Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
1
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
Z7/3.1. Zadanie 3
Dana jest belka złożona oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego przedstawione na rysunku Z7/3.1. Zaprojektować stalową blachownicę skrzynkową, a następnie narysować wykresy naprężeń: normalnego σX oraz naprężeń stycznych τXZ i τXY. Przyjąć wytrzymałość stali R = 215 MPa.
α
48,0 kN/m
/m
16,0 kN/m
8,0 kN
40,0 kN
A
B
D
E
C
42,0 kN
α 96,0 kN
42,0 kN
2,727
3,273
2,0
4,0
1,0
[m]
6,0
2,0
4,0
1,0
4,035
1,965
30,0
8,0
T(x) [kN]
34,0
42,0
12,54
66,0
1,875
2,125
1,419
4,581
1
6,32
8
5,31
3
66,0
M(x) [kNm]
4,4
,0
0,0
8,0
28,13
0
1,419
4,581
0,0
4,035
1,965
1,875
2,125
Rys. Z7/3.1. Wykresy sił przekrojowych w belce Z7/3.2 Zaprojektowanie przekroju blachownicy Na podstawie wykresu siły momentu zginającego przedstawionego na rysunku Z7/3.1 można stwierdzić, że ekstremalny moment wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
2
Y=Y =Y =Y
Y
01
0
gl
02
Z
Z=Z =Z
Z
01
0
gl
02
Rys. Z7/3.2. Przekrój skrzynkowy złożony z dwóch ceowników MEXT =66,0 kNm=6600 kNcm .
(Z7/3.1)
Y
Wytrzymałość stali wynosi
kN
R=215 MPa=21,5
.
(Z7/3.2)
cm 2
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie powinien spełniać warunek 6600
W
=307,0 cm 3 .
(Z7/3.3)
Y
21,5
W przypadku przekroju skrzynkowego możemy zacząć projektowanie od założenia, że przekrój skrzynkowy składa się z dwóch ceowników przedstawionych na rysunku Z7/3.2. Środek ciężkości tego przekroju znajduje się na przecięciu obu osi symetrii. Jak widać na rysunku Z7/3.2 wszystkie osie Y znajdują się na jednej prostej czyli współrzędne z0i środków ciężkości obu ceowników w układzie osi środkowych (głównych) całego przekroju wynoszą zero. Moment bezwładności przekroju względem osi Y=Ygl będzie więc po prostu sumą momentów bezwładności każdego z ceowników względem ich osi Y01 oraz Y02. Także wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie będzie sumą wskaźników obu ceowników. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dla ceownika musi więc spełniać warunek 307,0
W ceownik
=153,5 cm 3 .
(Z7/3.4)
Y
2
Z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dobieramy ceownik 200 o wymiarach przedstawionych na rysunku Z7/3.3. Wszystkie wymiary podane są w centymetrach. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie ceownika 200 wynosi (oś X w tablicach odpowiada naszej osi Y=Ygl).
W =191 cm 3 .
(Z7/3.5)
Y
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
3
0,88
0,02
1,15
7,5
[cm]
Rys. Z7/3.3. Wymiary przekroju ceowego 200
15,0
0,9
13,2
0,9
1,2
9,7
Y=Y =Y
0
gl
sc
17,0
19,4
9,7
[cm]
1,2
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.4. Przekrój skrzynkowy
Przekrój belki musi być wykonany z blach jako blachownica należy więc zaokrąglić wszystkie grubości do pełnych milimetrów a szerokości do pełnych centymetrów. Przyjmiemy przekrój blachownicowy o wymiarach podanych w centymetrach przedstawiony na rysunku Z7/3.4. Środek ciężkości tego przekroju znajduje się na przecięciu obu osi symetrii. Moment bezwładności przekroju skrzynkowego względem osi Y=Ygl wynosi
15,0
13,2
J
⋅19,43
⋅17,03
= J =
−
=3722 cm 4 .
(Z7/3.6)
Y
Ygl
12
12
Ponieważ w przekroju skrzynkowym oś Y=Ygl jest osią symetrii to wskaźniki wytrzymałości dla krawędzi dolnej i górnej są równe. Wynoszą one
3722
W g= W d= W =
=383,7 cm 3 .
(Z7/3.7)
Y
Y
Y
9,7
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
4
Wskaźnik (Z7/3.7) jest większy niż ten wyznaczony ze wzoru (Z7/3.3). Przekrój spełnia więc warunek wytrzymałości.
Z7/3.3 Naprężenia normalne σX oraz styczne τXZ i τXY w przekroju Rysunek Z7/3.5 przedstawia siły przekrojowe działające w przekroju α - α znajdującego się w lewej części belki. Siła poprzeczna na wykresie na rysunku Z7/3.1 jest ujemna więc kręci odciętą częścią belki przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Moment zginający rozciąga górną część przekroju pręta. Moment zginający w przekroju α - α rozciąga górną część przekroju pręta jest więc on ujemny a jego wartość wynosi M =−66,0 kNm=−6600 kNcm .
(Z7/3.8)
Y
Wartość bezwzględna siły poprzecznej wynosi
∣ T Z∣=66,0 kN .
(Z7/3.9)
Rysunek Z7/3.6 przedstawia przekrój skrzynkowy z działającymi siłami przekrojowymi. Na rysunku tym zaznaczone są również punkty, w których będziemy wyznaczać wartości naprężeń normalnych i stycznych.
66,0 kNm
66,0 kN
X
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.5. Siły przekrojowe w przekroju α - α
Funkcja naprężeń normalnych σX będzie miała postać
−6600
=
⋅ z=−1,773⋅ z .
