Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
1
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE
10
Z8/10.1. Zadanie 10
W punkcie A znajdującym się w przekroju α - α ramy wspornikowej na rysunku Z8/10.1 wyznaczyć naprężenia i kierunek główny. Oba stany naprężenia przedstawić graficznie na bokach elementarnego kwadratu. Następnie określić stan odkształcenia w układzie ZX oraz w układzie osi głównych. Przyjąć stałe materiałowe: E = 205 GPa, ν = 0,3. Na koniec określić naprężenie zredukowane według hipotez: H-M-H
i Treski. Przekrój pręta oraz położenie punktu A przedstawia rysunek Z8/10.2. Wymiary ramy wspornikowej są podane w metrach natomiast wymiary przekroju w centymetrach.
1,0
α
α
Z=Z =Z
0
gl
1,0
/m
3,0
9,0 kN
15,0 kN
2,0
[m]
Rys. Z8/10.1. Rama wspornikowa
12,0
3,0
6,0
A
24,0
2,0
[cm]
Rys. Z8/10.2. Blachownica teowa
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
2
Z8/10.2. Wyznaczenie sił przekrojowych
Chcąc wyznaczyć naprężenia główne w przekroju α - α należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości i zwroty sił przekrojowych czyli siły normalnej, siły poprzecznej i momentu zginającego. Siła normalna jest dodatnia jeżeli rozciąga pręt. Siłę poprzeczną dodatnią przyjmiemy tak aby kręciła ona odciętą częścią ramy zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment zginający dodatni przyjmiemy tak aby rozciągał
on dolną część przekroju blachownicowego (współrzędne z są tam dodatnie). Ponieważ rama jest wspornikowa do wyznaczenia sił przekrojowych nie będą nam potrzebne reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z8/10.3 przedstawia założone dodatnie zwroty sił przekrojowych.
X
N
M
1,0
T
T
Z=Z =Z
Z=Z =Z
0
gl
0
gl
M
1,0
N
X
/m
3,0
9,0 kN
15,0 kN
2,0
[m]
Rys. Z8/10.3. Przyjęte zwroty sił przekrojowych Siły przekrojowe będziemy wyznaczać dla dolnej części ramy na rysunku Z8/10.3. Jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot zgodny z założonym zwrotem siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z minusem.
Z kolei jeżeli jakaś siła czynna ma zwrot przeciwny do założonego zwrotu siły przekrojowej to będziemy ją zapisywać z plusem. Siła normalna wynosi
N =15,0 ,0 kN .
(Z8/10.1)
Siła poprzeczna wynosi
T =−9,0⋅3,0=−27,0 kN .
(Z8/10.2)
Moment zginający wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
3
1
M =−9,0⋅3,0⋅1,0 ⋅3,015,0⋅2,0=−37,5 kNm .
(Z8/10.3)
2
Rysunek Z8/10.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α - α.
X
15,0 kN
37,5 kNm
,01
27,0 kN
27,0 kN
Z=Z =Z
Z=Z =Z
0
gl
0
gl
,0
37,5 kNm
1
15,0 kN
X
/m
,03
9,0 kN
15,0 kN
2,0
[m]
Rys. Z8/10.4. Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju α – α
Z8/10.3. Charakterystyki geometryczne przekroju blachownicowego Chcąc wyznaczyć naprężenia główne będą nam potrzebne: pole powierzchni przekroju oraz moment bezwładności przekroju blachownicowego względem głównej osi Y=Y0=Ygl. Ale najpierw musimy wyznaczyć położenie środka ciężkości przekroju teowego. W tym celu obieramy początkowy układ współ-
rzędnych przedstawiony na rysunku Z8/10.5. Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii oś ZP po-czątkowego układu będzie się z nią pokrywała. Na rysunku tym zaznaczone są także współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych. Współrzędne te wynoszą 3,0
z =
=1,5 cm ,
(Z8/10.4)
P1
2
24,0
z =3,0
=15,0 cm .
(Z8/10.5)
P2
2
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju teowego w początkowych układzie współrzędnych wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
4
12,0
6,0
6,0
3,0
YP
sc1
1,5
15,0
24,0
sc2
2,0
[cm]
Z=Z =Z =Z
P
0
gl
Rys. Z8/10.5. Środki ciężkości figur składowych 12,0
6,0
6,0
3,0
sc1
9,214
7,714 Y=Y =Y
0
gl
5,786
24,0
sc2
17,79
2,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/10.6. Położenie środka ciężkości przekroju teowego 12,0⋅3,0⋅1,524,0⋅2,0⋅15,0
z =
=9,214 cm .
