Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
1
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
Z8/9.1. Zadanie 9
W punkcie A znajdującym się w przekroju α - α ramy wspornikowej na rysunku Z8/9.1 wyznaczyć naprężenia i kierunek główny. Oba stany naprężenia przedstawić graficznie na bokach elementarnego kwadratu. Następnie określić stan odkształcenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych. Przyjąć stałe materiałowe: E = 205 GPa, ν = 0,3. Na koniec określić naprężenie zredukowane według hipotez: H-M-H
i Treski. Przekrój pręta oraz położenie punktu A przedstawia rysunek Z8/9.2. Wymiary ramy wspornikowej są podane w metrach natomiast wymiary przekroju w centymetrach.
2,0
10,0 kN
/m
3,0
8,0 kN
1,0
α
α
Z=Z =Z
0
gl
1,0
[m]
Rys. Z8/9.1. Rama wspornikowa
Z8/9.2. Wyznaczenie sił przekrojowych
Chcąc wyznaczyć naprężenia główne w przekroju α - α należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości i zwroty sił przekrojowych czyli siły normalnej, siły poprzecznej i momentu zginającego. Siła normalna jest dodatnia jeżeli rozciąga pręt. Siłę poprzeczną dodatnią przyjmiemy tak aby kręciła ona odciętą częścią ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment zginający dodatni przyjmiemy tak aby rozciągał
on dolną część przekroju blachownicowego (współrzędne z są tam dodatnie). Ponieważ rama jest wspornikowa do wyznaczenia sił przekrojowych nie będą nam potrzebne reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z8/9.3
przedstawia założone dodatnie zwroty sił przekrojowych.
Siły przekrojowe będziemy wyznaczać dla dolnej części ramy na rysunku Z8/9.3. Jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot zgodny z założonym zwrotem siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z minusem.
Z kolei jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot przeciwny do założonego zwrotu siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z plusem. Siła normalna wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
2
10,0
5,0
5,0
2,0
,08
14,0
A
Y=Y =Y
0
gl
24,0
1,0
14,0
[cm]
2,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/9.2. Blachownica dwuteowa
2,0
10,0 kN
/m
3,0
,0 kN8
X
N
M
1,0
T
T
Z=Z =Z
Z=Z =Z
0
gl
0
gl
M
1,0
N
[m]
X
Rys. Z8/9.3. Przyjęte zwroty sił przekrojowych
N =−10,0 kN .
(Z8/9.1)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
3
Siła poprzeczna wynosi
T =−8,0⋅3,0=−24,0 kN .
(Z8/9.2)
Moment zginający wynosi
1
M =8,0⋅3,0⋅1,0 ⋅3,0−10,0⋅2,0=40,0 kNm .
(Z8/9.3)
2
Rysunek Z8/9.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α.
2,0
10,0 kN
/m
,03
kN
8,0
X
10,0 kN
40,0 kNm
,01
24,0 kN
24,0 kN
Z=Z =Z
Z=Z =Z
0
gl
0
gl
,01
40,0 kNm
10,0 kN
[m]
X
Rys. Z8/9.4. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α
Z8/9.3. Charakterystyki geometryczne przekroju blachownicowego Chcąc wyznaczyć naprężenia główne będą nam potrzebne: pole powierzchni przekroju oraz moment bezwładności przekroju blachownicowego względem głównej osi Y=Y0=Ygl. Pole powierzchni zgodnie z ry-sunkiem Z8/9.2 wynosi
A=2⋅10,0⋅2,024,0⋅1,0=64,0 cm 2 .
(Z8/9.4)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
4
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Y0=Ygl wynosi 10,0
9,0
J
⋅28,03
⋅24,03
= J =
−
=7925 cm 4 .
(Z8/9.5)
Y
Ygl
12
12
Z8/9.4. Wyznaczenie naprężeń głównych w punkcie A
Aby wyznaczyć naprężenia główne w punkcie A musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć naprę-
żenie normalne σX oraz naprężenie styczne τXZ w punkcie A. Rysunek Z8/9.5 przedstawia siły przekrojowe dla przekroju pręta znajdującego się w dolnej części ramy wspornikowej. Jeżeli przyjmiemy, że dolna część przekroju pręta to prawa część pręta pionowego, wtedy oś X będzie zwrócona w „prawo”. Na podstawie rysunku Z8/9.5 możemy odczytać, że siła normalna w przekroju pręta jest ściskająca czyli wynosi N =−10,0 kN .
(Z8/9.6)
Siła poprzeczna posiada zwrot przeciwny do zwrot osi Z=Z0=Zgl a jej wartość bezwzględna wynosi
∣ T Z∣=24,0 kN .
(Z8/9.7)
Moment zginający rozciąga dolną część przekroju pręta więc wynosi on M =40,0 kNm=4000 kNcm .
(Z8/9.8)
Y
Rysunek Z8/9.6 przedstawia położenie punktu A w układzie osi głównych przekroju blachownicowego.
Naprężenie normalne σX zgodnie z (7.8) wynosi w punkcie A
−10,0
4000
kN
A=
⋅−6,0 =−3,185
=−31,85 MPa .
X
(Z8/9.9)
64,0
7925
cm 2
X
10,0 kN
40,0 kNm
24,0 kN
Z=Z =Z
0
gl
1,0
[m]
Rys. Z8/9.5. Siły przekrojowe w przekroju pręta
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
5
10,0
5,0
5,0
2,0
,08
14,0
A
Y=Y =Y
,06
0
gl
24,0
1,0
14,0
[cm]
2,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/9.6. Położenie punktu A w przekroju blachownicowym 10,0
,02
sc1
8,0
sc2
6,0
14,0
13,0
A
9,0
6,0
4,0
Y=Y =Y
2
0
gl
14,0
1,0
[cm]
Z=Z =Z
,0
0
gl
2
Rys. Z8/9.7. Część przekroju blachownicowego znajdująca się powyżej punktu A Rysunek Z8/9.7 przedstawia wymiary i położenie środków ciężkości figur składowych części przekroju znajdującej się powyżej punktu A. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY zgodnie z (7.20) wynosi
∣
24,0⋅10,0⋅2,0⋅13,06,0⋅1,0⋅9,0
kN
A∣=
=0,9509
=9,509 MPa .
