Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
1
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
Z8/2.1. Zadanie 2
Rysunek Z8/2.1 przedstawia wykresy naprężenia normalnego σX oraz stycznego τXZ w pięciu punktach przekroju prostokątnego. W punktach tych należy wyznaczyć naprężenia i kierunki główne.
1
σ
τ
X
35,16
XZ
0,0
2
17,58
4,395
Y=Ygl
3=sc
0,0
5,859
4
17,58
4,395
0,0
5
35,16 [MPa]
[MPa]
Z=Zgl
Rys. Z8/2.1. Wykresy naprężeń normalnego i stycznego w przekroju prostokątnym X
35,16 MPa
35,16 MPa
Z
Rys. Z8/2.2. Stan naprężenia w punkcie 1
Z8/2.2. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 1
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/2.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/2.1)
=−35,16 MPa
X
,
(Z8/2.2)
=0,0 MPa .
(Z8/2.3)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
2
=[−35,16 0 0
0
0 0] .
(Z8/2.4)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/2.4) przedstawia rysunek Z8/2.2. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/2.4) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/2.3 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 1.
X=Xgl
35,16 MPa
35,16 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/2.3. Naprężenia główne w punkcie 1
Z8/2.3. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 2
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/2.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/2.5)
=−17,58 MPa ,
(Z8/2.6)
X
=4,395 MPa .
(Z8/2.7)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−17,58 0 4,395
0
0
0 ] .
(Z8/2.8)
4,395
0
0
4,395 MPa
X
17,58 MPa
17,58 MPa
4,395 MPa
Z
Rys. Z8/2.4. Stan naprężenia w punkcie 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
3
Graficzną interpretację tensora (Z8/2.8) przedstawia rysunek Z8/2.4. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅4,395
tg 2⋅ =
=0,5000
gl
.
(Z8/2.9)
0,0−−17,58
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=13,28 °
gl
.
(Z8/2.10)
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,0−17,58
0,0−−17,58
=
⋅ cos 2⋅13,28°4,395⋅ sin 2⋅13,28 °=1,038 MPa , (Z8/2.11)
Zgl
2
2
0,0−17,58
0,0−−17,58
=
−
⋅ cos 2⋅13,28 °−4,395⋅ sin 2⋅13,28 °=−18,62 MPa .
(Z8/2.12)
Xgl
2
2
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,0−17,58
=
±
24,3952=
.
(Z8/2.13)
1/2
0,0−−17,58
2
2
{ 1,038 MPa
−18,62 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,0−17,58=−17,58 MPa
1
.
(Z8/2.14)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =1,038−18,62=−17,58 MPa 1
.
(Z8/2.15)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
I =0,0⋅
2
−17,58−4,3952=−19,32 MPa 2 .
(Z8/2.16)
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =1,038⋅
2
−18,62=−19,33 MPa 2 .
(Z8/2.17)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
4
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie prawie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[−18,62 0 0
0
0
0 ] .
(Z8/2.18)
0
0 1,038
Rysunek Z8/2.5 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 2.
1,038
X
M
gl
Pa
X
18,62 MPa
18,62 MPa
13,280
1,038
Z
MPa
Zgl
Rys. Z8/2.5. Naprężenia główne w punkcie 2
Z8/2.4. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 3
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/2.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/2.19)
=0,0 MPa ,
(Z8/2.20)
X
=5,859 MPa .
(Z8/2.21)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 0 0 5,859
0
0
0 ] .
(Z8/2.22)
5,859 0
0
Graficzną interpretację tensora (Z8/2.22) przedstawia rysunek Z8/2.6. Stan naprężenia na rysunku Z8/2.6
jest czystym ścinaniem, w którym wartość bezwzględna naprężeń głównych równa się wartości bezwzględnej naprężenia stycznego. Osie główne są nachylone pod kątem 450 w stosunku do układu ZX.
Wykorzystując mechanizm na rysunku 8.14 b) graficzna interpretacja naprężeń głównych będzie taka jak przedstawiona na rysunku Z8/2.7.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
5
5,859 MPa
X
5,859 MPa
Z
Rys. Z8/2.6. Stan naprężenia w punkcie 3
5,859 MPa
5,859 MPa
X
5
Pa
,859 MP
5,859 M
a
450
Z
Rys. Z8/2.7. Naprężenia główne w punkcie 3
Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[5,859 0 0
0
0
0
] .
