Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
1
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
Z10/3.1. Zadanie 3
W punkcie A przekroju przedstawionego na rysunku Z10/3.1 działa siła normalna 250,0 kN. Nary-sować wykres naprężenia normalnego σX w tym przekroju. Następnie wyznaczyć rdzeń przekroju. Wszystkie wymiary przekroju podane są w centymetrach.
2,0
9,0
5,0
2,0
6,0
4,0
[cm]
A
Rys. Z10/3.1. Przekrój pręta obciążony mimośrodowo Z10/3.2. Wyznaczenie charakterystyk geometrycznych przekroju Rysunek Z10/3.2 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Na rysunku tym zaznaczony jest także początkowy układ współrzędnych.
16,0
2,0
9,0
5,0
YP
11,0
2,0
4,0
06,
sc2
6,0
,0
sc1
12
8,0
4,0
[cm]
ZP
Rys. Z10/3.2. Podział przekroju na figury składowe Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
2
Zgodnie z rysunkiem Z10/3.2 pole powierzchni przekroju pręta wynosi 1
A=16,0⋅12,0− ⋅9,0⋅6,0=165,0 cm 2 .
(Z10/3.1)
2
Współrzędne y środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą 16,0
y =
=8,0 cm ,
(Z10/3.2)
P1
2
2
y =5,0 ⋅9,0=11,0 cm .
(Z10/3.3)
P2
3
Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna y środka ciężkości przekroju wynosi 1
16,0⋅12,0⋅8,0− ⋅9,0⋅6,0⋅11,0
2
y =
=7,509 cm .
(Z10/3.4)
C
16,0
1
⋅12,0− ⋅9,0⋅6,0
2
Współrzędne z środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą 12,0
z =
=6,0 cm ,
(Z10/3.5)
P1
2
1
z =2,0 ⋅6,0=4,0 cm .
(Z10/3.6)
P2
3
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju wynosi 1
16,0⋅12,0⋅6,0− ⋅9,0⋅6,0⋅4,0
2
z =
=6,327 cm .
(Z10/3.7)
C
16,0
1
⋅12,0− ⋅9,0⋅6,0
2
Rysunek Z10/3.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju.
Rysunek Z10/3.4 przedstawia układ osi środkowych przekroju. Współrzędne y środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych wynoszą y =8,0−7,509=0,491 cm
01
,
(Z10/3.8)
y =11,0−7,509=3,491 cm
02
.
(Z10/3.9)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
3
2,0
9,0
5,0
2,0
7
6,32
6,0
sc
3
5,67
4,0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.3. Położenie środka ciężkości przekroju 16,0
2,0
9,0
5,0
2,0
3,491
7
Y02
sc
6,32
7
2
27
6,0
32
Y01
sc
2,
0,3
1
12,0
sc
Y=Y0
Z02
0,491
3
Z01
5,67
4,0
Z=Z0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.4. Podział przekroju na figury składowe Zgodnie z wzorem (6.32) moment bezwładności przekroju względem osi środkowej Z=Z0 wynosi 12,0⋅16,03
J = J =
0,4912⋅16,0⋅12,0
Z
Z0
12
.
(Z10/3.10)
1
− 6,0⋅9,033,4912⋅ ⋅9,0⋅6,0=3692 cm 4
36
2
Współrzędne z środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych wynoszą z =6,0−6,327=−0,327 cm
01
,
(Z10/3.11)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
4
z =4,0−6,327=−2,327 cm
02
.
(Z10/3.12)
Zgodnie z wzorem (6.31) moment bezwładności przekroju względem osi środkowej Y=Y0 wynosi 16,0⋅12,03
J = J =
−0,3272⋅16,0⋅12,0
Y
Y0
12
.
(Z10/3.13)
1
− 9,0⋅6,03−2,3272⋅ ⋅9,0⋅6,0=2124 cm 4
36
2
Zgodnie ze wzorem (6.33) dewiacyjny moment bezwładności w układzie osi środkowych wynosi J = J
=0,00,491⋅−0,327⋅16,0⋅12,0
YZ
Y0Z0
1
.
