nhau.  

9

39323<c)* i)I)

ĐӇ  đơn  giҧn  xét  trưӡng  trong  điӋn  môi  lí  tưӣng  w  =  0  hӋ  phương  trình 

Maxwell (2.1) đưӧc viӃt lҥi 

t

E

J

H

0

E

^

»

»

»

 

(1) 

 

t

0

º

»

»

 

(2) 

(2.5) 

0

E

.

^

»

 

(3) 

 

0

.

»

 

(4) 

 

Đһt: 

Œ

0

1

»

»

 

(2.6) 

c

c

66

»

 gӑi là thӃ vector điӋn 

DӉ thҩy rҵng: 

Œ

0

.

1

.

0

»

»

 

Đưa (2.6) vào (2) cӫa hӋ phương trình (2.5) ta đưӧc 

0

t

Ê

Ê

G

»

»

 

(2.7) 

Suy ra 

t

º

º

»

»

 

(2.8) 

Lưu ý 

0

E

^

 

(2.9) 

E

 là thӃ vô hưӟng điӋn 

E

»

và 

E

 đưӧc gӑi chung là các thӃ điӋn đӝng cӫa nguӗn điӋn  

Như vұy: 

H

»

 và 

E

»

 đưӧc biӇu iӉn qua 

E

»

và 

E

 theo các công thӭc (2.6) và 

(2.8) tương ӭng. 

Tìm 

E

A

»

và 

E

 ? 

Tӯ các công thӭc (2.6) và (2.8) thay 

»

 và 

»

 vào (1) cӫa (2.5) ta có 

0

0

0

2

2

0

0

2

J

t

A

.

t

A

A

»

»

»

»

^

Ê

 

(2.10) 

E

A

»

và 

E

 đưӧc chӑn tuǤ ý. Vì vұy đӇ đơn giҧn ta có thӇ chӑn điӅu kiӋn phө  

0

t

.

E

0

0

E

G

»

 

(2.11) 

(2.11) còn gӑi là hӋ thӭc chuҭn  

Phương trình sóng (2.10) đưӧc viӃt lҥi 

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

A

»

»

»

^

 

(2.12) 

Tӯ công thӭc (2.8) thay 

»

 vào (3) cӫa (2.5) và áp өng (2.11) ta có  

c

c

6(

0

2

E

2

0

0

E

2

t

^

 

(2.13) 

Các  phương  trình  (2.12)  và  (2.13)  gӑi  là  các  phương  trình  sóng  không 

thuҫn nhҩt hay các phương trình ¶Alambert cho các thӃ điӋn đӝng cӫa trưӡng 

điӋn tӯ đӕi vӟi nguӗn điӋn. 

E

A

»

và 

E

   

9

39393<c)* i)^

HӋ phương trình Maxwell (2.1) đӕi vӟi nguӗn tӯ trong điӋn môi lí tưӣng  w 

= 0 có ҥng 

t

E

H

0

^

»

»

 

(1) 

 

t

J

0

º

º

»

»

»

 

(2) 

(2.14) 

0

E

.

^

»

 

(3) 

 

0

M

H

.

^

»

 

(4) 

 

Cách làm tương tӵ như đӕi vӟi nguӗn điӋn ta có  

Œ

M

0

A

1

E

»

»

^

 

 

M

M

t

A

H

^

»

»

 

(2.15) 

0

2

2

0

0

2

J

t

»

»

»

º

º

 

 

0

M

2

M

2

0

0

M

2

t

º

º

 

(2.16) 

0

t

.

M

0

0

M

G

»

 

(2.17) 

M

A

»

và 

M

 là các thӃ điӋn đӝng đӕi vӟi nguӗn tӯ  

c

c

6?

NӃu trong môi trưӡng điӋn môi lí tưӣng tӗn tҥi đӗng thӡi cҧ nguӗn điӋn và 

nguӗn tӯ thì trưӡng điӋn tӯ tәng hӧp bҵng chӗng chҩt trưӡng cӫa nguӗn điӋn và 

nguӗn tӯ, có nghĩa là 

Œ

E

M

0

E

A

1

t

A

E

^

»

»

»

 

 

Œ

M

M

E

0

t

A

A

1

H

^

»

»

»

 

(2.18) 

Nhұn xét: 

»

 và 

»

 đưӧc biӇu iӉn qua 

»

và 

E

 hoһc 

»

và 

M

 làm cho hӋ 

phương  trình  Maxwell  đơn  giҧn  hơn.  Đây  chính  là  ưu  điӇm  cӫa  phương  pháp 

ùng các thӃ điӋn đӝng.  

