rozdzial 12 zadanie 09

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

1

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

Z12/9.1. Zadanie 9

Rysunek Z12/6.1 przedstawia belkę swobodnie podpartą składającą się z dwóch prętów pryzma-

tycznych. Dla belki tej wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych a następnie narysować wykresy
siły poprzecznej i momentu zginającego. Na koniec wyznaczyć ugięcie w punkcie D metodą obciążeń
krzywiznami.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

6200 kNm

2

5100 kNm

2

2,0

D

Rys. Z12/9.1. Belka swobodnie podparta

Z12/9.2. Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych

Rysunek Z12/9.2 przedstawia przyjęte zwroty reakcji podporowych. Ze względu na to, że na belkę nie

działają żadne siły pozioma reakcja H

C

będzie wynosiła zero.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

V

B

V

C

X

Y

Rys. Z12/9.2. Przyjęte zwroty reakcji podporowych w belce

Reakcję V

B

wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem

punktu C

M

C

=

V

B

4,0−24,0⋅6,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

4,0=0

V

B

=

68,0 kN

.

(Z12/9.1)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V

C

wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę względem punktu B

M

B

=−

V

C

4,0−24,0⋅2,016,0⋅4,0⋅

1
2

4,0=0

V

B

=

20,0 kN

.

(Z12/9.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

2

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy
rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś pionową Y

Y =0

V

B

V

C

24,0−16,0⋅4,0=68,020,0−24,0−64,0=0

.

(Z12/9.3)

Wszystkie siły działające na belkę znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z12/9.3 przedstawia
prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

Rys. Z12/9.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych

Z12/9.3. Wykresy sił przekrojowych

W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone więc siła poprzeczna

będzie stała natomiast moment zginający będzie funkcją liniową. W przedziale BC działa obciążenie ciągłe
równomiernie rozłożone o wartości 16,0 kN/m w dół więc siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast
moment zginający będzie funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola.

W punkcie A belki działa siła skupiona o wartości 24,0 kN w dół więc siła poprzeczna w tym punkcie

wynosi

T

A

AB

=−

24,0 kN

.

(Z12/9.4)

W przedziale AB oraz w punkcie B z lewej strony siła poprzeczna wynosi

T

AB

=

T

B

AB

=−

24,0 kN

.

(Z12/9.5)

W punkcie B działa siła skupiona o wartości 68,0 kN do góry więc siła poprzeczna w punkcie B z prawej
strony wynosi

T

B

BC

=−

24,068,0=44,0 kN

.

(Z12/9.6)

Siła poprzeczna w punkcie C wynosi

T

C

BC

=

44,0−16,0⋅4,0=−20,0 kN

.

(Z12/9.7)

Siła poprzeczna w przedziale BC posiada na obu końcach przedziału wartości przeciwnych znaków. Musi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

3

ona więc posiadać w tym przedziale miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.127) znajduje się ono w od-
ległości

x

0

L

=

44,0

16,0

=

2,75 m

(Z12/9.8)

od punktu B. Natomiast odległość miejsca zerowego siły poprzecznej od punktu C zgodnie ze wzorem
(5.128) wynosi

x

0

P

=

20,0

16,0

=

1,25 m

.

(Z12/9.9)

Rysunek Z12/9.4 przedstawia wykres siły poprzecznej w belce.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

T [kN]

1,25

2,75

24,0

44

,0

20

,0

Rys. Z12/9.4. Wykres siły poprzecznej

A

24,0 kN

M

A

(AB)

A

[m]

2,0

24,0 kN

M

B

(AB)

a)

b)

Rys. Z12/9.5. Równowaga momentów zginających w przedziale AB

Zgodnie z rysunkiem Z12/9.5 a) moment zginający w punkcie A przedziału AB wynosi

M

A

AB

=

0,0 kNm

.

(Z12/9.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

4

Zgodnie z rysunkiem Z12/9.5 b) moment zginający w punkcie B przedziału AB wynosi

M

B

AB

=−

24,0⋅2,0=−48,0 kNm

.

(Z12/9.11)

Moment ten rozciąga górną część przekroju pręta.

