WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

1

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

Z3/3.1. Zadanie 3

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z3/3.1. Siła czynna o wartości 18,0 kN w dół jest przyłożona w prze-
gubie rzeczywistym B.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,0

3,0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

18,0 kN

Rys. Z3/3.1. Układ trójprzegubowy

Z3/3.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z3/3.1 spełnia warunek konieczny i dosta-

teczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyzna-
czalnym.

Z3/3.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C przed-
stawia rysunek Z3/3.2.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w prze-
gubie rzeczywistym A ma więc wartość



M

C

=

V

A

⋅

9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0−18,0⋅5,0=0

V

A

=

28,22 kN

(Z3/3.1)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,0

4,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

V

A

H

A

H

C

V

C

[m]

X

Y

I

II

18,0 kN

Rys. Z3/3.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w prze-
gubie rzeczywistym C ma więc wartość



M

A

=−

V

C

⋅

9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,018,0⋅4,0=0

V

C

=

17,78 kN

(Z3/3.2)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały

układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Rów-
nanie to ma postać



Y =V

A



V

C

−

12,0−16,0−18,0=28,2217,78−46,0=0

.

(Z3/3.3)

Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji
w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na

tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym
A ma więc wartość



M

B



I



=−

H

A

⋅

5,0V

A

⋅

4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

−

H

A

⋅

5,028,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

H

A

=

20,98 kN

.

(Z3/3.4)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

3

A

B

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

V

A

H

A

X

Y

B

C

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

H

C

V

C

[m]

V

B

(I)

H

B

(I)

I

II

V

B

(II)

H

B

(II)

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

18,0 kN

2,0

2,0

3,0

2,0

Rys. Z3/3.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II

Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na

tarczę sztywną numer II. Poziomą składową reakcji w przegubie C wyznaczymy z równania sumy
momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment
będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie
rzeczywistym C ma więc wartość



M

B



II



=

H

C

⋅

5,0−V

C

⋅

5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

⋅

5,0−17,78⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

=

6,98 kN

.

(Z3/3.5)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały

układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Rów-
nanie to, zgodnie z rysunkiem Z3/3.2, ma postać



X =H

A

−

H

C

−

8,0−6,0=20,98−6,98−14,0=0

.

(Z3/3.6)

Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji
w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z3/3.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na cały układ trójprzegubowy
znajdują się w równowadze.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

4

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,0

3,0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

28,22 kN

17,78 kN

20,98 kN

6,98 kN

18,0 kN

Rys. Z3/3.4. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zas-

tosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy
kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość



X



I



=−

H

B



I





H

A

−

8,0=0

−

H

B



I





20,98−8,0=0

H

B



I



=

12,98 kN

.

(Z3/3.7)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zas-

tosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy
kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość



Y



I



=

V

B



I





V

A

−

12,0=0

V

B



I





28,22−12,0=0

V

B



I



=−

16,22 kN

.

(Z3/3.8)

Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość



X



II



=

H

B



II



−

H

C

−

6,0=0

H

B



II



−

6,98−6,0=0

H

B



II



=

12,98 kN

.

(Z3/3.9)

Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

5

A

B

2,0

2,0

2,0

3,0

8,0 kN

12,0 kN

I

28,22 kN

20,98 kN

12,98 kN

16,22 kN

B

C

3,0

2,0

1,0

4,0

16,0 kN

6,0 kN

[m]

II

17,78 kN

6,98 kN

1,78 kN

12,98 kN

1,78 kN

12,98 kN

B

12,98 kN

16,22 kN

18,0 kN

Rys. Z3/3.5. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na tarcze

sztywne numer I i II

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyj-
miemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość



Y



II



=

V

B



II





V

C

−

16,0=0

V

B



II





17,78−16,0=0

V

B



II



=−

1,78kN

.

(Z3/3.10)

Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na przegub rzeczywisty B na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie przyj-
miemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 równanie sumy rzutów na oś
X ma postać



X



B



=

H

B



I



−

H

B



II



=

12,98−12,98=0

.

(Z3/3.11)

Zgodnie z rysunkiem Z3/3.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać



Y



II



=−

V

B



I



−

V

B



II



−

18,0=−



−

16,22



−



−

1,78



−

18,0=0

.

(Z3/3.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

6

Równania równowagi (Z3/3.11) i (Z3/3.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i piono-
we składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z3/3.5 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczy-

wistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające
na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.

Dr inż. Janusz Dębiński