(Z8/2.23)
0
0 −5,859
W tensorze (Z8/2.23) nie będziemy określać, które naprężenie główne ma indeks Zgl a które indeks Xgl.
Z8/2.5. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 4
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/2.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/2.24)
=17,58 MPa ,
(Z8/2.25)
X
=4,395 MPa .
(Z8/2.26)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[17,58 0 4,395
0
0
0 ] .
(Z8/2.27)
4,395 0
0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
6
4,395 MPa
X
17,58 MPa
17,58 MPa
4,395 MPa
Z
Rys. Z8/2.8. Stan naprężenia w punkcie 4
Graficzną interpretację tensora (Z8/2.27) przedstawia rysunek Z8/2.8. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅4,395
tg 2⋅ =
=−0,5000 .
(Z8/2.28)
gl
0,0−17,58
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=−13,28 ° .
(Z8/2.29)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,017,58 0,0−17,58
=
⋅ cos2⋅−13,28°4,395⋅ sin 2⋅−13,28 °=−1,038 MPa , (Z8/2.30)
Zgl
2
2
0,017,58
0,0−17,58
=
−
⋅ cos2⋅−13,28°−4,395⋅ sin 2⋅−13,28 °=18,62 MPa .
(Z8/2.31)
Xgl
2
2
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,017,58
=
±
24,3952=
.
(Z8/2.32)
1/2
0,0−17,58
2
2
{ 18,62 MPa
−1,038 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,017,58=17,58 MPa
1
.
(Z8/2.33)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =−1,03818,62=17,58 MPa 1
.
(Z8/2.34)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
7
I =0,0⋅17,58−4,3952=−19,32 MPa 2 .
(Z8/2.35)
2
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =
2
−1,038⋅18,62=−19,33 MPa 2 .
(Z8/2.36)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie prawie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[18,62 0 0
0
0
0
] .
(Z8/2.37)
0
0 −1,038
Rysunek Z8/2.9 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 4.
aP
X
1,038 M
Xgl
18,62 MPa
18,62 MPa
a
13,280
P
Zgl
Z
1,038 M
Rys. Z8/2.9. Naprężenia główne w punkcie 4
X
35,16 MPa
35,16 MPa
Z
Rys. Z8/2.10. Stan naprężenia w punkcie 5
X=Xgl
35,16 MPa
35,16 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/2.11. Naprężenia główne w punkcie 5
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
8
X
X=Xgl
1
35,16 MPa
35,16 MPa
35,16 MPa
35,16 MPa
Z
Z=Zgl1,038
X
4,395 MPa
M
gl
P
X
a
X
2
17,58 MPa
17,58 MPa
18,62 MPa
18,62 MPa
4,395 MPa
13,280
1,038
Z
Z
MPa
5
Z
,8
gl
5
Pa
5,859 MPa
9 M
X
Pa
5,859 M
3
X
Pa
5,8
5,859 MPa
59 M
5,859 M
Pa
450
Z
Z
aP
4,395 MPa
1,038 M
X
X
X
4
gl
18
17,58 MPa
17,58 MPa
,62 MPa
4,395 MPa
18,62 MPa
a
13,280
P
Z
Zgl
Z
1,038 M
X
X=Xgl
5
35,16 MPa
35,16 MPa
35,16 MPa
35,16 MPa
Z
Z=Zgl
Rys. Z8/2.12. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/2. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 2
9
Z8/2.6. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 5
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/2.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/2.38)
=35,16 MPa ,
(Z8/2.39)
X
=0,0 MPa .
(Z8/2.40)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[35,16 0 0
0
0 0] .
(Z8/2.41)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/2.41) przedstawia rysunek Z8/2.10. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/2.41) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/2.11 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 5.
Z8/2.7. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju Rysunek Z8/2.12 przedstawia rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego. Jak widać na tym rysunku główne naprężenia ściskające od punktu 1 do punktu 5 obracają się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponadto ich wartości bezwzględne są coraz mniejsze. Naprężenia główne rozciągające także kręcą się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara a ich wartości bezwzględne rosną od punktu 1 do punktu 5.
Dr inż. Janusz Dębiński