A

[m]

2,0

B

24,0 kN

68,0 kN

M

B

(BC)

C

20,0 kN

M

C

(BC)

a)

b)

Rys. Z12/9.6. Równowaga momentów zginających w przedziale BC

Zgodnie z rysunkiem Z12/9.6 a) moment zginający w punkcie B przedziału BC wynosi

M

B

BC

=−

24,0⋅2,0=−48,0 kNm

.

(Z12/9.12)

Moment ten rozciąga górną część przekroju pręta. Zgodnie z rysunkiem Z12/9.6 b) moment zginający
w punkcie C przedziału BC wynosi

M

C

BC

=

0,0 kNm

.

(Z12/9.13)

A

[m]

2,75

2,0

16,0 kN/m

B

24,0 kN

68,0 kN

16,0 kN/m

C

20,0 kN

1,25

M

EXT

(BC)

M

EXT

(BC)

Rys. Z12/9.7. Równowaga momentów w miejscu ekstremum momentu zginającego

W przedziale BC moment zginający będzie posiadał ekstremum, które znajduje się w punkcie miejsca

zerowego siły poprzecznej. Ekstremalny moment zgodnie z rysunkiem Z12/9.7 wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

5

M

EXT

BC

=−

24,0⋅4,7568,0⋅2,75−16,0⋅2,75⋅

1
2

2,75=12,5 kNm

,

(Z12/9.14)

M

EXT

BC

=

20,0⋅1,25−16,0⋅1,25⋅

1
2

1,25=12,5 kNm

.

(Z12/9.15)

Moment ten rozciąga dolną część belki. Rysunek Z12/9.8 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej
oraz momentu zginającego w belce.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

M [kNm]

T [kN]

1,25

2,75

1,25

2,75

24,0

44

,0

20

,0

0,0

48

,0

12

,5

0,0

Rys. Z12/9.8. Wykresy sił przekrojowych w belce

Z12/9.4. Przygotowanie wykresu momentu zginającego i obliczenie krzywizn

Aby wyznaczyć ugięcie w punkcie D musimy wyznaczyć wtórny moment zginający w tym punkcie.

Punkt D znajduje się w przedziale, w którym działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone. Jak wiadomo
wykres momentu zginającego w belce rzeczywistej jest parabolą. Aby nie wykonywać całkowania musimy
ten wykres podzielić na dwie części BD i CD. W tym celu musimy najpierw wyznaczyć wartość momentu
zginającego w punkcie D. Zgodnie z rysunkiem Z12/9.9 wynosi ona

M

D

=−

24,0

4,0

68,0

2,0

16,0

2,0

1
2

2,0

=

8,0 kNm

,

(Z12/9.16)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

6

A

[m]

2,0

16,0 kN/m

B

24,0 kN

68,0 kN

16,0 kN/m

C

20,0 kN

2,0

M

D

M

D

2,0

Rys. Z12/9.9. Moment zginający w punkcie D

M

D

=

20,0⋅2,0−16,0⋅2,0⋅

1
2

2,0=8,0 kNm

.

(Z12/9.17)

Moment ten rozciąga dolną część belki. Rysunek Z12/9.10 przedstawia wykres momentu zginającego w bel-
ce.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

M [kNm]

1,25

2,75

0,0

48

,0

12

,5

0,0

6200 kNm

2

5100 kNm

2

2,0

D

2,0

8,

0

Rys. Z12/9.10. Wykres momentu zginającego w belce

W przedziałach BD i CD łączymy początek i koniec wykresu momentu zginającego linią prostą do-

dajemy parabolę jak dla belki swobodnie popartej. Ponieważ oba przedziały mają tę samą długość obie
parabole będą identyczne. Wartość na środku wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

7

16,0⋅2,0

2

8

=

8,0 kNm

.

(Z12/9.18)

Rysunek Z12/9.11 przedstawia przerobiony wykres momentów zginających w belce.

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

M [kNm]

0,0

48

,0

8,0

0,0

6200 kNm

2

5100 kNm

2

2,0

D

1,0

M [kNm]

1,0

1,0

1,0

8,0

8,

0

Rys. Z12/9.11. Przerobiony wykres momentu zginającego

Jak widać na rysunku Z12/9.11 w przedziale BD mamy wykres liniowy przewinięty. Dla wygody

obliczeń przerobimy go do postaci dwóch wykresów liniowych przedstawionych na rysunku Z12/9.12.

