WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

1

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

Z10/1.1. Zadanie 1

W punkcie A przekroju przedstawionego na rysunku Z10/1.1 działa siła normalna -200,0 kN. Nary-

sować wykres naprężenia normalnego

σ

X

w tym przekroju. Następnie wyznaczyć rdzeń przekroju. Wszyst-

kie wymiary przekroju podane są w centymetrach. Przekrój posiada jedną oś symetrii.

4,0

4,0

12,0

4,0

4,0

12,0

4,0

5,0

15

,0

[cm]

A

Rys. Z10/1.1. Przekrój pręta obciążony mimośrodowo

Z10/1.2. Wyznaczenie charakterystyk geometrycznych przekroju

Rysunek Z10/1.2 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Na rysunku tym zaznaczony jest

także początkowy układ współrzędnych. Oś Z

P

tego układu pokrywa się z osią symetrii przekroju.

4,0

4,0

12,0

4,0

4,0

12,0

4,

0

5,

0

15

,0

[cm]

20,0

Y

P

Z

P

4,

0

20

,0

sc

1

sc

2

sc

3

2,0

14

,0

19

,0

Rys. Z10/1.2. Podział przekroju na figury składowe

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

2

Zgodnie z rysunkiem Z10/1.2 pole powierzchni przekroju pręta wynosi

A

=

12,0

⋅

4,0



20,0

⋅

20,0

−

1
2

⋅

12,0

⋅

15,0

=

358,0 cm

2

.

(Z10/1.1)

Współrzędne z środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą

z

P1

=

4,0

2

=

2,0 cm

,

(Z10/1.2)

z

P2

=

4,0

20,0

2

=

14,0 cm

,

(Z10/1.3)

z

P3

=

4,05,0

2
3

⋅

15,0=19,0 cm

.

(Z10/1.4)

Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju wynosi

z

C

=

12,0⋅4,0⋅2,020,0⋅20,0⋅14,0−

1
2

⋅

15,0⋅12,0⋅19,0

12,0⋅4,020,0⋅20,0−1

2

⋅

15,0⋅12,0

=

11,13 cm

.

(Z10/1.5)

Rysunek Z10/1.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju.

4,0

4,0

6,0

4,0

4,0

6,0

4,

0

5,

0

15

,0

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

4,

0

20

,0

11

,13

12

,87

6,0

6,0

10,0

Rys. Z10/1.3. Położenie środka ciężkości przekroju

Oś Z=Z

gl

jest osią główną, ponieważ jest ona osią symetrii przekroju, a jak wiadomo w układzie,

w którym przynajmniej jedna oś jest osią symetrii moment dewiacyjny wynosi zero. Moment ten jest równy

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

3

zero także w układzie osi głównych. Rysunek Z10/1.4 przedstawia podział przekroju na figury składowe. Jak
widać na nim współrzędne y wszystkich środków ciężkości wynoszą zero. Współrzędne z możemy wyzna-
czyć z zależności

4,0

4,0

12,0

4,0

4,0

12,0

4,

0

5,

0

15

,0

[cm]

20,0

Y=Y

gl

Z=Z

02

=Z

03

=Z

gl

4,

0

20

,0

sc

1

9,1

3

2,

87

7,8

7

sc

2

sc

3

Y

02

Y

03

Y

01

Z

01

11

,13

12

,87

Rys. Z10/1.4. Podział przekroju na figury składowe

z

01

=

2,0

−

11,13

=−

9,13cm

,

(Z10/1.6)

z

02

=

14,0−11,13=2,87cm

,

(Z10/1.7)

z

03

=

19,0−11,13=7,87 cm

.

(Z10/1.8)

Zgodnie z wzorami (6.31) i (6.32) główne momenty bezwładności przekroju wynoszą

J

Y

=

J

Ygl

=

12,0

⋅

4,0

3

12





−

9,13



2

⋅

12,0

⋅

4,0



20,0

⋅

20,0

3

12



2,87

2

⋅

20,0

⋅

20,0

−



12,0

⋅

15,0

3

36



7,87

2

⋅

1
2

⋅

12,0

⋅

15,0



=

13990cm

4

,

(Z10/1.9)

J

Z

=

J

Zgl

=

4,0⋅12,0

3

12



0,0

2

⋅

12,0⋅4,0

 20,0⋅20,0

3

12



0,0

2

⋅

20,0⋅20,0

−



15,0⋅12,0

3

48



0,0

2

⋅

1

2

⋅

12,0⋅15,0



=

13370 cm

4

.

(Z10/1.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

4

Z10/1.3. Wykres naprężenia normalnego

Rysunek Z10/1.5 przedstawia położenie punktu przyłożenia siły normalnej o wartości -200,0 kN

w przekroju pręta. Mimośrody wynoszą więc

y

N

=−

10,0 cm

,

(Z10/1.11)

z

N

=

12,87 cm

.

(Z10/1.12)

Zgodnie z (10.3) i (10.4) momenty zginające wynoszą

M

Y

=−

200,0⋅12,87=−2574kNcm

,

(Z10/1.12)

M

Z

=−



−

200,0



⋅



−

10,0



=−

2000 kNcm

.

(Z10/1.13)

Jak więc widać oba momenty zginające są ujemne. Momenty te przedstawia także rysunek Z10/1.5.

