WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

1

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

Z6/3.1 Zadanie 3

Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju na rysunku Z6/3.1. Wszystkie wymiary na tym

rysunku są podane w centymetrach. Ćwiartka koła jest figurą wyciętą z przekroju i stanowi „dziurę”.

4,0

5,0

5,0

6,0

20,0

12

,0

4,0

5,0

3,0

[cm]

Rys. Z6/3.1. Przekrój złożony

Z6/3.2 Środek ciężkości przekroju

W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

tak

aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia
rysunek Z6/3.2. Przekrój został podzielony na: prostokąt o wymiarach 14,0 cm na 12,0 cm, trójkąt
prostokątny o wymiarach 6,0 cm na 12,0 cm oraz ćwiartkę koła o promieniu 5,0 cm. Podział ten przedstawia
także rysunek Z2/1.2.

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (prostokąta) wynoszą

z

P1

=

12,0

2

=

6,0 cm

y

P1

=

6,0

14,0

2

=

13,0 cm

.

(Z6/3.1)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (trójkąta prostokątnego) wynoszą

z

P2

=

1
3

⋅

12,0=4,0 cm

y

P2

=

2
3

⋅

6,0=4,0 cm

.

(Z6/3.2)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (ćwiartki koła) wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

2

4,0

5,0

5,0

6,0

14,0

12

,0

4,0

5,0

3,0

[cm]

2

3

1

sc

1

sc

2

sc

3

Y

P

Z

P

4,

0

6,0

5,

87

8

13,0

4,0

13,88

20,0

6,0

Rys. Z6/3.2. Podział przekroju pręta na figury składowe

z

P3

=

3,05,0−

4⋅5,0

3⋅

=

5,878 cm

y

P3

=

6,05,05,0−

4⋅5,0

3⋅

=

13,88 cm

.

(Z6/3.3)

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w początkowym układzie współrzędnych
przedstawia rysunek Z6/3.2.

Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna y

C

środka ciężkości przekroju wynosi

y

C

=

14,0⋅12,0⋅13,0 

1
2

⋅

6,0⋅12,0⋅4,0−

⋅

5,0

2

4

⋅

13,88

14,0⋅12,0

1
2

⋅

6,0⋅12,0−

⋅

5,0

2

4

=

11,15 cm

.

(Z6/3.4)

Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna z

C

środka ciężkości przekroju wynosi

z

C

=

14,0⋅12,0⋅6,0 

1
2

⋅

6,0⋅12,0⋅4,0−

⋅

5,0

2

4

⋅

5,878

14,0⋅12,0

1
2

⋅

6,0⋅12,0−

⋅

5,0

2

4

=

5,622 cm

.

(Z6/3.5)

Położenie środka ciężkości całego przekroju w początkowym układzie współrzędnych przedstawia rysunek
Z6/3.3.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

3

4,0

5,0

5,0

6,0

14,0

12

,0

4,0

5,0

3,0

[cm]

2

3

1

sc

1

sc

2

sc

3

Y

P

Z

P

20,0

6,0

sc

Z

0

Y

0

5,

62

2

11,15

Rys. Z6/3.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta

Z6/3.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych

W celu wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości w układzie osi środkowych wykorzystamy

wzory transformacyjne

y

oi

=

y

Pi

−

y

C

,

(Z6/3.6)

z

oi

=

z

Pi

−

z

C

.

(Z6/3.7)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (prostokąta) w układzie osi środkowych wynoszą

z

01

=

6,0−5,622 =0,378 cm

y

01

=

13,0−11,15 =1,85 cm

.

(Z6/3.8)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (trójkąta prostokątnego) w układzie osi środkowych wynoszą

z

02

=

4,0−5,622=−1,622 cm

y

02

=

4,0−11,15=−7,15 cm

.

(Z6/3.9)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (ćwiartki koła) w układzie osi środkowych wynoszą

z

03

=

5,878−5,622 =0,256 cm

y

03

=

13,88−11,15 =2,73 cm

.

(Z6/3.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

4

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie osi środkowych przedstawia
rysunek Z6/3.4. Rysunek Z6/3.5 przedstawia osie środkowe wszystkich figur składowych przekroju.