(Z8/9.10)
XZ
1,0⋅7925
cm 2
Ponieważ siła poprzeczna TZ posiada zwrot przeciwny do zwrotu osi Z=Z0=Zgl to i naprężenie styczne τXZ
ma taki sam zwrot czyli jest ujemne.
A=−9,509 MPa .
(Z8/9.11)
XZ
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
6
X
31,85 MPa
9,509 MPa
aP
aP
9 M
,509
9,509 M
Z
9,509 MPa
31,85 MPa
Rys. Z8/9.8. Graficzna prezentacja stanu naprężenia w punkcie A Rysunek Z8/9.8 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi naprężeniami w punkcie A. Tensor naprężenia w punkcie A ma postać
A=[−31,85 0 −9,509
0
0
0
] .
(Z8/9.12)
−9,509 0
0
Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z (8.9) wynosi 2⋅−9,509
tg2⋅ =
=−0,5971 .
(Z8/9.13)
gl
0,0 −−31,85
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
=−15,42 o .
(Z8/9.14)
gl
Ujemny kąt nachylenia osi głównych oznacza, że obrót układu współrzędnych nastąpi od osi X do osi Z.
Naprężenia główne zgodnie z (8.10) i (8.11) wynoszą
0,0−31,85 0,0−−31,85
A=
⋅cos2⋅−15,42 o
Zgl
2
2
,
(Z8/9.15)
−9,509 ⋅sin2⋅−15,42 o =2,623 MPa
0,0−31,85
0,0−−31,85
A =
−
⋅cos 2⋅−15,42 o
Xgl
2
2
.
(Z8/9.16)
−−9,509⋅sin 2⋅−15,42 o=−34,47 MPa
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
7
X
Xgl
34,47 MPa
2,623 MPa
2,623 MPa Z
15,42o
34,47 MPa
Zgl
Rys. Z8/9.9. Graficzna prezentacja naprężeń głównych w punkcie A Obliczenie naprężeń głównych możemy sprawdzić zgodnie z (8.12). Naprężenia główne wyznaczone z tego wzoru wynoszą
0,0−31,85
.
=
±
2−9,5092=
(Z8/9.17)
1
{2,623 MPa
/2
0,0−−31,85
2
2
−34,47 MPa
Jak widać naprężenia główne zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek Z8/9.9 przedstawia naprężenia główne zaznaczone na elementarnym kwadracie. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
A=
gl
[−34,47 0 0
0
0
0 ] .
(Z8/9.18)
0
0 2,623
Z8/9.5. Wyznaczenie stanu odkształcenia w punkcie A Rama wspornikowa jest wykonana ze zwykłej stali budowlanej. Dla stali tej wartość współczynnika Poissona wynosi 0,3 natomiast wartość modułu Younga wynosi E=205 GPa=205000 MPa .
(Z8/9.19)
Wartość modułu Kirchhoffa wynosi więc
205
G=
=78,85 GPa=78850 MPa .
(Z8/9.20)
2⋅ 10,3
Dla tensora naprężenia (Z8/9.12) odkształcenia liniowe oraz postaciowe w układzie współrzędnych ZX
wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
8
1
=
⋅[−31,85−0,3⋅00]=−155,4⋅10−6 ,
(Z8/9.21)
X
205000
1
=
⋅[0−0,3⋅−31,850]=46,61⋅10−6 ,
(Z8/9.22)
Y
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅−31,850 ]=46,61⋅10−6 ,
(Z8/9.23)
Z
205000
−9,509
=
=−60,30⋅10−6 .
(Z8/9.24)
XZ
2⋅78850
Ponieważ w punkcie A działa tylko jedno naprężenie styczne pozostałe równają się zero, więc pozostałe odkształcenia postaciowe są oczywiście równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał więc w punkcie A postać
A=[−155,4 0 −60,30
0
46,61
0
]⋅10−6 .
(Z8/9.25)
−60,30
0
46,61
Dla tensora naprężenia w układzie osi głównych (Z8/9.18) odkształcenia główne wynoszą 1
=
⋅[−34,47−0,3⋅ 02,623]=−172,0⋅10−6 ,
(Z8/9.26)
Xgl
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅−34,472,623]=46,61⋅10−6 ,
(Z8/9.27)
Ygl
205000
1
=
⋅[ 2,623−0,3⋅−34,470]=63,24⋅10−6 .
(Z8/9.28)
Zgl
205000
Odkształcenia postaciowe w układzie osi głównych wynoszą oczywiście zero. Tensor odkształcenia w uk-
ładzie osi głównych ma postać
A=
gl
[−172,0 0 0
0
46,61
0 ]⋅10−6 .
(Z8/9.29)
0
0
63,24
Z8/9.6. Wyznaczenie naprężeń zredukowanych
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy H-M-H dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/9. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 9
9
H =−31,8523⋅−9,509 2=35,86 MPa .
(Z8/9.30)
red
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy Treski dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
T =−31,8524⋅−9,5092=37,10 MPa .
(Z8/9.31)
red
Jak więc widać naprężenie zredukowane według hipotezy Treski jest większe niż naprężenie to wyznaczone według hipotezy H-M-H.
Dr inż. Janusz Dębiński