Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
1
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
Z8/4.1. Zadanie 4
Rysunek Z8/4.1 przedstawia wykresy naprężenia normalnego σX oraz stycznego τXZ w pięciu punktach przekroju prostokątnego. W punktach tych należy wyznaczyć naprężenia i kierunki główne.
1
σ
τ
X
14,30
XZ
0,0
2
7,152
1,967
Y=Ygl
3=sc
0,0
2,622
4
7,152
1,967
0,0
5
14,30 [MPa]
[MPa]
Z=Zgl
Rys. Z8/4.1. Wykresy naprężeń normalnego i stycznego w przekroju prostokątnym X
14,30 MPa
14,30 MPa
Z
Rys. Z8/4.2. Stan naprężenia w punkcie 1
Z8/4.2. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 1
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/4.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/4.1)
=−14,30 MPa ,
(Z8/4.2)
X
=0,0 MPa .
(Z8/4.3)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
2
=[−14,30 0 0
0
0 0] .
(Z8/4.4)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/4.4) przedstawia rysunek Z8/4.2. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/4.4) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/4.3 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 1.
X=Xgl
14,30 MPa
14,30 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/4.3. Naprężenia główne w punkcie 1
Z8/4.3. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 2
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/4.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/4.5)
=−7,152 MPa ,
(Z8/4.6)
X
=−1,967 MPa .
(Z8/4.7)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−7,152 0 −1,967
0
0
0
] .
(Z8/4.8)
−1,967 0
0
1,967 MPa
X
7,152 MPa
7,152 MPa
1,967 MPa
Z
Rys. Z8/4.4. Stan naprężenia w punkcie 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
3
Graficzną interpretację tensora (Z8/4.8) przedstawia rysunek Z8/4.4. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅−1,967
tg 2⋅ =
=−0,5501 .
(Z8/4.9)
gl
0,0−−7,152
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=−14,41 ° .
(Z8/4.10)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,0−7,152 0,0−−7,152
=
⋅ cos 2⋅−14,41 °−1,967⋅ sin 2⋅−14,41 °
Zgl
2
2
,
(Z8/4.11)
=0,5053 MPa
Zgl
0,0−7,152
0,0−−7,152
=
−
⋅ cos 2⋅−14,41 °−−1,967⋅ sin2⋅−14,41 °
Xgl
2
2
.
(Z8/4.12)
=−7,657 MPa
Xgl
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,0−7,152
=
±
2−1,9672=
.
(Z8/4.13)
1/2
0,0−−7,152
2
2
{0,5053 MPa
−7,657 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,0−7,152=−7,152 MPa
1
.
(Z8/4.14)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =0,5053−7,657=−7,152 MPa 1
.
(Z8/4.15)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
oraz w układzie osi głównych wynosi
I =0,0⋅−7,152−−1,9672=−3,869 MPa 2 .
(Z8/4.16)
2
I =0,5053⋅
2
−7,657=−3,869 MPa 2 .
(Z8/4.17)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
4
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
=[−7,657 0 0
0
0
0
] .
(Z8/4.18)
0
0 0,5053
Rysunek Z8/4.5 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 2.
aP
0,5053 M
X
7,657 MPa
Xgl
14,410
7,657 MPa
Z
Z
0,5053 MPa
gl
Rys. Z8/4.5. Naprężenia główne w punkcie 2
Z8/4.4. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 3
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/4.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/4.19)
=0,0 MPa ,
(Z8/4.20)
X
=−2,622 MPa .
(Z8/4.21)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 0 0 −2,622
0
0
0
] .
(Z8/4.22)
−2,622 0
0
Graficzną interpretację tensora (Z8/4.22) przedstawia rysunek Z8/4.6. Stan naprężenia na rysunku Z8/4.6
jest czystym ścinaniem, w którym wartość bezwzględna naprężeń głównych równa się wartości bezwzględnej naprężenia stycznego. Osie główne są nachylone pod kątem 450 w stosunku do układu ZX.
Wykorzystując mechanizm na rysunku 8.14 c) graficzna interpretacja naprężeń głównych będzie taka jak przedstawiona na rysunku Z8/4.7.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
5
2,622 MPa
X
2,622 MPa
Z
Rys. Z8/4.6. Stan naprężenia w punkcie 3
2,622 MPa
2,622 MPa
X
Pa
2,622 M
2,622 M
Pa
450
Z
Rys. Z8/4.7. Naprężenia główne w punkcie 3
Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[2,622 0 0
0
0
0
] .