Krzywizna w punkcie B w przedziale AB wynosi

48,0

6200

=

7,742⋅10

3

1

m

.

(Z12/9.19)

Krzywizna w punkcie B w przedziale BC wynosi

48,0

5100

=

9,412⋅10

3

1

m

.

(Z12/9.20)

Krzywizna w punkcie D wykresu liniowego oraz w obu wykresach parabolicznych w przedziale BC jest taka
sama i wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

8

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

M [kNm]

0,

0

48

,0

6200 kNm

2

5100 kNm

2

2,0

D

M [kNm]

0,0

8,

0

0,

0

1,0

M [kNm]

1,0

1,0

1,0

8,

0

8,0

0,

0

2,0

2,0

Rys. Z12/9.12. Ostatecznie przerobiony wykres momentu zginającego

8,0

5100

=

1,569⋅10

3

1

m

.

(Z12/9.21)

Rysunek Z12/9.13 przedstawia wykres krzywizn w belce, które to posłużą nam do obciążenia belki fikcyj-
nej.

Z12/9.5. Belka fikcyjna

Belka fikcyjna musi spełniać warunki brzegowe zadania. Zgodnie z tabelą 12.2 wolny koniec A prze-

chodzi w utwierdzenie. Podpora przegubowo-przesuwna B przechodzi w przegub rzeczywisty natomiast
podpora przegubowo-nieprzesuwna C przechodzi w podporę przegubową. Pierwsze przybliżenie belki fik-
cyjnej przedstawia rysunek Z12/9.14.

Jak widać belka fikcyjna składa się z dwóch tarcz sztywnych, które posiadają sześć stopni swobody.

Utwierdzenie A odbiera trzy natomiast przegub rzeczywisty B odbiera dwa stopnie swobody. Razem te
podpory odbierają pięć stopni swobody. Pozostaje nam jeden stopień swobody czyli podpora przegubowa
C musi być podporą przegubowo-przesuwną. Rysunek Z12/9.15 przedstawia ostateczną postać belki fikcyj-
nej.

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

9

⋅

10

3

[

1

m

]

A

[m]

4,0

2,0

16,0 kN/m

B

C

24,0 kN

68,0 kN

20,0 kN

0,

0

7,7

42

6200 kNm

2

5100 kNm

2

2,0

D

0,0

1,

569

0,

0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,

0

2,0

2,0

9,

412

1,5

69

1,5

69

⋅

10

3

[

1

m

]

⋅

10

3

[

1

m

]

Rys. Z12/9.13. Wykres krzywizn w belce

A

B

C

[m]

4,0

2,0

A

B

C

[m]

4,0

2,0

Rys. Z12/9.14. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej

A

B

C

[m]

4,0

2,0

Rys. Z12/9.15. Ostateczna postać belki fikcyjnej

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

10

Z12/9.6. Obciążenie fikcyjne

Korzystając z wykresu krzywizn na belce przedstawionych na rysunku Z12/9.13 otrzymamy obcią-

żenie wtórne belki fikcyjnej. Obciążenie to przedstawia rysunek Z12/9.16.

A

B

C

[m]

4,0

2,0

7,742

1,569

1,0

1,0

1,0

1,0

2,0

2,0

9,

41

2

1,569

1,569

q

*

10

3

[

1

m

]

Rys. Z12/9.16. Obciążenie wtórne belki fikcyjnej

Obciążenie ciągłe przedstawione na rysunku Z12/9.16 możemy sprowadzić do wtórnych sił wypad-

kowych. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego do góry w przedziale AB wynosi

1
2

7,742⋅10

3

2,0=7,742⋅10

3

(Z12/9.22)

i znajduje się ona w odległości

2,0

3

=

0,6667 m

(Z12/9.23)

od punktu B. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego do góry w przedziale BD wynosi

1
2

9,412⋅10

3

2,0=9,412⋅10

3

(Z12/9.24)

i znajduje się ona w odległości

2,0

3

=

0,6667 m

(Z12/9.25)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

11

od punktu B. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego w dół w przedziale BC wynosi