9

39363<c7'])*Ik !&

NӃu các nguӗn cӫa trưӡng biӃn thiên điӅu hoà theo thӡi gian vӟi tҫn sӕ góc 

Ç thì các phương trình sóng ¶Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viӃt ưӟi ҥng 

biên đӝ phӭc như sau 

m

0

2

m

2

2

m

2

J

t

A

k

A

M

M

M

º

º

»

»

»

 

 

0

m

2

m

2

2

m

2

t

k

º

º

M

M

 

 

Mm

0

2

Mm

2

2

Mm

2

J

t

A

k

A

M

M

M

º

º

»

»

»

 

(2.19) 

0

m

2

m

2

2

m

2

t

k

º

º

M

M

 

 

Trong đó: 

0

0

k

 là sӕ sóng trong môi trưӡng 

(2.19)  là  các  phương  trình  không  thuҫn  nhҩt,  còn  gӑi  là  phương  trình 

Hemholtë 

BiӇu thӭc cӫa 

»

 và 

»

 có ҥng 

c

c

6g

m

m

0

m

1

i

M

M

M

º

ÊÊ

º

º

»

»

»

 

(2.20) 

m

m

m

0

t

1

M

M

M

º

º

ÊÊ

»

»

»

 

 

Giӳa thӃ vector và thӃ vô hưӟng có mӕi quan hӋ sau  

Em

0

0

Em

A

.

1

M

M

Ç

^

»

 

(2.21) 

Mm

0

0

Mm

A

.

1

M

M

Ç

^

»

 

 

Nhұn xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thҩy rҵng đӕi vӟi trưӡng điӋn tӯ điӅu 

hoà chӍ cҫn tìm nghiӋm cӫa hai phương trình  Hemholtë đӕi  vӟi các thӃ  vector 

Em

A

M

»

và 

Mm

A

M

»

 

9

363!'()*7@)!HG)*6!&686<56&757v 

9

3632456&757vI)

Đһt 

t

A

E

0

0

E

^

»

»

 

(2.22) 

Trong đó: 

†

»

 gӑi là vector Hertë điӋn 

Thay (2.22) vào (2.6) ta đưӧc 

Œ

Œ

E

0

E

0

t

A

1

H

^

^

»

»

»

 

(2.23) 

Thay (2.22) vào hӋ thӭc chuҭn (2.11) ta đưӧc  

Œ

0

.

t

G

†

»

 

(2.24) 

Suy ra 

.†

º

»

 

(2.25) 

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta đưӧc 

c

c

6×

Œ

2

E

2

0

0

E

E

E

t

.

t

A

E

^

^

»

»

»

»

 

(2.26) 

Nhұn xét: 

E

»

 và 

H

»

 đươc biӇu iӉn qua vector Hertë điӋn 

E

†

»

 

Tìm 

†

»

 ? 

Thay (2.22) vào (2.12) ta đưӧc 

0

2

2

0

0

2

0

0

2

2

0

0

2

J

t

t

t

»

»

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

º

 

(2.27) 

Hay 

0

2

2

0

0

2

J

1

t

t

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

 

(2.28) 

Lҩy tích phân 2 vӃ cӫa (2.28) tӯ 0 đӃn t ta đưӧc  

^

t

0

E

0

2

E

2

0

0

E

2

t

J

1

t

»

»

»

 

(2.29) 

Đһt 

^

t

0

E

E

t

J

P

»

»

 

(2.30) 

»

 gӑi là vector phân cӵc cӫa nguӗn đ iӋn 

hương trình (2.29) đưӧc viӃt lҥi 

0

2

2

0

0

2

t

^

»

»

»

 

(2.31) 

Như vұy: vector phân cӵc 

E

P

»

 là nguӗn tҥo ra vector Hertë điӋn 

E

†

»

. Do đó 

†

»

 còn gӑi là thӃ vector phân cӵc điӋn.  

