Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
1
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
Z10/8.1. Zadanie 8
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/8.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/8.1)
m 3
Ciężar własny betonu zwykłego wynosi
kN
=25,0
.
B
(Z10/8.2)
m 3
2,0
H O
2
6,0
5,5
A
A
[m]
2,9
Rys. Z10/8.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/8.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/8.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wyznaczać będziemy ze wzoru
p= ⋅ h .
(Z10/8.3)
W
Jak więc widać ciśnienie rośnie liniowo wraz ze wzrostem głębokości. Na dnie zbiornika na głębokości 5,5
metra ciśnienie wody wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
2
1,0
[m]
Rys. Z10/8.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,0
H O
2
1,0
1,0
N k
6,0
00,0
5,5
N
3
k
= 1Q
7,5
=6 2Q
0,6
0,3
p =55,0 kPa
h
[m]
2,9
Rys. Z10/8.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika kN
p =10,0⋅5,5=55,0
=55,0 kPa .
h
(Z10/8.4)
m 2
Przekrój ściany betonowej, który ma kształt trapezu, rozłożymy na prostokąt i trójkąt prostokątny. Przedstawia to rysunek Z10/8.3. Ciężar części ściany o przekroju prostokątnym wynosi Q =25,0⋅2,0⋅6,0⋅1,0=300,0 kN .
(Z10/8.5)
1
Ciężar części ściany o przekroju trójkątnym wynosi 1
Q =25,0⋅ ⋅0,9⋅6,0⋅1,0=67,5 kN .
(Z10/8.6)
2
2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
3
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/8.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅55,0⋅5,5⋅1,0=151,3 kN .
(Z10/8.7)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/8.4.
2,0
H O
2
1,0
1,0
kN
⋅5,5
kN
,3
2
3
6,0
0,0
151
5,5
30
=
kN
=
W
1
Q
7,5
=6 2
5,5
Q
1 ⋅ 3
p =55,0 kPa
h
[m]
0,6
0,3
2,9
Rys. Z10/8.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika Rysunek Z10/8.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyznaczać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/8.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Siła normalna wynosi
N =−300,0−67,5=−367,5 kN .
(Z10/8.8)
Moment zginający MY wynosi
1
M =151,3⋅ ⋅5,5−300,0⋅1,45−1,0 67,5⋅1,45−0,6=199,8 kNm .
(Z10/8.9)
Y
3
Rysunek Z10/8.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
4
2,0
1,0
1,0
N
⋅5,5
0
k
2
3
6,
0,6
0,3
0,0
55,
30
N
= 1
5 k
Q
W=151,3 kN
67, =
5,5⋅
2
1
3
Q
Z=Z
M
gl
Y
N
[m]
X
1,45
1,45
Rys. Z10/8.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 2,0
1,0
1,0
N
⋅5,5
0
k
2
3
6,
0,6
0,3
0,0
55,
30
N
= 1
5 k
Q
W=151,3 kN
67, =
5,5⋅
2
1
3
Q
Z=Zgl
199,8 kNm
367,5 kN
[m]
X
1,45
1,45
X
367,5 kN
199,8 kNm
Z=Zgl
Y=Ygl
Rys. Z10/8.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
5
367,5 kN
199,8 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,9
Rys. Z10/8.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A 0,9063
0,5437
367,5 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,9
Rys. Z10/8.8. Siła normalna na mimośrodzie Rysunek Z10/8.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
199,8
z =
=−0,5437 m .
(Z10/8.10)
N
−367,5
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/8.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
2,9 =0,4833 m .
(Z10/8.11)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/8.10) jest większa niż (Z10/8.11) więc siła normalna znajduje się poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego wynosi
2,9
c=
−0,5437=0,9063 m .
(Z10/8.12)
2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
6
Długość wykresu naprężeń normalnych σX wynosi L=3⋅0,9063=2,719 m .
(Z10/8.13)
Naprężenie normalne σ0 zgodnie z (10.45) wynosi 2⋅−367,5
kN
=
=−270,3
=−270,3 kPa .
(Z10/8.14)
0
3⋅0,9063⋅1,0
m 2
Rysunek Z10/8.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego σX w przekroju prostokątnym.
Z=Zgl
0
1,
aP
3 k
Y=Y gl
[m]
270,
2,719
2,9
aP
3 k
270,
2,719
2,9
Rys. Z10/8.9. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać będziemy ze wzoru (10.16). Aby wyznaczyć funkcję naprężenia normalnego musimy najpierw wyznaczyć charakterystyki geometryczne przekroju. Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,9⋅1,0=2,9 m 2 .
(Z10/8.15)
Główny moment bezwładności względem osi Y=Ygl wynosi 1,0⋅2,93
J = J =
=2,032 m 4 .
(Z10/8.16)
Y
Ygl
12
Funkcja naprężenia normalnego ma postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
7
Z=Zgl
A
B
1,0
Y=Y gl
[m]
1,289
2,9
Rys. Z10/8.10. Oś obojętna
Z=Zgl
A
B
1,0
a
a
P
kP
3 k
[m]
,88
1,289
269,
15
Y=Y gl
2,9
aP
a
8 k
P k
15,8
9,326
Rys. Z10/8.11. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie
−367,5
199,8
=
⋅ z=−126,798,33⋅ z .
(Z10/8.17)
X
2,9
2,032
Oś obojętna ma postać
−126,798,33⋅ z=0 ,
(Z10/8.18)
którą możemy ostatecznie zapisać jako z=1,289 m .
(Z10/8.19)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/8.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8
8
kN
A=−126,798,33⋅−1,45=−269,3
=−269,3 kPa
X
,
(Z10/8.20)
m 2
kN
B=−126,798,33⋅1,45=15,88
=15,88 kPa
X
.
(Z10/8.21)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/8.11.
Dr inż. Janusz Dębiński