(Z8/10.6)
C
12,0⋅3,024,0⋅2,0
Położenie środka ciężkości przekroju teowego przedstawia rysunek Z8/10.6. Pole powierzchni tego przekroju wynosi
A=12,0⋅3,0 24,0⋅2,0 =84,0 cm 2 .
(Z8/10.7)
Współrzędna z01 półki wynosi
z =1,5−9,214=−7,714 cm .
(Z8/10.8)
01
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
5
Współrzędna z02 środnika wynosi
z =15,0−9,214=5,786 cm .
(Z8/10.9)
02
Moment bezwładności względem osi głównej Y=Y0=Ygl wynosi 12,0
2,0
J
⋅3,03
⋅24,03
= J =
−7,714 2⋅12,0⋅3,0
5,7862⋅2,0⋅24,0
Y
Ygl
12
12
.
(Z8/10.10)
=6080 cm 4
Z8/10.4. Wyznaczenie naprężeń głównych w punkcie A Aby wyznaczyć naprężenia główne w punkcie A musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć naprę-
żenie normalne σX oraz naprężenie styczne τXZ w punkcie A. Rysunek Z8/10.5 przedstawia siły przekrojowe dla przekroju pręta znajdującego się w dolnej części ramy wspornikowej. Jeżeli przyjmiemy, że dolna część przekroju pręta to prawa część pręta pionowego, wtedy oś X będzie zwrócona w „prawo”. Na podstawie rysunku Z8/10.7 możemy odczytać, że siła normalna w przekroju pręta jest rozciągająca czyli wynosi N =15,0 kN .
(Z8/10.11)
X
15,0 kN
37,5 kNm
27,0 kN
Z=Z =Z
0
gl
1,0
/m
3,0
,0 kN9
15,0 kN
2,0
[m]
Rys. Z8/10.7. Siły przekrojowe w przekroju pręta Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
6
12,0
,0
6,0
6,0
3
4
6,0
9,21
A
Y=Y =Y
0
gl
3,214
4,02
9
17,7
2,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/10.8. Położenie punktu A w przekroju blachownicowym Siła poprzeczna posiada zwrot przeciwny do zwrotu osi Z=Z0=Zgl a jej wartość bezwzględna wynosi
∣ T Z∣=27,0 kN .
(Z8/10.12)
Moment zginający rozciąga górną część przekroju pręta więc wynosi on M =−37,5 kNm=−3750 kNcm .
(Z8/10.13)
Y
Rysunek Z8/10.8 przedstawia położenie punktu A w układzie osi głównych przekroju blachownicowego.
Naprężenie normalne σX zgodnie z (7.8) wynosi w punkcie A 15,0 −3750
kN
A=
⋅−3,214 =2,161
=21,61 MPa .
X
(Z8/10.14)
84,0
6080
cm 2
Rysunek Z8/10.9 przedstawia wymiary i położenie środków ciężkości figur składowych części przekroju znajdującej się powyżej punktu A. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY zgodnie z (7.20) wynosi
∣
27,0⋅12,0⋅3,0⋅7,7143,0⋅2,0⋅4,714
kN
A∣=
=0,6794
=6,794 MPa .
(Z8/10.15)
XZ
2,0⋅6080
cm 2
Ponieważ siła poprzeczna TZ posiada zwrot przeciwny do zwrotu osi Z=Z0=Zgl to i naprężenie styczne τXZ
ma taki sam zwrot czyli jest ujemne.
A=−6,794 MPa .
(Z8/10.16)
XZ
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
7
12,0
6,0
6,0
3,0
sc1
,0
4
sc
6
2
9,214
,71
A
7
,03
Y=Y =Y
4
4
0
gl
,71
,21
4
3
24,0
17,79
2,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z8/10.9. Część przekroju blachownicowego znajdująca się powyżej punktu A a
X
P
21,61 M
6,794 MPa
aP
aP
4 M
6,794 M
,796
Z
6,794 MPa
aP
21,61 M
Rys. Z8/10.10. Graficzna prezentacja stanu naprężenia w punkcie A Rysunek Z8/10.10 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi naprężeniami w punkcie A. Tensor naprężenia w punkcie A ma postać
A=[ 21,61 0 −6,794
0
0
0
] .
(Z8/10.17)
−6,794 0
0
Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z (8.9) wynosi 2⋅−6,794
tg 2⋅ =
=0,6288 .
