Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
1
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
Z10/7.1. Zadanie 7
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/7.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/7.1)
m 3
Ciężar własny betonu ciężkiego wynosi kN
=40,0
.
B
(Z10/7.2)
m 3
2,7
H 0
2
5,5
5,0
A
A
[m]
Rys. Z10/7.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/7.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/7.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wynosi p= ⋅ h .
(Z10/7.3)
W
Na dnie zbiornika na głębokości 5,0 metrów ciśnienie wody wynosi więc kN
p =10,0⋅5,0 =50,0
=50,0 kPa .
h
(Z10/7.4)
m 2
Ciężar własny betonowej ściany, równy iloczynowi objętości wycinka ściany przez ciężar własny betonu, (Z10/7.2) przyłożony jest w środku prostopadłościanu i ma wartość Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
2
1,0
[m]
Rys. Z10/7.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,7
1,35
1,35
N k
5,5
5,0
94,0
Q=5
[m]
p =50,0 kPa
h
Rys. Z10/7.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika Q=40,0⋅2,7⋅5,5⋅1,0=594,0 kN .
(Z10/7.5)
Rysunek Z10/7.3 przedstawia obciążenie czynne, które działa na wycinek ściany betonowej zbiornika o dłu-gości 1 metra.
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/7.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅50,0⋅5,0⋅1,0=125,0 kN .
(Z10/7.6)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/5.4.
Rysunek Z10/7.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyzna-czać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/7.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
3
2,7
1,35
1,35
5,0
N
2 ⋅ 3
k
55,
4,0
5,0
W=125,0 kN
59
Q=
5,0
1 ⋅ 3
p =50,0 kPa
h
[m]
Rys. Z10/7.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika 2,7
1,35
1,35
5,0⋅
N
2
3
k
5,5
5,0
W=125,0 kN
94,0
5,0
Q=5
1 ⋅ 3
Z=Zgl
[m]
MY
N
X
Rys. Z10/7.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Siła normalna wynosi
N =−594,0 kN .
(Z10/7.7)
Moment zginający MY wynosi 1
M =−125,0⋅ ⋅5,0=−208,3 kNm .
(Z10/7.8)
Y
3
Rysunek Z10/7.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
4
2,7
1,35
1,35
5,0
2 ⋅ 3
kN
0
,0
5,5
5,
W=125,0 kN
94
5,0
Q=5
1 ⋅ 3
Z=Zgl
208,3 kNm
594,0 kN
X
X
594,0 kN
208,3 kNm
Z=Zgl
Y=Ygl
[m]
Rys. Z10/7.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 594,0 kN
208,3 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,7
Rys. Z10/7.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A Rysunek Z10/7.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
−208,3
z =
=0,3507 m .
(Z10/7.9)
N
−594,0
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/7.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
5
0,3507
594,0 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,7
Rys. Z10/7.8. Siła normalna na mimośrodzie 2,7 =0,45 m .
(Z10/7.10)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/7.9) jest mniejsza niż (Z10/7.10) więc siła normalna znajduje się w rdzeniu. Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,7⋅1,0 =2,7 m 2 .
(Z10/7.11)
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Ygl wynosi 1,0
J
⋅2,73
=
=1,640 m 4 .
(Z10/7.12)
Y
12
Funkcja naprężeń normalnych σX wynosi
−594,0 −208,3
=
⋅ z=−220,0−127,0⋅ z .
(Z10/7.13)
X
2,7
1,640
Oś obojętna ma postać
−220,0−127,0⋅ z=0 .
(Z10/7.14)
Możemy ją zapisać jako
z =−1,732 .
(Z10/7.15)
Równanie (Z10/7.15) określa nam prostą równoległą do osi Y=Ygl. Prosta ta znajduje się już poza przekrojem prostokątnym z prawej strony. Czyli naprężenia normalne należy wyznaczyć w punktach A i B przed-stawionych na rysunku Z10/5.9. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/7. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 7
6
1,732
A
B
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,7
Rys. Z10/7.9. Oś obojętna
kN
A=−220,0−127,0⋅−1,35=−48,55
=−48,55 kPa .
X
(Z10/7.16)
m 2
kN
B=−220−127,0⋅1,35=−391,5
=−391,5 kPa .
X
(Z10/7.17)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/7.10. Wykres ten będzie identyczny dla materiału, który przenosi naprężenie normalne rozciągające, ponieważ w przekroju prostokątnym nie ma naprężeń rozciągających.
1,732
A
Z=Zgl
B
1,0
Pa
k
391,5
48,55 kPa
Y=Y gl
[m]
2,7
aP
aP
5 k
k
48,5
391,5
Rys. Z10/7.10.Wykres naprężenia normalnego w przekroju prostokątnym Dr inż. Janusz Dębiński