1
2

1,569⋅10

3

4,0=3,138⋅10

3

(Z12/9.26)

i znajduje się ona w odległości

4,0

2

=

2,0 m

(Z12/9.27)

czyli w środku przedziału BC. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia parabolicznego w dół w przedziale BD
i CD wynosi

2
3

1,569⋅10

3

2,0=2,092⋅10

3

(Z12/9.28)

i znajduje się ona w odległości

2,0

2

=

1,0 m

(Z12/9.29)

od punktu B i C czyli znajduje się w środku przedziału BD i CD. Rysunek Z12/9.17 przedstawia wtórne siły
wypadkowe z obciążenia ciągłego na belce fikcyjnej.

[m]

4,0

2,0

7,

74

2

9,4

12

3,333

1,333

0,6667

A

B

C

W

*

∙10

-3

[-]

0,6667

2,0

3,1

38

2,0

1,0

1,0

1,0

1,0

2,

09

2

2,

09

2

Rys. Z12/9.17. Wtórne siły wypadkowe z obciążenia ciągłego

Z12/9.7. Wtórne reakcje oraz ugięcie w punkcie D

Rysunek Z12/9.18 przedstawia założone zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej BC. Ze względu

na brak obciążeń poziomych pozioma reakcja wtórna będzie równa zero.

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

12

[m]

4,0

9,4

12

3,333

B

C

W

*

∙10

-3

[-]

0,6667

2,0

3,1

38

2,0

1,0

1,0

1,0

1,0

2,

092

2,

092

V

B

*

V

C

*

X

Y

Rys. Z12/9.18. Założone zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej BC

Wtórną reakcję V

B

*

wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił wtórnych działających

na belkę BC względem punktu C

M

C

BC *

=

V

B

*

4,09,412⋅10

3

3,333−3,138⋅10

3

2,0−2,092⋅10

3

3,0

2,092⋅10

3

1,0=0

V

B

*

=−

4,182⋅10

3

.

(Z12/9.30)

Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego. Wtórną reakcję V

C

*

wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił wtórnych działających na belkę BC względem punktu B

M

B

BC *

=−

V

C

*

4,0−9,412⋅10

3

0,66673,138⋅10

3

2,02,092⋅10

3

3,0

2,092⋅10

3

1,0=0

V

C

*

=

2,092⋅10

3

.

(Z12/9.31)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów
wszystkich sił wtórnych na belkę BC na oś pionową Y

Y

BC *

=

V

B

*

V

C

*

9,412⋅10

3

3,138⋅10

3

2,092⋅10

3

2,092⋅10

3

=

=−

4,182⋅10

3

2,092⋅10

3

9,412⋅10

3

3,138⋅10

3

2,092⋅10

3

2,092⋅10

3

=

0

. (Z12/9.32)

Reakcje wtórne działające na belkę BC znajdują się w równowadze. Rysunek Z12/9.19 przedstawia
prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji we wszystkich więzach belki fikcyjnej.

Rysunek Z12/9.20 przedstawia obciążenie wtórne oraz wtórne reakcje w belce BC. Aby wyznaczyć

wtórny moment zginający w punkcie D musimy przeciąć belkę w tym punkcie.

Rysunek Z12/9.21 przedstawia lewą część belki BC. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego

do góry wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

13

[m]

4,0

9,4

12

3,333

B

C

0,6667

2,0

3,

13

8

2,0

1,0

1,0

1,0

1,0

2,

09

2

2,0

92

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

4,182

2,092

Rys. Z12/9.19. Prawidłowe wartości i zwroty wtórnych reakcji w belce fikcyjnej BC

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

4,182

2,092

B

C

[m]

4,0

1,569

1,0

1,0

1,0

1,0

2,0

2,0

9,412

1,569

1,569

q

*

10

3

[

1

m

]

Rys. Z12/9.20. Obciążenie wtórne oraz wtórne reakcje w belce BC

1
2

9,412⋅10

3

2,0=9,412⋅10

3

(Z12/9.33)

i znajduje się ona w odległości

2,0

3

=

0,6667 m

(Z12/9.34)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

14

4,182

B

1,569

1,0

1,0

2,0

9,412

1,569

M

D

*

2,0

9,

41

2

1,333

B

0,6667

1,333

1,569

1,0

1,0

2,092

4,182

0,6667

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

q

*

10

3

[

1

m

]