9

3639456&757v^

Tương tӵ cách làm cӫa  vector  Hertë điӋn  hoһc áp өng nguyên lí đӕi  lүn 

cӫa hӋ phương trình Maxwell ta có 

t

A

M

0

0

M

^

»

»

 

(2.32) 

c

c

6î

Trong đó: 

†

»

 gӑi là vector Hertë tӯ 

.†

º

»

 

(2.33) 

Œ

0

t

†

º

»

»

 

(2.34) 

Œ

2

M

2

0

0

M

t

.

H

^

»

»

»

 

(2.35) 

Nhұn xét: 

E

»

 và 

H

»

 đươc biӇu iӉn qua vector Hertë tӯ 

†

»

 

Tìm 

†

»

 ? 

0

2

2

0

0

2

J

1

t

t

»

»

»

º

ÊÊ

†

º

†

 

(2.36) 

Lҩy tích phân 2 vӃ cӫa (2.28) tӯ 0 đӃn t ta đưӧc 

º

†

º

†

t

0

M

0

2

M

2

0

0

M

2

t

J

1

t

»

»

»

 

(2.37) 

Đһt 

^

t

0

M

M

t

J

P

»

»

 

(2.38) 

»

 gӑi là vector tӯ hoá cӫa nguӗn tӯ  

(2.37) đưӧc viӃt lҥi 

0

2

2

0

0

2

t

^

»

»

»

 

(2.39) 

Như vұy: vector tӯ hoá 

M

P

»

 là nguӗn tҥo ra vector Hertë tӯ 

M

†

»

. Do đó 

†

»

 

còn gӑi là thӃ vector tӯ hoá.  

Nhұn  xét: 

E

»

  và 

H

»

  đưӧc  biӇu  iӉn  qua  vector  Hertë  điӋn 

E

»

  hoһc  vector 

Hertë tӯ 

†

»

 đơn giҧn hơn phương pháp ùng các thӃ điӋn đӝng.  

9

3639»7'])*&[I)<7'])*&[^

c

c

6

Trưӡng  hӧp  các  vector  Hertë  điӋn 

†

»

  và  vector  Hertë  tӯ 

†

»

chӍ  có  mӝt 

thành phҫn. Trong hӋ toҥ đӝ Decac các  vector Hertë điӋn 

†

»

 và vector Hertë tӯ 

†

»

 theo phương ë là  

k†

†

»

»

 

(2.40) 

M

M

k

^

»

»

 

(2.41) 

- Trưӡng cӫa nguӗn điӋn (ӭng vӟi vector Hertë điӋn 

E

»

 mӝt thành phҫn) sӁ 

có 

H

»

 theo phương ë bҵng 0 (H

ë

 = 0), còn các thành phҫn khác cӫa 

H

»

 nói chung 

khác 0. Trưӡng điӋn tӯ loҥi này gӑi là trưӡng loҥi điӋn ӑc E hay tӯ ngang TM  

- Trưӡng cӫa nguӗn tӯ (ӭng vӟi vector Hertë tӯ 

M

»

 mӝt thành phҫn) sӁ có 

»

 theo phương ë bҵng 0 (

ë

 = 0), còn các thành phҫn khác cӫa 

»

nói chung khác 

0. Trưӡng điӋn tӯ loҥi này gӑi là trưӡng loҥi tӯ ӑc H hay điӋn ngang T  

Như  vұy: trong  trưӡng  hӧp tәng quát  và điӅu  kiӋn biên nhҩt đӏnh,  trưӡng 

điӋn tӯ có thӇ xem như tәng hӧp cӫa 2 loҥi trưӡng: loҥi điӋn và loҥi tӯ  

9

33»@#)*!#6b">!'()*7@)!HG)*

Nhұn xét: áp өng nguyên lí đӕi lүn, viӋc tìm nghiӋm cӫa các phương trình 

¶  Alambert  chӍ  cҫn  xác  đӏnh 

E

»

  hoһc 

H

»

.  Do  đó  có  thӇ  sӱ  өng  mӝt  hàm  vô 

hưӟng  đӇ  đҥi  iӋn  cho  

E

  và  

M

  hoһc  bҩt  cӭ  thành  phҫn  nào  trong  hӋ  toҥ  đӝ 

Decac cӫa 

E

†

»

, 

†

»

, 

»

 và 

»

, phương trình ¶ lambert đưӧc viӃt lҥi  

g

t

2

2

0

0

2

^

 

