WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

1

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

Z12/8.1. Zadanie 8

Rysunek Z12/8.1 przedstawia belkę składającą się z dwóch prętów pryzmatycznych. Dla belki tej

wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych a następnie narysować wykresy siły poprzecznej i mo-
mentu zginającego. Na koniec wyznaczyć kąt obrotu przekroju w punkcie C metodą obciążeń krzywiznami.

750 kNm

2

15,0 kNm

550 kNm

2

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

Rys. Z12/8.1. Belka złożona

Z12/8.2. Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych

Belka na rysunku Z12/8.1 składa się z dwóch tarcz sztywnych, które mają sześć stopni swobody.

Utwierdzenie A odbiera trzy, przegub rzeczywisty B dwa natomiast podpora przegubowo-przesuwna C jeden
stopień swobody. Razem wszystkie więzy odbierają sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności.

Utwierdzenie w belce AB składa się z trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym

punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka AB jest
geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla belki BC. Belka BC jest podparta przegubem
rzeczywistym B oraz prętem podporowym C i przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego.
Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka BC jest geometrycznie
niezmienna. Skoro obie belki proste są geometrycznie niezmienne to i cała belka złożona jest geometrycznie
niezmienna i statycznie wyznaczalna.

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

15,0 kNm

B

C

M

A

V

A

V

B

V

B

V

C

X

Y

Rys. Z12/8.2. Założone zwroty reakcji podporowych

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

2

Rysunek Z12/8.2 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Obie reakcje poziome H

A

oraz

H

B

wynoszą zero, ponieważ na belkę nie działa obciążenie czynne poziome. Reakcję V

C

wyznaczymy

z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę BC względem punktu B



M

B



BC 

=−

V

C

⋅

1,515,0=0

V

C

=

10,0 kN

.

(Z12/8.1)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V

B

wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę BC względem punktu C



M

C



BC 

=

V

B

⋅

1,515,0=0

V

B

=−

10,0 kN

.

(Z12/8.2)

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego. Jako sprawdzenie wykorzystamy równanie sumy rzutów
wszystkich sił działających na belkę BC na oś pionową Y



Y



BC 

=

V

B



V

C

=−

10,010,0=0

.

(Z12/8.3)

Wszystkie siły działające na belkę BC znajdują się więc w równowadze. Reakcję M

A

wyznaczymy

z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę AB względem punktu A



M

A



AB 

=

M

A



V

B

⋅

3,09,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=0

M

A

−

10,0⋅3,09,0⋅3,0⋅

1

2

⋅

3,0=0

M

A

=−

10,5 kNm

.

(Z12/8.4)

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego. Reakcję V

A

wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę AB względem punktu B



M

B



AB 

=

M

A



V

A

⋅

3,0−9,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=0

−

10,5V

A

⋅

3,0−9,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=0

V

A

=

17,0 kNm

.

(Z12/8.5)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Jako sprawdzenie wykorzystamy równanie sumy rzutów
wszystkich sił działających na belkę AB na oś pionową Y



Y



AB 

=

V

A

−

V

B

−

9,0⋅3,0=17,0−



−

10,0



−

27,0=0

.

(Z12/8.6)

Wszystkie siły działające na belkę AB znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z12/8.3 przedstawia
prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

3

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

15,0 kNm

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

10,0 kN

10,0 kN

Rys. Z12/8.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych

Z12/8.3. Wykresy sił przekrojowych

W przedziale AB działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 9,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie funkcją kwadratową, której wykresem
jest parabola. W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone więc siła
poprzeczna będzie stała natomiast moment zginający będzie funkcją liniową.

W punkcie A działa siła skupiona o wartości 17,0 kN do góry więc siłą poprzeczna w tym punkcie

wynosi

T

A

=

17,0 kN

.

(Z12/8.7)

W przedziale AB działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 9,0 kN/m w dół więc w punk-
cie B przedziału AB siła poprzeczna wynosi

T

B



AB 

=

17,0−9,0⋅3,0=−10,0 kN

.

(Z12/8.8)

Ponieważ siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB posiada wartości przeciwnych znaków w prze-
dziale AB posiada ona miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.127) znajduje się ono w odległości

x

0

L

=

17,0

9,0

=

1,889 m

(Z12/8.9)

od punktu A. Natomiast od punktu B odległość miejsca zerowego zgodnie z (5.128) wynosi

x

0

P

=

10,0

9,0

=

1,111 m

.

(Z12/8.10)

W przegubie B działają dwie reakcje, które równoważą się więc siła poprzeczna w punkcie B przedziału BC
wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

4

T

B



BC 

=−

10,0 kN

.

(Z12/8.11)

W przedziale BC oraz w punkcie C siła poprzeczna wynosi

T

BC

=

T

C

=−

10,0 kN

.

(Z12/8.12)

Rysunek Z12/8.4 przedstawia wykres siły poprzecznej w belce złożonej.

