Z11/3. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 3
1
Z11/3. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 3
Z11/3.1. Zadanie 3
Rysunek Z11/3.1 przedstawia pręt pryzmatyczny o długości 2,0 m, który jest skręcany momentem skręcającym o wartości 5,0 kNm. Wyznaczyć maksymalne naprężenia styczne oraz całkowity kąt skręcenia dla pręta o przekroju skrzynkowym o profilu zamkniętym i otwartym przedstawionych na rysunku Z11/2.
Moduł Younga wynosi 205 GPa, współczynnik Poissona wynosi 0,3.
5,0 kNm
5,0 kNm
2,0
[m]
Rys. Z11/3.1. Skręcany pręt pryzmatyczny a)
b)
12,0
1,0
1,0
kNm
0,5
0,5
kNm
0,5
0,5
5,0
9,0
5,0
8,0
0
0
1,
1,
12,0
6,0
6,0
[cm]
[cm]
Rys. Z11/3.2. Przekrój skrzynkowy, a)o profilu zamkniętym, b) o profilu otwartym Z11/3.2. Maksymalne naprężenie styczne i całkowity kąt skręcenia w przekroju o profilu zamkniętym
Moment skręcający przestawiony na rysunku Z11/3.1 jest dodatni, ponieważ wykręca się z pręta.
Wartość bezwzględna tego momentu wynosi M =5,0 kNm=500,0 kNcm .
(Z11/3.1)
AC
9,0
12,0
[cm]
Rys. Z11/3.3. Powierzchnia środkowa Rysunek Z11/3.3 przedstawia pole powierzchni środkowej ograniczone linią środkową przekroju.
Pole to wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/3. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 3
2
A =9,0⋅12,0=108 cm 2 .
(Z11/3.2)
C
Jak wiadomo największe naprężenie styczne τXMAX działa w miejscu najmniejszej grubości ścianki przekroju. Grubość ta wynosi
g
=0,5 cm .
(Z11/3.3)
MIN
Wartość bezwzględna największego naprężenia stycznego w przekroju cienkościennym zamkniętym τXMAX, zgodnie ze wzorem (11.19), wynosi 500,0
kN
∣
=4,63
=46,3 MPa .
XMAX∣=
(Z11/3.4)
2⋅108,0⋅0,5
cm 2
Rysunek Z11/3.4 przedstawia największe naprężenie styczne τXMAX działające w ściance o najmniejszej grubości przekroju o profilu zamkniętym. Naprężenie to kręci względem punktu znajdującego się wew-nątrz przekroju zgodnie z kierunkiem momentu skręcającego.
Nm
a
a
k
MP
MP
5,0
,3
,3
46
46
Rys. Z11/3.4. Naprężenia styczne τ XMAX w przekroju skrzynkowym zamkniętym Moment bezwładności JS przekroju skrzynkowego zamkniętego wyznaczymy ze wzoru (11.20). Całka po obwodzie zamkniętym linią środkową przekroju wynosi
∮ ds 2⋅12,0 2⋅9,0
=
=60,0 .
(Z11/3.5)
g
1,0
0,5
Moment JS wynosi więc
4
J
⋅108,02
=
=777,6 cm 4 .
(Z11/3.6)
S
60,0
Długość pręta wynosi
L=2,0 m=200,0 cm .
(Z11/3.7)
Moduł Kirchhoffa zgodnie ze wzorem (11.4) wynosi Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/3. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 3
3
205
kN
G=
=78,85 GPa =78850 MPa=7885
.
(Z11/3.8)
2⋅10,3
cm 2
Całkowity kąt skręcenia przekroju skrzynkowego, zgodnie ze wzorem (11.12), wynosi 500,0⋅200,0
=
=0,01631 rad =0,9345 o .
(Z11/3.9)
7885⋅777,6
Z11/3.3. Maksymalne naprężenie styczne i całkowity kąt skręcenia w przekroju o profilu otwartym
Przekrój skrzynkowy o profilu otwartym powstały poprzez przecięcie jednej ścianki został przedstawiony na rysunku Z11/3.5 a). Rysunek Z11/3.5 b) przedstawia podział przekroju skrzynkowego o profilu otwartym na prostokąty składowe.
a)
b)
12,0
12,0
01,
1,0
Nm k
0,5
0,5
0
0,5
0,5
5,0
8,
8,0
0
1,0
1,
6,0
6,0
[cm]
6,0
6,0
[cm]
Rys. Z11/3.5. Przekrój skrzynkowy o profilu otwartym. a) wymiary przekroju, b) podział na prostokąty Największe naprężenie styczne τXMAX jak wiadomo działa w środku boku o największej grubości.
Moment JS zgodnie ze wzorem (11.16) wynosi 1
J = ⋅12,0⋅1,032⋅6,0⋅1,032⋅8,0⋅0,53=8,667 cm 4 .
(Z11/3.10)
S
3
Największa grubość ścianki wynosi b
=1,0 cm .
(Z11/3.11)
MAX
Wartość bezwzględna największego naprężenia stycznego τXMAX w przekroju skrzynkowym o profilu otwartym zgodnie ze wzorem (11.17) wynosi
∣
500,0
kN
∣=
⋅1,0=57,69
=576,9 MPa
XMAX
.
(Z11/3.12)
8,667
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z11/3. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO – ZADANIE 3
4
576,9 MPa
0,5
Nm k
0,5
[cm]
5,0
576,9 MPa
Rys. Z11/3.6. Naprężenia styczne τ XMAX w przekroju skrzynkowym o profilu otwartym Rysunek Z11/3.6 przedstawia największe naprężenie styczne τXMAX, w przekroju skrzynkowym o profilu otwartym, działające w ściankach o największej grubości. Naprężenie to kręci względem punktu znajdującego się na osi prostokąta zgodnie z kierunkiem momentu skręcającego.
Całkowity kąt skręcenia pręta o przekroju skrzynkowym otwartym, zgodnie ze wzorem (11.12) będzie wynosił
500,0⋅200,0
=
=1,463 rad =83,82 o .
(Z11/3.13)
7885⋅8,667
Z11/3.4. Porównanie obu przekrojów Jak więc widać największe naprężenie styczne działające w przekroju skrzynkowym o profilu otwartym τXMAX jest
576,9 =12,46
(Z11/3.14)
46,3
razy większe niż w przekroju skrzynkowym o profilu zamkniętym. Całkowity kąt skręcenia pręta o przekroju skrzynkowym otwartym jest 83,82 o =89,70
(Z11/3.15)
0,9345 o
razy większe niż w przekroju skrzynkowym o profilu zamkniętym.
Dr inż. Janusz Dębiński