(2.42) 

g - hàm nguӗn cӫa trưӡng phân bӕ trong thӇ tích V  

NghiӋm  cӫa  (2.42)  bҵng  tәng  nghiӋm  cӫa  phương  trình  sóng  thuҫn  nhҩt 

không vӃ phҧi và nghiӋm riêng cӫa phương trì nh sóng thuҫn nhҩt có vӃ phҧi, tӭc 

là tìm nghiӋm cӫa phương trình sau  

0

t

2

2

0

0

2

^

 

(2.43) 

c

c

(

Đӕi  vӟi trưӡng hӧp nguӗn điӇm đһt ӣ  gӕc toҥ đӝ.  Vì nguӗn điӇm có  tính 

đӕi xӭng cҫu nên hàm  chӍ phө thuӝc r và t. Trong hӋ toҥ đӝ cҫu ta có  

Œ

G

r

r

r

r

1

r

r

2

r

2

2

2

2

2

 

(2.44) 

Đһt  = r ta có 

0

t

r

2

2

0

0

2

2

º

 

(2.45) 

NghiӋm cӫa phương trình vi phân (2.45) là  

Ê

G

G

Ê

º

v

r

t

v

r

t

2

1

 

(2.46) 

Suy ra 

r

v

r

t

r

v

r

t

2

1

Ê

G

G

Ê

º

 

(2.47) 

Trong đó: 

0

0

1

v

 là vұn tӕc truyӅn sóng trong môi trưӡng; 

1

 và 

2

 là 

các hàm tuǤ ý 

r

v

r

t

1

Ê

º

 mô tҧ sóng cҫu phân kì truyӅn tӯ nguӗn  Î vô cùng 

r

v

r

t

2

Ê

G

 mô tҧ sóng cҫu hӝi tө truyӅn tӯ vô cùng  Î nguӗn  

E;83AHN$ 

0

E

ik

t

E

r

lim

r

^

ÊÊ

Î

»

»

 

0

ik

t

r

lim

r

ÊÊ

G

»

»

 

(2.48) 

Trong đó: 

0

0

k

 là sӕ sóng 

c

c

(

Nhұn xét: vì là nguӗn điӇm đһt tҥi gӕc toҥ đӝ và không gian là vô hҥn nên 

theo điӅu kiӋn bӭc xҥ tҥi vô cùng ta chӑn nghiӋm cӫa phương trình sóng (2.43) 

cho nguӗn điӇm là hàm 

1

 và loҥi bӓ hàm 

2

 

Vұy 

r

v

r

t

1

Ê

º

 

(2.49) 

NӃu r Î 0 (tҥi gӕc toҥ đӝ) thì nghiӋm (2.49) không thoҧ mãn phương trình 

sóng thuҫn nhҩt mà phҧi thoҧ mãn phương trình sóng ¶ Alambert vì thӃ ta phҧi 

chӑn  ҥng  cӫa 

1

  sao  cho    là  nghiӋm  cӫa  phương  trình  sóng  ¶  Alambert  và 

phҧi thoҧ mãn trưӡng ӣ trҥng thái ӯng.  

Ӣ trҥng thái ӯng, phương trình sóng ¶ Alambert đưӧc viӃt lҥi  

g

2

º

 

(2.50) 

gӑi là phương trình sóng Poisson và có nghiӋm là  

V

V

r

g

4

1

 

(2.51) 

Lưu ý : 

r  là  khoҧng  cách  tӯ  vӏ  trí  quan  sát  trưӡng  đӃn  yӃu  tӕ  vi  phân  gV.  Theo 

(2.49) và (2.51) ta chӑn ҥng hàm cӫa 

1

 như sau 

Ê

º

Ê

º

v

r

t

g

4

1

v

r

t

1

 

(2.52) 

Như vұy, nghiӋm cӫa phương trình sóng ¶ Alambert là  

Œ

Ê

º

V

V

r

v

r

t

,

r

g

4

1

t

,

r

 

(2.53) 

Nhұn xét: trưӡng ӣ thӡi điӇm t tҥi vӏ trí quan sát bҵng giá trӏ cӫa nguӗn ӣ 

thӡi điӇm t¶ sӟm hơn t mӝt khoҧng thӡi gian là  

v

r

t

 

(2.54) 

c

c

(9

Như vұy, trưӡng tҥi vӏ trí quan sát chұm pha so vӟi nguӗn mӝt khoҧng thӡi 

gian t¶ nên (2.53) gӑi là thӃ chұm cӫa trưӡng điӋn tӯ.  