(Z8/4.23)
0
0 −2,622
W tensorze (Z8/4.23) nie będziemy określać, które naprężenie główne ma indeks Zgl a które indeks Xgl.
Z8/4.5. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 4
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/4.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/4.24)
=7,152 MPa ,
(Z8/4.25)
X
=−1,967 MPa .
(Z8/4.26)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 7,152 0 −1,967
0
0
0
] .
(Z8/4.27)
−1,967 0
0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
6
1,967 MPa
X
7,152 MPa
7,152 MPa
1,967 MPa
Z
Rys. Z8/4.8. Stan naprężenia w punkcie 4
Graficzną interpretację tensora (Z8/4.27) przedstawia rysunek Z8/4.8. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅−1,967
tg 2⋅
gl =
=0,5501 .
(Z8/4.28)
0,0−7,152
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=14,41 ° .
(Z8/4.29)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,07,152 0,0−7,152
=
⋅ cos 2⋅14,41 °−1,967⋅ sin 2⋅14,41 °
Zgl
2
2
,
(Z8/4.30)
=−0,5053 MPa
Zgl
0,07,152
0,0−7,152
=
−
⋅ cos 2⋅14,41 °−−1,967⋅ sin 2⋅14,41 °
Xgl
2
2
.
(Z8/4.31)
=7,657 MPa
Xgl
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,07,152
2
.
(Z8/4.32)
1/2=
±0,0−7,152 −1,9672=
2
2
{ 7,657 MPa
−0,5053 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX oraz w układzie osi głównych wynosi I =0,07,152=7,152 MPa
1
.
(Z8/4.33)
I =−0,50537,657=7,152 MPa 1
.
(Z8/4.34)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
7
I =0,0⋅7,152−−1,9672=−3,869 MPa 2 .
(Z8/4.35)
2
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =
2
−0,5053⋅7,657=−3,869 MPa 2 .
(Z8/4.36)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
=[7,657 0 0
0
0
0
] .
(Z8/4.37)
0
0 −0,5053
Rysunek Z8/4.9 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 4.
0,5053 MPa
Xgl
X
7,657 MPa
14,410
7,657 MPa
0,5053 MP
Z
Zgl
a
Rys. Z8/4.9. Naprężenia główne w punkcie 4
X
14,30 MPa
14,30 MPa
Z
Rys. Z8/4.10. Stan naprężenia w punkcie 5
X=Xgl
14,30 MPa
14,30 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/4.11. Naprężenia główne w punkcie 5
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
8
X
X=Xgl
1
14,30 MPa
14,30 MPa
14,30 MPa
14,30 MPa
Z
Z=Z
a
gl
P
1,967 MPa
0,5053 M
X
X
2
7,657
7,152 MPa
7,152 MPa
MPa
Xgl
14,410
7
1,967 MPa
,657 MPa
a
Z
P
Z
Zgl
2,
0,5053 M
622
Pa
2,622 MPa
MP
X
a
2,622 M
3
X
Pa
2,6
2,622 MPa
22 M
2,622 M
Pa
450
Z
0
Z
,5053 M
1,967 MPa
P
Xgl
a
X
4
X
7,152 MPa
7,152 MPa
7,657 MPa
1,967 MPa
14,410
7,657 MPa
0,5053
Z
MP
Z
Zgl
a
X
X=Xgl
5
14,30 MPa
14,30 MPa
14,30 MPa
14,30 MPa
Z
Z=Zgl
Rys. Z8/4.12. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/4. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 4
9
Z8/4.6. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 5
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/4.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/4.38)
=14,30 MPa ,
(Z8/4.39)
X
=0,0 MPa .
(Z8/4.40)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[14,30 0 0
0
0 0] .
(Z8/4.41)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/4.41) przedstawia rysunek Z8/4.10. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/4.41) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/4.11 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 5.
Z8/4.7. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju Rysunek Z8/4.12 przedstawia rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego. Jak widać na tym rysunku główne naprężenia ściskające od punktu 1 do punktu 5 obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ponadto ich wartości bezwzględne są coraz mniejsze. Naprężenia główne rozciągające także kręcą się zgodnie z ruchem wskazówek zegara a ich wartości bezwzględne rosną od punktu 1 do punktu 5.
Dr inż. Janusz Dębiński