[m]

[m]

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

a)

b)

M

D

*

Rys. Z12/9.21. Lewa część belki BC

od punktu B. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkątnego w dół wynosi

1
2

1,569⋅10

3

2,0=1,569⋅10

3

(Z12/9.35)

i znajduje się ona w odległości

2,0

3

=

0,6667 m

(Z12/9.36)

od punktu D. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia parabolicznego w dół wynosi

2
3

1,569⋅10

3

2,0=2,092⋅10

3

(Z12/9.37)

i znajduje się ona w odległości

2,0

2

=

1,0 m

(Z12/9.38)

od punktu B czyli znajduje się w środku przedziału BD. Wtórny moment zginający w punkcie D wynosi

M

D

*

=−

4,182

10

3

2,0

9,412

10

3

1,333

1,569

10

3

0,6667

2,029

10

3

1,0

=

1,044

10

3

m

.

(Z12/9.39)

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

15

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

2,092

C

[m]

1,569

1,0

1,0

2,0

1,569

q

*

10

3

[

1

m

]

M

D

*

[m]

2,0

C

1,0

1,0

2,092

W

*

∙10

-3

[-]

R

*

∙10

-3

[-]

2,092

1,569

1,333

0,6667

a)

b)

M

D

*

Rys. Z12/9.22. Prawa część belki BC

Rysunek Z12/9.22 przedstawia prawą część belki BC. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia trójkąt-

nego w dół wynosi

1
2

1,569⋅10

3

2,0=1,569⋅10

3

(Z12/9.40)

i znajduje się ona w odległości

2,0

3

=

0,6667 m

(Z12/9.41)

od punktu D. Wtórna siła wypadkowa z obciążenia parabolicznego w dół wynosi

2
3

1,569⋅10

3

2,0=2,092⋅10

3

(Z12/9.42)

i znajduje się ona w odległości

2,0

2

=

1,0 m

(Z12/9.43)

od punktu B czyli znajduje się w środku przedziału CD. Wtórny moment zginający w punkcie D wynosi

M

D

*

=

2,092⋅10

3

2,0−1,569⋅10

3

0,6667−2,029⋅10

3

1,0=1,046⋅10

3

m

.

(Z12/9.44)

Jak widać wartości wtórnego momentu zginającego w punkcie D wyznaczone ze wzorów (Z12/9.39)

i (Z12/9.44) są prawie równe. Ostatecznie możemy przyjąć, że ugięcie w punkcie D jest równe średniej
arytmetycznej i wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

background image

WM

Z12/9. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH – ZADANIE 9

16

w

D

=

1,044

10

3

1,044

10

3

2

=

1,045

10

3

m

(Z12/9.45)

Znak plus oznacza, że ugięcie punktu D nastąpi w dół.

Dr inż. Janusz Dębiński


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rozdzial 08 zadanie 09
rozdzial 10 zadanie 09
rozdzial 12 zadanie 08
rozdzial 12 zadanie 05
rozdzial 12 zadanie 07
rozdzial 12 zadanie 06
rozdzial 05 zadanie 12
Teoria egzamin 16.09, 11-12, Zadanie 11
Kurcz Język a myślenie rozdział 12
Zadania do zestawu 4 - rozdzial 7, Psychometria, zadania i wzory
Zadania do zestawu 2- rozdzial 6, Psychometria, zadania i wzory
Ćwiczenia 5 POSTĘPOWANIE SĄDOWE (12 11 09)
Liga zadaniowa 5 (09-10), Liga zadaniowa, Archiwalne + rozwiązania, 2009 - 2010
Rozdzial 12, Zimbardo ksiazka i streszcznie
12.06.09 socjologia, notatki
Ocena efektywności projektów inwestycyjnych 2014 01 12 zadania
podstawy turystyki 12.10.09, podstawy turystyki
12 TERMODYNAMIKA 09
12)17 09 Numbers 1 20 practice IIa

więcej podobnych podstron