Tương tӵ như nghiӋm (2.53) ta có 

Œ

Ê

º

»

x

0

dx

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

»

»

 

(2.55) 

 

Œ

Ê

^

V

M

0

M

V

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

»

»

 

(2.56) 

Đӕi vӟi trưӡng điӅu hoà ta có 

ikr

t

i

ikr

m

v

r

t

i

m

e

g

e

e

g

e

g

v

r

t

g

M

Ç

M

Ê

Ç

M

M

^

^

^

Ê

 

(2.57) 

 

Œ

ikr

v

r

t

i

m

e

t

e

v

r

t

M

Ê

Ç

M

M

^

^

Ê

»

»

»

 

(2.58) 

 

Œ

ikr

v

r

t

i

m

e

t

e

v

r

t

º

M

Ê

º

M

M

Ê

º

»

»

»

 

(2.59) 

Các thӃ chұm 

 ,

 ,

M

M

M

»

»

 đưӧc tính là 

Œ

Œ

º

M

M

»

x

ikr

dx

r

e

t

,

r

g

4

1

t

,

r

 

(2.60) 

 

Œ

Œ

º

M

M

»

x

ikr

0

dx

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

»

»

 

(2.61) 

 

c

c

(6

Œ

Œ

M

M

^

V

ikr

M

0

M

V

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

A

»

»

 

(2.62) 

9

33»7'])*I)^6b"'w)*6K6I)

Lưӥng  cӵc  điӋn  là  yӃu  tӕ  bӭc  xҥ  sóng  điӋn  tӯ,  là  thành  phҫn  cơ  bҧn  cӫa 

anten.  

» .#!"0  mӝt đoҥn ây үn ngҳn mҧnh bên trong có òng 

điӋn biӃn đәi o nguӗn cung cҩp bên ngoài  

ĐӇ đơn giҧn ta có giҧ thiӃt như sau  

- đһt trong điӋn môi lí tưӣng: w = 0;  ,  = const 

-  << ,  là chiӅu ài cӫa  lưӥng cӵc điӋn và   là bưӟc sóng  cӫa trưӡng 

điӋn tӯ o nó phát ra 

- Dòng điӋn cung cҩp cho lưӥng cӵc điӋn biӃn thiên điӅu hoà vӟi tҫn sӕ góc 

Ç 

- r >> , r là khoҧng cách r tӯ vӏ trí quan sát trưӡng điӋn tӯ đӃn  lưӥng cӵc 

điӋn 

O&%@0 

9

3323»7'])*I)^6b"= 'w)*6K6I)

Chӑn hӋ toҥ đӝ cҫu có  gӕc  O nҵm tҥi  trӑng  tâm cӫa  lưӥng cӵc điӋn, trөc 

lưӥng  cӵc  điӋn  hưӟng  theo  Oë  và  òng  điӋn  cung  cҩp  cho  lưӥng  cӵc  điӋn  có 

ҥng 

t

i

m

t

i

m

že

J

k

e

I

k

I

M

M

M

»

»

»

»

 

(2.63) 

Trong đó: S là tiӃt iӋn cӫa lưӥng cӵc điӋn 

Vì òng điӋn cung cҩp hưӟng theo trөc Oë và tӗn tҥi  trong thӇ tích V = Sl 

nên tҥi vӏ trí quan sát trưӡng M chӍ có mӝt thành phҫn hưӟng theo trөc Oë. ThӃ 

chұm cӫa lưӥng cӵc điӋn là 

ikr

m

0

l

ikr

m

0

V

ikr

m

0

Em

Em

e

r

4

l

I

k

l

r

e

I

4

k

V

r

e

J

4

k

A

k

A

M

M

M

M

M

^

^

^

^

»

»

»

»

»

 

(2.64) 

c

c

((

Lưu ý: Sӣ ĩ tính đưӧc tích phân (2.64) là o giҧ thiӃt biên đӝ và pha cӫa 

òng  điӋn  cung  cҩp  là  không  đәi  trên  toàn  lưӥng  cӵc  điӋn  và  o  r  >>    nên 

khoҧng cách tӯ bҩt cӭ điӇm nào trên  lưӥng cӵc điӋn đӃn vӏ trí xác đӏnh trưӡng 

đӅu bҵng r. 