(Z10/3.14)
−9,02⋅6,023,491⋅−2,327⋅ ⋅9,0⋅6,0=148,0 cm 4
72
2
Z10/3.3. Wykres naprężenia normalnego
Rysunek Z10/3.5 przedstawia położenie punktu przyłożenia siły normalnej o wartości 250,0 kN
w przekroju pręta. Mimośrody wynoszą więc y =8,491 cm
N
,
(Z10/3.15)
z =5,673 cm
N
.
(Z10/3.16)
Zgodnie z (10.3) i (10.4) momenty zginające wynoszą M =250,0⋅5,673=1418 kNcm
Y
,
(Z10/3.17)
M =− 250,0⋅8,491=−2123 kNcm Z
.
(Z10/3.18)
Momenty te przedstawia także rysunek Z10/3.5.
Zgodnie z (10.7) funkcja naprężenia normalnego będzie miała postać 250,0
−2123⋅21241418⋅148,0
1418⋅3692−2123⋅148,0
X=
−
⋅ y
⋅ z ,
(Z10/3.19)
165,0
2123⋅3692−148,02
2123⋅3692−148,02
=1,5150,5501⋅ y0,6296⋅ z .
(Z10/3.20)
X
Równanie osi obojętnej będzie miało postać 1,5150,5501⋅ y0,6296⋅ z=0 , (Z10/3.21)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
5
16,0
2,0
9,0
5,0
2,0
7
6,32
6,0
2123 kNcm
12,0
Y=Y
sc
0
1418 kNcm
3
5,67
4,0
Z=Z
A
0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.5. Momenty zginające w przekroju pręta które możemy przedstawić w postaci
0,5501⋅ y0,6296⋅ z=−1,515 .
(Z10/3.22)
Po podzieleniu przez wyraz wolny otrzymamy
−0,3631⋅ y−0,4156⋅ z=1 .
(Z10/3.23)
Postać odcinkowa osi obojętnej będzie miała postać y
z
=1 .
(Z10/3.24)
−2,754
−2,406
Współrzędne odcinkowe osi obojętnej wynoszą więc y =−2,754 cm
0
,
(Z10/3.25)
z =−2,406 cm
0
.
(Z10/3.26)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/3.6. Na rysunku tym widać, że najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą kN
A=1,5150,5501⋅8,4910,6296⋅5,673=9,758
=97,58 MPa
X
,
(Z10/3.27)
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
6
16,0
2,0
9,0
5,0
B
2,0
7
6,32
06
6,0
2,4
12,0
Y=Y
sc
0
2,754
3
5,67
4,0
Z=Z
A
0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.6. Położenie osi obojętnej B
65,99
Y=Y
sc
0
Z=Z
A
0
0,0
15,15
σ
[MP
9
X
7
a
,5
]
8
Rys. Z10/3.7. Wykres naprężenia normalnego w przekroju kN
B
X =1,515 0,5501⋅−7,509 0,6296⋅−6,327 =−6,599
=−65,99 MPa .
(Z10/3.28)
cm 2
Wykres naprężenia normalnego w przekroju przedstawia rysunek Z10/3.7.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
7
Z10/3.4. Wyznaczenie rdzenia przekroju Aby wyznaczyć położenie rdzenia przekroju musimy zastosować wzory dla układu osi środkowych.
Współczynnik ψ wynosi
2124⋅3692−148,02
=
=47390 cm 6 .
(Z10/3.29)
165,0
Rysunek Z10/3.8 przedstawia wierzchołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju, dla których wyznaczymy położenie odpowiadających im osi obojętnych. Będą to punkty 1, 2, 3 i 4.
16,0
2,0
9,0
5,0
1
2
2,0
7
6,32
6,0
12,0
Y=Y
sc
0
3
5,67
4,0
4
3
Z=Z0
[cm]
8,491
7,509
Rys. Z10/3.8. Wierzchołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju Współrzędne punktu 1 wynoszą
y1
1
N =8,491 cm , z N =−6,327 cm
.
(Z10/3.30)
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
−47390
y1=
=−2,498 cm
0
,
(Z10/3.31)
8,491⋅2124−−6,327 ⋅148,0
−47390
z1=
=1,925 cm .