1,889

1,111

T [kN]

17

,0

10

,0

10,0

15,0 kNm

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

Rys. Z12/8.4. Wykres siły poprzecznej

A

10,5 kNm

17,0 kN

B

10,0 kN

M

B

(AB)

M

A

(AB)

a)

b)

Rys. Z12/8.5. Momenty zginające w przedziale AB

Zgodnie z rysunkiem Z12/8.5 a) moment zginający w punkcie A przedziału AB wynosi

M

A



AB

=−

10,5 kNm

.

(Z12/8.13)

Moment ten rozciąga górną część przekroju belki. Zgodnie z rysunkiem Z12/8.5 b) moment zginający
w punkcie B przedziału AB wynosi

M

B



AB

=

0,0 kNm

.

(Z12/8.14)

Zgodnie z rysunkiem Z12/8.6 ekstremalny moment zginający w przedziale AB wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

5

3,0

9,0 kN/m

A

B

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

1,889

1,111

[m]

M

1

(AB)

M

1

(AB)

9,0 kN/m

Rys. Z12/8.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

M

1



AB

=

17,0⋅1,889−10,5−9,0⋅1,889⋅

1

2

⋅

1,889=5,555 kNm

,

(Z12/8.15)

M

1



AB

=

10,0⋅1,111−9,0⋅1,111⋅

1
2

⋅

1,111=5,555 kNm

.

(Z12/8.16)

Moment ten rozciąga dolną część przekroju belki.

B

10,0 kN

M

B

(BC)

M

C

(BC)

15,0 kNm

C

10,0 kN

a)

b)

Rys. Z12/8.7. Momenty zginające w przedziale BC

Zgodnie z rysunkiem Z12/8.7 a) moment zginający w punkcie B przedziału BC wynosi

M

B



BC

=

0,0 kNm

.

(Z12/8.17)

Zgodnie z rysunkiem Z12/8.7 b) moment zginający w punkcie C przedziału BC wynosi

M

C



BC

=−

15,0 kNm

.

(Z12/8.18)

Moment ten rozciąga górną część przekroju belki. Rysunek Z12/8.8 przedstawia wykresy siły poprzecznej
oraz momentu zginającego dla belki złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

6

1,889

1,111

T [kN]

17

,0

10

,0

10,0

M [kNm]

10

,5

0,

0

15

,0

1,889

1,111

5,

55

5

15,0 kNm

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

Rys. Z12/8.8. Wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego

M [kNm]

10

,5

0,0

15

,0

1,889

1,111

5,5

55

15,0 kNm

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

750 kNm

2

550 kNm

2

Rys. Z12/8.9. Wykres momentu zginającego w belce

Z12/8.4. Przygotowanie wykresu momentu zginającego i obliczenie krzywizn

Rysunek Z12/8.9 przedstawia wykres momentu zginającego w belce. W przedziale AB działa

obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone więc możemy połączyć początek i koniec wykresu tym przedziale
oraz dodać parabolę o długości 3,0 m i rzędnej w środku wynoszącej

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

7

9,0⋅3,0

2

8

=

10,13 kNm

.

(Z12/8.19)

Nie musimy już przerabiać wykresów trójkątnych. Rysunek Z12/8.10 przedstawia ostatecznie przerobiony
wykres momentów zginających w belce.

M [kNm]

10

,5

0,

0

15

,0

10

,13

M [kNm]

0,0

0,

0

1,5

1,5

750 kNm

2

550 kNm

2

15,0 kNm

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

Rys. Z12/8.10. Ostatecznie przerobiony wykres momentu zginającego

Krzywizna w punkcie A wynosi

10,5

550,0

=

19,09⋅10

−

3

1

m

.

(Z12/8.20)

Krzywizna w środku paraboli wynosi

10,13
550,0

=

18,42⋅10

−

3

1

m

.

(Z12/8.21)

Krzywizna w punkcie C wynosi

15,0

750,0

=

20,0⋅10

−

3

1

m

.

(Z12/8.22)

Rysunek Z12/8.11 przedstawia wykres krzywizn w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

8

19

,0

9

0,0

20

,0

18

,4

2

0,

0

0,

0

1,5

1,5

⋅

10

−

3

[

1

m

]

⋅

10

−

3

[

1

m

]

15,0 kNm

3,0

1,5

[m]

9,0 kN/m

A

B

C

10,5 kNm

17,0 kN

10,0 kN

750 kNm

2

550 kNm

2

Rys. Z12/8.11. Wykres krzywizn w belce

Z12/8.5. Belka fikcyjna

Belka fikcyjna musi spełniać warunki brzegowe zadania. Zgodnie z tabelą 12.2 utwierdzenie A prze-

chodzi w wolny koniec. Przegub rzeczywisty B przechodzi w podporę przegubową natomiast podpora
przegubowo-przesuwna C przechodzi w podporę przegubową. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej
przedstawia rysunek Z12/8.12.

3,0

1,5

[m]

A

B

C

3,0

1,5

[m]

A

B

C

Rys. Z12/8.12. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej

3,0

1,5

[m]

A

B

C

Rys. Z12/8.13. Ostateczna postać belki fikcyjnej

Jak widać belka fikcyjna składa się z jednej tarczy sztywnej, która posiada trzy stopnie swobody.