Trong hӋ toҥ đӝ cҫu ta có công thӭc  

º

sin

cos

r

k

0

0

»

»

»

 

(2.65) 

0

r

»

 và 

0

»

 là các vector đơn vӏ trong hӋ toҥ đӝ cҫu  

Khi đó (2.64) đưӧc viӃt lҥi 

Œ

º

»

º

M

M

sin

cos

r

r

4

le

I

0

0

ikr

m

0

m

»

»

»

 

(2.66) 

Cưӡng đӝ tӯ trưӡng cӫa lưӥng cӵc điӋn là 

Œ

ÊÊ

º

»

ÊÊ

º

M

M

M

sin

cos

r

r

e

4

l

I

1

0

0

ikr

m

m

0

m

»

»

»

»

 

(2.67) 

Suy ra 

r

e

sin

ik

r

1

4

l

I

ikr

m

0

m

º

M

M

Ê

G

»

»

»

 

(2.68) 

0

»

 là vector đơn vӏ trong hӋ toҥ đӝ cҫu 

Tӯ hӋ phương trình Maxwell không nguӗn điӋn tích ta có   

m

0

m

E

i

H

M

M

Ç

^

»

»

 

(2.69) 

Khi đó cưӡng đӝ điӋn trưӡng cӫa  lưӥng cӵc điӋn đưӧc tính là 

Ê

Ê

Ê

Ç

^

ÊÊ

Ç

^

M

M

M

sin

r

ik

k

r

1

cos

r

ik

r

1

r

2

.

.

r

e

i

4

l

I

H

i

1

E

2

2

0

2

0

ikr

0

m

m

0

m

»

»

»

»

 

(2.70) 

c

c

(?

Nhұn  xét:  Các  biӇu  thӭc  tính 

M

E

»

  và 

M

H

»

  trong  (2.68)  và  (2.70)  cӫa  bӭc  xҥ 

lưӥng cӵc điӋn đӅu có thӯa sӕ 

r

e

ikr

 và biên đӝ tӍ lӋ nghӏch  vӟi r, có  mһt đҷng 

pha là mһt cҫu bán kính r.  

Như vұy trưӡng bӭc xҥ  lưӥng cӵc điӋn có tính chҩt cӫa sóng cҫu. Vұn tӕc 

ӏch chuyӇn cӫa mһt đҷng pha gӑi là vұn tӕc pha v

ph

  

Ta có phương trình cӫa mһt đҷng pha là  

 = Çt ± kr = const 

 = Çt ± kr = 0 

(2.72) 

Và  

k

t

r

v

ph

Ç

 

(2.73) 

NӃu nhân các biӇu thӭc cӫa (2.68) và (2.70)  vӟi e

iÇt

 và lҩy phҫn thӵc cӫa 

M

E

»

 

và 

M

H

»

 ta có giá trӏ tӭc thӡi cӫa chúng là  

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

0

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

1

r

k

1

sin

r

4

lk

I

kr

t

cos

kr

1

kr

t

sin

r

k

1

cos

r

2

lk

I

kr

t

sin

kr

t

cos

kr

1

sin

r

4

lk

I

r

2

2

0

2

m

2

2

0

2

m

r

m

Ê

º

º

º

Ê

º

»

Ê

º

º

º

»

Ê

º

º

º

»

 

(2.74) 

9

3393»7'])*x<L)**D)

Khi r <<  nhưng vүn đҧm bҧo giҧ thiӃt r >>   thì gӑi là trưӡng ӣ vùng gҫn 

Do r <<  nên kr = 

r

2

»

 << 1 và trong (2.74) nӃu bӓ qua các  vô cùng bé 

bұc cao so vӟi 

kr

1

 và đӝ lӋch pha kr ta có  

c

c

(g

t

sin

sin

r

4

l

I

E

t

sin

cos

r

2

l

I

E

t

cos

sin

r

4

l

I

H

3

0

m

3

0

m

r

2

m

Ç

Ç

^

Ç

Ç

^

Ç

^

 

(2.75) 

Nhұn  xét:  H

  lӋch  pha  so  vӟi  E

r

  và  E

  mӝt  góc 

2

  nên  vector  Poynting 

trung bình 

tb

(

»

= re

M

(

»