(Z7/3.10)
X
3722
Naprężenie normalne w punkcie 1 wynosi
kN
1= 9,7 =−1,773⋅9,7 =−17,20
=−172,0 MPa .
X
X
(Z7/3.11)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 2 wynosi
kN
2= 8,5 =−1,773⋅
=−150,7 MPa .
X
X
8,5 =−15,07
(Z7/3.12)
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
5
15,0
0,9
13,2
0,9
5
1,2
4
66,0 kN
Y=Y =Y
66,0 kNm
0
gl
3
sc
17,0
19,4
N=0,0 kN
2 6
7
[cm]
1
1,2
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.6. Przekrój skrzynkowy obciążony siłami przekrojowymi Naprężenie normalne w punkcie 3 wynosi
kN
3= 0,0 =−1,773⋅0,0 =0,0
=0,0 MPa .
X
X
(Z7/3.13)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 4 wynosi
kN
4= −8,5=−1,773⋅−8,5=15,07
=150,7 MPa .
X
X
(Z7/3.14)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 5 wynosi
kN
5= −9,7=−1,773⋅−9,7=17,12
=172,0 MPa .
X
X
(Z7/3.15)
cm 2
Rysunek Z7/3.11 przedstawia wykres naprężeń normalnych na wysokości przekroju skrzynkowego.
Naprężenie styczne τXZ w punkcie 1 wynosi zero, ponieważ jest to punkt znajdujący się na krawędzi dolnej przekroju.
W punkcie 2 będziemy mieli dwie wartości naprężenia stycznego τXZ, ponieważ w tym punkcie szerokość przekroju skrzynkowego zmienia się skokowo. Rysunek Z7/3.7 przedstawia część przekroju pręta znajdującą się poniżej punktu 2. Jest to jak widać cała półka dolna. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 2 w półce dolnej dla całej szerokości półki zgodnie z (7.20) wynosi
∣
66,0⋅15,0⋅1,2⋅9,1
kN
2p∣=
=0,1936
=1,936 MPa .
(Z7/3.16)
XZ
15,0⋅3722
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
6
15,0
0,9
13,2
0,9
1,2
,79
Y=Y =Y
0
gl
sc
17,0
19,4
,1
,7
9
9
sc
2
1
[cm]
Z=Z =Z
1,2
0
gl
Rys. Z7/3.7. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 2
15,0
0,9
13,2
0,9
1,2
9,7
Y=Y =Y
0
gl
3
sc
17,0
19,4
sc2 9,1
8,5
4,25
sc2
9,7
sc1
[cm]
1,2
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.8. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 3
Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 2 w środniku dla grubości środnika zgodnie z (7.20) wynosi
∣
66,0⋅15,0⋅1,2⋅9,1
kN
2s∣=
=1,614
=16,14 MPa .
(Z7/3.17)
XZ
2⋅0,9⋅3722
cm 2
Rysunek Z7/3.10 przedstawia część przekroju pręta znajdującą się poniżej punktu 3. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 3 zgodnie z (7.20) wynosi
∣
66,0⋅15,0⋅1,2⋅9,12⋅8,5⋅0,9⋅4,25
kN
3∣=
=2,254
=22,54 MPa .
(Z7/3.18)
XZ
2⋅0,9⋅3722
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
7
Ponieważ w przekroju skrzynkowym oś Y=Ygl jest jedną z osi symetrii to wykres naprężeń stycznych τXZ
będzie względem tej osi symetryczny. Rysunek Z7/3.11 przedstawia symetryczny wykres naprężeń stycznych τXZ w przekroju skrzynkowym. Ponieważ siła poprzeczna działa do góry czyli jej zwrot jest przeciwny do dodatniego zwrotu osi Z=Zgl więc naprężenia styczne τXZ w przekroju pręta będą ujemne.
15,0
0,9
13,2
0,9
1,2
,79
Y=Y =Y
0
gl
sc
17,0
19,4
,7
9,1
6,6
9
sc3
6
[cm]
1,2
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.9. Część półki
66,0 kN
Y=Y =Y
0
gl
sc
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/3.10. Model przepływu wody w celu ustalenia znaków naprężeń stycznych τ XY
Rysunek Z7/3.9 przedstawia część półki mierzoną od osi Z=Zgl do punktu numer 6. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY w tym punkcie, zgodnie z (7.23), wynosi
∣
66,0⋅6,6⋅1,2⋅9,1
kN
6∣=
=1,065
=10,65 MPa .
(Z7/3.19)
XY
1,2⋅3722
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/3. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 3
8
Ponieważ punkt 7 znajduje się na Z=Zgl to naprężenie styczne τXY będzie w tym punkcie wynosiło zero.
Znaki naprężeń stycznych ustalimy na podstawie przepływu wody w systemie rurek w kształcie przekroju skrzynkowego. Przepływ ten przedstawiony jest na rysunku Z7/3.10. Rysunek Z7/3.11 przedstawia wykres naprężeń stycznych τXY.
15,0
0,9
13,2
0,9
10,65
[MPa]
τ
,0
XY
,2
10,65
0
1
σ
τ
X
172,0
XZ
0,0
150,7
1,936 / 16,14
66,0 kN
Y=Y =Y
0
gl
66,0 kNm
sc
7,01
19,4
0,0
22,54
N=0,0 kN
150,7
1,936 / 16,14
[cm]
172,0
0,0
,2
Z=Z =Z
1
[MPa]
[MPa]
0
gl
10,65
[MPa]
τ
5
XY
0,0
10,6
Rys. Z7/3.11. Wykresy naprężeń normalnych i stycznych w przekroju skrzynkowym Dr inż. Janusz Dębiński