(Z8/10.18)
gl
0,0−21,61
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
8
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
=16,08 o .
(Z8/10.19)
gl
Dodatni kąt nachylenia osi głównych oznacza, że obrót układu współrzędnych nastąpi od osi Z do osi X.
Naprężenia główne zgodnie z (8.10) i (8.11) wynoszą 0,021,61 0,0−21,61
A=
⋅cos 2⋅16,08 o−6,794 ⋅sin 2⋅16,08 o
Zgl
2
2
,
(Z8/10.20)
A=−1,958 MPa
Zgl
0,021,61
0,0−21,61
A =
−
⋅cos 2⋅16,08 o−−6,794⋅sin 2⋅ 16,08 o
Xgl
2
2
.
(Z8/10.21)
A =23,57 MPa
Xgl
Obliczenie naprężeń głównych możemy sprawdzić zgodnie z (8.12). Naprężenia główne wyznaczone z tego wzoru wynoszą
0,021,61
=
±
.
(Z8/10.22)
1
2−6,7942={ 23,57 MPa
/2
2
0,0−21,61
2
−1,958 MPa
Jak widać naprężenia główne zostały wyznaczone poprawnie. Rysunek Z8/10.11 przedstawia naprężenia główne zaznaczone na elementarnym kwadracie. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał
postać
A=
gl
[23,57 0 0
0
0
0
] .
(Z8/10.23)
0
0 −1,958
X
X gl
23,57 MPa
1,958 MPa
Z gl
1,958 MPa
16,08o
23,57 MPa
Z
Rys. Z8/10.11. Graficzna prezentacja naprężeń głównych w punkcie A Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
9
Z8/10.5. Wyznaczenie stanu odkształcenia w punkcie A Rama wspornikowa jest wykonana ze zwykłej stali budowlanej. Dla stali tej wartość współczynnika Poissona wynosi 0,3 natomiast wartość modułu Younga wynosi E=205 GPa=205000 MPa .
(Z8/10.24)
Wartość modułu Kirchhoffa wynosi więc
205
G=
=78,85 GPa=78850 MPa .
(Z8/10.25)
2⋅ 10,3
Dla tensora naprężenia (Z8/10.17) odkształcenia liniowe oraz postaciowe w układzie współrzędnych ZX
wynoszą
1
=
⋅[ 21,61−0,3⋅ 00]=105,4⋅10−6 ,
(Z8/10.26)
X
205000
1
=
⋅[0−0,3⋅ 21,610]=−31,62⋅10−6 ,
(Z8/10.27)
Y
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅21,610 ]=−31,62⋅10−6 ,
(Z8/10.28)
Z
205000
−6,794
=
=−43,08⋅10−6 .
(Z8/10.29)
XZ
2⋅78850
Pozostałe odkształcenia postaciowe są oczywiście równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał więc w punkcie A postać
A=[ 105,4
0
−43,08
0
−31,62
0
]⋅10−6 .
(Z8/10.30)
−43,08
0
−31,62
Dla tensora naprężenia w układzie osi głównych (Z8/10.23) odkształcenia główne wynoszą 1
=
⋅[ 23,57−0,3⋅0−1,958]=117,8⋅10−6 ,
(Z8/10.31)
Xgl
205000
1
=
⋅[ 0−0,3⋅ 23,57−1,958]=−31,63⋅10−6 ,
(Z8/10.32)
Ygl
205000
1
=
⋅[−1,958−0,3⋅ 23,570]=−44,04⋅10−6 .
(Z8/10.33)
Zgl
205000
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 10
10
Odkształcenia postaciowe w układzie osi głównych wynoszą oczywiście zero. Tensor odkształcenia w uk-
ładzie osi głównych ma postać
A=
gl
[117,8 0 0
0
−31,63
0
]⋅10−6 .
(Z8/10.34)
0
0
−44,04
Z8/10.6. Wyznaczenie naprężeń zredukowanych
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy H-M-H dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
H =21,6123⋅−6,7942=24,60 MPa .
(Z8/10.35)
red
Naprężenie zredukowane wyznaczone według hipotezy Treski dla stanu naprężenia w punkcie A ramy wynosi
T =21,6124⋅−6,7942=25,53 MPa .
(Z8/10.36)
red
Jak więc widać naprężenie zredukowane według hipotezy Treski jest większe niż naprężenie to wyznaczone według hipotezy H-M-H.
Dr inż. Janusz Dębiński