Belka jest podparta dwiema podporami przegubowymi. Aby był spełniony warunek konieczny geomet-

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

9

rycznej niezmienności jedna z nich musi być przegubowo-przesuwna a druga przegubowo-nieprzesuwna.
Rysunek Z12/8.13 przedstawia ostateczną postać belki fikcyjnej.

Z12/8.6. Obciążenie fikcyjne

Korzystając z wykresu krzywizn na belce przedstawionych na rysunku Z12/8.11 otrzymamy

obciążenie wtórne belki fikcyjnej. Obciążenie to przedstawia rysunek Z12/8.14.

3,0

1,5

[m]

A

B

C

19

,0

9

20

,0

18

,4

2

1,5

1,5

q

*

⋅

10

−

3

[

1

m

]

Rys. Z12/8.14. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej

Obciążenie ciągłe przedstawione na rysunku Z12/8.14 możemy sprowadzić do wtórnych sił wypad-

kowych. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego do góry w przedziale AB wynosi

1
2

⋅

19,09⋅10

−

3

⋅

3,0=28,64⋅10

−

3

(Z12/8.23)

i znajduje się ona w odległości

3,0

3

=

1,0 m

(Z12/8.24)

od punktu A. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia parabolicznego wynosi

2
3

⋅

18,42⋅10

−

3

⋅

3,0=36,84⋅10

−

3

(Z12/8.25)

i znajduje się ona w odległości

3,0

2

=

1,5 m

(Z12/8.26)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

10

od punktu A czyli w środku przedziału AB. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego do góry
w przedziale BC wynosi

1
2

⋅

20,0⋅10

−

3

⋅

1,5=15,0⋅10

−

3

(Z12/8.27)

i znajduje się ona w odległości

1,5

3

=

0,5 m

(Z12/8.28)

od punktu C. Rysunek Z12/8.15 przedstawia wypadkowe z obciążenia ciągłego na belce fikcyjnej.

3,0

1,5

[m]

A

B

C

28,64

15,0

36,84

1,5

1,5

2,0

1,0

0,5

1,0

W

*

∙10

-3

[-]

Rys. Z12/8.15. Wtórne siły wypadkowe z obciążenia ciągłego

Z12/8.7. Wtórne reakcje oraz kąt obrotu w punkcie C

Rysunek Z12/8.16 przedstawia założone zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej. Ze względu na

brak obciążeń poziomych pozioma reakcja wtórna na podporze C będzie równa zero.

3,0

1,5

[m]

A

B

C

28,64

15,0

36,84

1,5

1,5

2,0

1,0

0,5

1,0

V

B

*

V

C

*

W

*

∙10

-3

[-]

X

Y

Rys. Z12/8.16. Założone zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej

Wtórną reakcję V

B

*

wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił wtórnych działających

na belkę względem punktu C



M

C

*

=

V

B

*

⋅

1,528,64⋅10

−

3

⋅

3,5−36,84⋅10

−

3

⋅

3,015,0⋅10

−

3

⋅

0,5=0

V

B

*

=

1,853⋅10

−

3

.

(Z12/8.29)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z12/8. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 8

11

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Wtórną reakcję V

C

*

wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił wtórnych działających na belkę względem punktu B



M

B

*

=−

V

C

*

⋅

1,528,64⋅10

−

3

⋅

2,0−36,84⋅10

−

3

⋅

1,5−15,0⋅10

−

3

⋅

1,0=0

V

C

*

=−

8,653⋅10

−

3

.

(Z12/8.30)

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy
rzutów wszystkich sił wtórnych na belkę na oś pionową Y



Y

*

=

V

B

*



V

C

*



28,64⋅10

−

3

−

36,84⋅10

−

3



15,0⋅10

−

3

=

=

1,853⋅10

−

3

−

8,653⋅10

−

3



28,64⋅10

−

3

−

36,84⋅10

−

3



15,0⋅10

−

3

=

0

.

(Z12/8.31)

Reakcje wtórne działające na belkę znajdują się w równowadze. Rysunek Z12/8.17 przedstawia

prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji we wszystkich więzach belki fikcyjnej.

3,0

1,5

[m]

A

B

C

28,64

15,0

36,84

1,5

1,5

2,0

1,0

0,5

1,0

1,853

8,653

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

Rys. Z12/8.17. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej

C

8,653

T

C

*

R

*

∙10

-3

[-]

Rys. Z12/8.18. Równowaga w otoczeniu podpory C

Chcąc wyznaczyć wartość kąta obrotu w punkcie C należy wyznaczyć wtórną siłę poprzeczną w tym
punkcie. Rysunek Z12/8.18 przedstawia równowagę sił w otoczeniu podpory C. Wtórna siła poprzeczna
w punkcie C czyli kąt obrotu w tym punkcie wynosi



C

=

T

C

*

=

8,653⋅10

−

3

rad

.

(Z12/8.32)

Dr inż. Janusz Dębiński