4,0

4,0

6,0

4,0

4,0

6,0

4,

0

5,

0

15

,0

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

4,

0

20

,0

11

,13

12

,87

6,0

6,0

10,0

A

2574 kNcm

2000 kNcm

Rys. Z10/1.5. Momenty zginające w przekroju pręta

Zgodnie z (10.16) funkcja naprężenia normalnego będzie miała postać



X

=

−

200,0

358,0

−

−

2000

13370

⋅

y

−

2574

13990

⋅

z

,

(Z10/1.14)



X

=−

0,5587



0,1496

⋅

y

−

0,1840

⋅

z

.

(Z10/1.15)

Równanie osi obojętnej będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

5

−

0,55870,1496⋅y−0,1840⋅z=0

,

(Z10/1.16)

które możemy przedstawić w postaci

0,1496⋅y−0,1840⋅z=0,5587

.

(Z10/1.17)

Po podzieleniu przez wyraz wolny otrzymamy

0,2678⋅y −0,3293⋅z=1

.

(Z10/1.18)

Postać odcinkowa osi obojętnej będzie miała postać

y

3,734



z

−

3,037

=

1

.

(Z10/1.19)

Współrzędne odcinkowe osi obojętnej wynoszą więc

y

0

=

3,734 cm

,

(Z10/1.20)

z

0

=−

3,037 cm

.

(Z10/1.21)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.6. Na rysunku tym widać, że najdalej oddalonymi
punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą



X



A



=−

0,55870,1496⋅



−

10,0



−

0,1840⋅12,87=−4,423

kN

cm

2

=−

44,23 MPa

,

(Z10/1.22)



X



B



=−

0,55870,1496⋅6,0−0,1840⋅



−

11,13



=

2,387

kN

cm

2

=

23,87 MPa

.

(Z10/1.23)

Wykres naprężenia normalnego w przekroju przedstawia rysunek Z10/1.7.

Z10/1.4. Wyznaczenie rdzenia przekroju

Zgodnie z wzorami (10.22) i (10.23) kwadraty promieni bezwładności względem osi Y=Y

gl

oraz Z=Z

gl

wynoszą

i

Y

2

=

13990

358,0

=

39,08 cm

,

(Z10/1.24)

i

Z

2

=

13370

358,0

=

37,35 cm

.

(Z10/1.25)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

6

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,1

3

12

,8

7

10,0

3,0

37

3,734

A

B

4,0

4,0

6,0

6,0

Rys. Z10/1.6. Położenie osi obojętnej

Y=Y

gl

Z=Z

gl

B

A

σ

X

[MP

a]

0,0

5,5

87

44

,23

23

,87

Rys. Z10/1.7. Wykres naprężenia normalnego w przekroju

Ponieważ przekrój jest symetryczny wyznaczymy tylko osie obojętne dla punktów znajdujących się po lewej
stronie osi Z=Z

gl

, która jest osią symetrii tego przekroju. Rysunek Z10/1.8 przedstawia wszystkie wierz-

chołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju, dla których powinniśmy wyznaczyć
położenie odpowiadających im osi obojętnych. My wykorzystamy tylko punkty 1, 2 i 3.

Współrzędne punktu 1 wynoszą

y

N



1



=

6,0 cm , z

N



1



=−

11,13 cm

.

(Z10/1.26)

Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

7

4,0

4,0

6,0

4,0

4,0

6,0

4,

0

5,

0

15

,0

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

4,

0

20

,0

11

,13

12

,87

6,0

6,0

10,0

3

2

1

4

5

6

Rys. Z10/1.8. Wierzchołki zastępczego konturu wypukłego opisanego na przekroju

y

0



1



=−

37,35

6,0

=−

6,225 cm

,

(Z10/1.27)

z

0



1



=−

39,08

−

11,13

=

3,511 cm

.

(Z10/1.28)

Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.9.

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,1

3

12

,8

7

10,0

6,225

1

4,0

4,0

6,0

6,0

3,5

11

Rys. Z10/1.9. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 1

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

8

Współrzędne punktu 2 wynoszą

y

N



2



=

10,0 cm , z

N



2



=−

7,13cm

.

(Z10/1.29)

Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc

y

0



2



=−

37,35

10,0

=−

3,735 cm

,

(Z10/1.30)

z

0



2



=−

39,08

−

7,13

=

5,481 cm

.

(Z10/1.31)

Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.10.

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,1

3

12

,8

7

10,0

3,735

2

4,0

4,0

6,0

6,0

5,

481

Rys. Z10/1.10. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 2

Współrzędne punktu 3 wynoszą

y

N



3



=

10,0 cm , z

N



3



=

12,87 cm

.

(Z10/1.32)

Współrzędne odpowiadającej osi obojętnej wynoszą więc

y

0



3



=−

37,35

10,0

=−

3,735 cm

,

(Z10/1.33)

z

0



3



=−

39,08
12,87

=−

3,037 cm

.

(Z10/1.34)

Położenie tej osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/1.11.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/1. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 1

9

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,1

3

12

,8

7

10,0

3,735

3

4,0

4,0

6,0

6,0

3,

037

Rys. Z10/1.11. Oś obojętna odpowiadająca punktowi numer 3

Rysunek Z10/1.12 a) przedstawia wszystkie trzy osie obojętne odpowiadające punktom numer 1, 2 i 3.

Obszar leżący pomiędzy tymi osiami a osią Z=Z

gl

jest połową szukanego rdzenia przekroju. Rysunek

Z10/1.12 b) przedstawia cały rdzeń przekroju.

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,1

3

12

,8

7

10,0

4,0

4,0

6,0

6,0

1

1

2

2

3

3

[cm]

10,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

11

,13

12

,87

10,0

4,0

4,0

6,0

6,0

a)

b)

Rys. Z10/1.12. Rdzeń przekroju

Dr inż. Janusz Dębiński