(Z10/3.32)
0
−6,327⋅3692−8,491⋅148,0
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/3.9. Współrzędne punktu 2 wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
8
16,0
2,0
9,0
5,0
1
2,0
7
6,32
2,498
6,0
12,0
Y=Y
sc
0
3
25
5,67
1,9
4,0
Z=Z0
[cm]
8,491
7,509
Rys. Z10/3.9. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 1
y2=−7,509 cm , z2=−6,327 cm .
(Z10/3.33)
N
N
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
−47390
y2
0 =
=3,157 cm ,
(Z10/3.34)
−7,509⋅2124−−6,327⋅148,0
−47390
z2=
=2,130 cm
0
.
(Z10/3.35)
−6,327⋅3692−−7,509⋅148,0
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/3.10. Współrzędne punktu 3 wynoszą y3=−7,509 cm , z3=5,673 cm .
(Z10/3.36)
N
N
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
−47390
y3=
=2,823 cm ,
(Z10/3.37)
0
−7,509⋅2124−5,673⋅148,0
−47390
z3
0 =
=−2,149 cm .
(Z10/3.38)
5,673⋅3692−−7,509⋅148,0
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/3.11. Współrzędne punktu 4 wynoszą y4=8,491 cm , z4=5,673 cm .
(Z10/3.39)
N
N
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
9
16,0
2,0
9,0
5,0
2
2,0
7
3,157
6,32
6,0
12,0
Y=Y
sc
0
3
30
5,67
4,0
2,1
Z=Z0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.10. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 2
16,0
2,0
9,0
5,0
2,0
7
6,32
6,0
sc
12,0
Y=Y
2,823
0
1492,
3
5,67
4,0
Z=Z0
3
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.11. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 3
Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc
−47390
y4=
=−2,756 cm ,
(Z10/3.40)
0
8,491⋅2124−5,673⋅148,0
−47390
z4=
=−2,407 cm .
(Z10/3.41)
0
5,673⋅3692−8,491⋅148,0
Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/3.12.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
10
16,0
2,0
9,0
5,0
2,0
7
6,32
07
6,0
2,4
12,0
Y=Y
sc
0
2,756
3
5,67
4,0
4
Z=Z0
[cm]
8,491
7,509
Rys. Z10/3.12. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 4
16,0
2,0
9,0
5,0
4
2,0
3
7
2
6,32
1
6,0
12,0
Y=Y
sc
0
3
4
3
5,67
4,0
2
1
Z=Z0
[cm]
8,491
7,509
Rys. Z10/3.13. Wszystkie osie obojętne Rysunek Z10/3.13 przedstawia wszystkie osie obojętne odpowiadające siłom normalnym przyłożonym w wierzchołkach konturu wypukłego. Poruszając się po osi obojętnej 1-1 dochodzimy do punktu przecięcia z osią obojętną 2-2. Dalej poruszamy się już po osi obojętnej 2-2 aż do punktu przecięcia z osią obojętną 3-3. Poruszamy się teraz po osi obojętnej 3-3 aż do punktu przecięcia z osią obojętną 4-4 i kon-tynuujemy ruch po osi obojętnej 4-4. Poruszamy się po osi obojętnej 4-4 aż do przecięcia się z osią obojętną 1-1. Droga po jakiej się poruszaliśmy zakreśliła nam kontur rdzenia przekroju, który jest przedstawiony na rysunku Z10/3.14. Jak widać rdzeń przekroju zawiera środek ciężkości przekroju. Siły, które są przyłożone wewnątrz i na konturze rdzenia przekroju będą powodowały powstanie naprężeń normalnych jednakowego znaku w całym przekroju. Znak ten jest taki sam jak znak siły normalnej działającej w przekroju.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/3. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 3
11
16,0
2,0
9,0
5,0
2,0
7
6,32
6,0
12,0
Y=Y
sc
0
3
5,67
4,0
Z=Z0
8,491
7,509
[cm]
Rys. Z10/3.14. Rdzeń przekroju
Dr inż. Janusz Dębiński