 = 0, có nghĩa là năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ cӫa  lưӥng cӵc 

điӋn ӣ vùng gҫn chӫ yӃu là cӫa ao đӝng xung quanh nguӗn, không mang tính 

chҩt sóng, gӑi là N?A . Hình 2.1 trình bày cҩu trúc đưӡng sӭc cӫa 

E

»

 và 

»

 

 

9

3363»7'])*x<L)*e"

Khi r >>  thì thì gӑi là trưӡng ӣ vùng xa 

Do r >>  nên kr = 

r

2

»

 >> 1 và trong (2.74) nӃu bӓ qua các  vô cùng bé 

bұc cao so vӟi 

kr

1

 ta có 

Œ

Œ

Œ

Œ

kr

t

sin

sin

r

2

l

I

kr

t

sin

sin

r

4

lk

I

kr

t

sin

sin

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2

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I

kr

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sin

sin

r

4

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I

0

0

m

0

2

m

m

m

º

º

º

»

º

º

º

»

 

(2.76) 

Nhұn xét: 

I 

»

»

H

»

 

»

»

»

 

c

c

(×

-  Trưӡng  ӣ  vùng  xa  cӫa  lưӥng  cӵc  điӋn  chӍ  gӗm  2  thành  phҫn  H

  và  E

 

đӗng pha, vuông  góc vӟi nhau  và  vuông  góc vӟi phương truyӅn  sóng r,  vector 

Poynting phӭc chӍ có phҫn thӵc 

tb

(

»

= re

M

(

»

   0, năng lưӧng trưӡng điӋn tӯ bӭc 

xҥ vào trong không gian. Vì vұy vùng xa gӑi là vùng bӭc xҥ  

- Biên đӝ cӫa H

 và E

 tӍ lӋ vӟi Ç, tӍ lӋ nghӏch vӟi  . NӃu có cùng giá trӏ 

òng điӋn I

m

, ӣ cùng khoҧng cách và tҫn sӕ càng cao thì H

 và E

 càng lӟn 

- Biên đӝ cӫa H

 và E

 tӍ lӋ vӟi sin nên trưӡng bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn 

có  tính  đӏnh  hưӟng  trong  không  gian.  Chúng  đҥt  cӵc  đҥi  tҥi  mһt  phҷng 

2

»

  và 

bҵng 0 theo phương cӫa  lưӥng cӵc điӋn  = 0. 

-  Trưӡng  bӭc  xҥ  có  tính  đӏnh  hưӟng,  thưӡng  đưӧc  mô  tҧ  bҵng  giҧn  đӗ 

hưӟng.  Giҧn  đӗ  hưӟng  cӫa  lưӥng  cӵc  điӋn,  kí  hiӋu  (,  ),  là  hàm  đưӧc  xác 

đӏnh bӣi biӇu thӭc: 

Œ

sin

E

E

,

max

 

(2.77) 

 

 

9

333F)*H C:?6e[y7x:?6e[

Công suҩt bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn đưӧc tính theo công thӭc 

ž

d

ž

tb

bx

»

»

(

 

(2.78) 

 

 

 =

 0

0

 

 = 90

0

 

E

 =

 0

 

E = E

max

 

Mһt phҷng kinh tuyӃn 

 

Mһt phҷng vĩ tuyӃn 

Z 

c

c

(î

 

Trong đó 

Ç

^

2

0

3

2

3

2

2
m

tb

sin

r

32

k

l

I

r

»

»

 

(2.79) 

Vi phân mһt cҫu 

S = r

2

sin 

 

Suy ra 

bx

2
m

0

0

2

2

2
m

0

3

2

0

0

3

2

3

2

2
m

bx

R

2

I

12

k

l

I

sin

r

32

k

l

I

P

^

^

Ç

^

 

(2.80) 

Trong đó 

2

0

0

0

0

2

bx

1

3

2

6

lk

R

Ê

^

^

 

(2.81) 

R

bx 

- trӣ bӭc xҥ cӫa lưӥng cӵc điӋn 

Đһt  

0

0

c

ë

^

                 [] 

(2.82) 

ë

c 

- trӣ sóng cӫa môi trưӡng 

Trong chân không hoһc không khí, ta có   =  = 1, o đó 

^

^

^

 

377

120

ë

0

0

0

c

 

 

 

 

H

»

 

»

 

S

»

 

I 

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