4,0

5,0

5,0

6,0

14,0

12

,0

4,0

5,0

3,0

[cm]

2

3

1

sc

1

sc

2

sc

3

1,6

22

0,

37

8

0,2

56

1,85

7,15

2,73

20,0

6,0

sc

Z

0

Y

0

Rys. Z6/3.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych

4,0

5,0

5,0

6,0

14,0

12

,0

4,0

5,0

3,0

[cm]

2

3

1

sc

1

sc

2

sc

3

1,

622

0,3

78

0,

256

1,85

7,15

2,73

20,0

6,0

sc

Z

0

Y

0

Z

02

Y

02

Y

01

Z

01

Y

03

Z

03

Rys. Z6/3.5. Osie środkowe poszczególnych figur składowych

Mając wyznaczone położenie środków ciężkości poszczególnych figur w układzie osi środkowych

możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y

0

Z

0

. Zgodnie ze

wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y

0

wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

5

J

Y0

=

14,0⋅12,0

3

12





0,378



2

⋅

12,0⋅14,0



6,0⋅12,0

3

36





−

1,622



2

⋅

1
2

⋅

12,0⋅6,0

−



0,05488⋅5,0

4





0,256



2

⋅

⋅

5,0

2

4



=

2387 cm

4

.

(Z6/3.11)

Zgodnie ze wzorem (6.32) moment bezwładności względem osi Z

0

wynosi

J

Z0

=

12,0⋅14,0

3

12





1,85



2

⋅

12,0⋅14,0



12,0⋅6,0

3

36





−

7,15



2

⋅

1
2

⋅

12,0⋅6,0

−



0,05488⋅5,0

4





2,73



2

⋅

⋅

5,0

2

4



=

5051 cm

4

.

(Z6/3.12)

Zgodnie ze wzorem (6.33) dewiacyjny moment bezwładności w układzie Y

0

Z

0

wynosi

J

Y0Z0

=

0,0



0,378



⋅



1,85



⋅

12,0⋅14,0



6,0

2

⋅

12,0

2

72





−

1,622



⋅



−

7,15



⋅

1
2

⋅

12,0⋅6,0

−



−

0,01647⋅5,0

4





0,256



⋅



2,73



⋅

⋅

5,0

2

4



=

603,6 cm

4

.

(Z6/3.13)

Z6/3.4 Główne momenty bezwładności

Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty

główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (6.43)
będzie miał wartość

tg2⋅

gl

=

−

2⋅



603,6



2387−5051

=

0,4532

.

(Z6/3.14)

Kąt nachylenia osi głównych wynosi



gl

=

12,19

o

.

(Z6/3.15)

Główny moment bezwładności I

ygl

zgodnie z (6.44) wynosi

J

Ygl

=

23875051

2



2387−5051

2

⋅

cos



2⋅12,19

o



−



603,6



⋅

sin



2⋅12,19

o



J

Ygl

=

2257 cm

4

.

(Z6/3.16)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

6

Główny moment bezwładności I

Zgl

zgodnie z (6.45) wynosi

J

Ygl

=

23875051

2

−

2387−5051

2

⋅

cos



2⋅12,19

o







603,6



⋅

sin



2⋅12,19

o



J

Ygl

=

5181 cm

4

.

(Z6/3.17)

Uporządkowane momenty bezwładności wynoszą

J

1

=

5181 cm

4

J

2

=

2257 cm

4

.

(Z6/3.18)

sc

Z

0

Y

0

Y

gl

=2

Z

gl

=1

12,19

o

Rys. Z6/3.6. Położenie głównych osi bezwładności

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (6.48). Główne momenty bezwładności wynoszą

J

1/ 2

=

23875051

2

±





2387−5051

2



2





603,6



2

=

{

5181 cm

4

2257 cm

4

.

(Z6/3.19)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

I

1

=

50512387=7438 cm

4

.

(Z6/3.20)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

1

=

51812257=7438 cm

4

.

(Z6/3.21)

Jak widać niezmienniki (Z6/3.20) i (Z6/3.21) są równe. Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych
wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 3

7

I

2

=

5051⋅2387−



−

603,6



2

=

11690000 cm

8

.

(Z6/3.22)

Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

2

=

5181⋅2257=11690000 cm

8

.

(Z6/3.23)

Jak widać niezmienniki (Z6/3.22) i (Z6/3.23) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia
rysunek Z6/3.6.

Dr inż. Janusz Dębiński