Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
1
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
Z10/4.1. Zadanie 4
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/4.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/4.1)
m 3
Ciężar własny betonu zwykłego wynosi kN
=25,0
.
B
(Z10/4.2)
m 3
1,8
H 0
2
4,0
3,7
A
A
[m]
Rys. Z10/4.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/4.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/4.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wynosi p= ⋅ h .
(Z10/4.3)
W
Na dnie zbiornika na głębokości 3,7 metra ciśnienie wody wynosi więc kN
p =10,0⋅3,7 =37,0
=37,0 kPa .
h
(Z10/4.4)
m 2
Ciężar własny betonowej ściany, równy iloczynowi objętości wycinka ściany przez ciężar własny betonu, (Z10/4.2) przyłożony jest w środku prostopadłościanu i ma wartość Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
2
1,0
[m]
Rys. Z10/4.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 1,8
0,9 0,9
3,7
N
kN
2 ⋅ 3
4,0
0 k
45
80,
8,
3,7
=6
Q=1
W
3,7
1 ⋅ 3
p =37,0 kPa
h
[m]
Rys. Z10/4.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika Q=25,0⋅1,80⋅4,0⋅1,0=180,0 kN .
(Z10/4.5)
Rysunek Z10/4.3 przedstawia obciążenie czynne, które działa na wycinek ściany betonowej zbiornika o dłu-gości 1 metra.
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/4.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅37,0⋅3,7⋅1,0=68,45 kN .
(Z10/4.6)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/4.4.
Rysunek Z10/4.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyznaczać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/4.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
3
1,8
0,9 0,9
3,7
N
kN
2 ⋅ 3
4,0
0 k
45
80,
8,
3,7
=6
Q=1
W
3,7
1 ⋅ 3
p =37,0 kPa
h
[m]
Rys. Z10/4.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika 1,8
0,9 0,9
3,7⋅
kN
2
3
4,0
7
0,0
W=68,45 kN
3,
18
Q=
3,7
1 ⋅ 3
[m]
Z=Zgl
MY
N
X
Rys. Z10/4.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Siła normalna wynosi
N =−180,0 kN .
(Z10/4.7)
Moment zginający MY wynosi 1
M =68,45⋅ ⋅3,7=84,42 kNm .
(Z10/4.8)
Y
3
Rysunek Z10/4.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
4
1,8
0,9 0,9
3,7
N
⋅
k
2
3
4,0
0,0
W=68,45 kN
3,7
18
Q=
3,7
1 ⋅ 3
Z=Zgl
84,42 kNm
180,0 kN
X
X
180,0 kN
84,42 kNm
Z=Zgl
[m]
Y=Ygl
Rys. Z10/4.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 180,0 kN
84,42 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
1,8
Rys. Z10/4.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A Rysunek Z10/4.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
84,42
z =
=−0,469 m .
(Z10/4.9)
N
−180,0
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/4.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
5
0,431
0,469
180,0 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
1,8
Rys. Z10/4.8. Siła normalna na mimośrodzie 1,8 =0,3 m .
(Z10/4.10)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/4.9) jest większa niż (Z10/4.10) więc siła normalna znajduje się poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego wynosi 1,8
c=
−0,469=0,431 m .
(Z10/4.11)
2
Długość wykresu naprężeń normalnych σX wynosi L=3⋅0,431 =1,293 m .
(Z10/4.12)
Naprężenie normalne σ0 zgodnie z (10.45) wynosi 2⋅−180,0
kN
=
=−278,4
=−278,4 kPa .
(Z10/4.13)
0
3⋅0,431⋅1,0
m 2
Rysunek Z10/4.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego σX w przekroju prostokątnym.
W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać będziemy ze wzoru (10.16). Pole powierzchni przekroju wynosi A=1,8⋅1,0=1,8 m 2 .
(Z10/4.14)
Główny moment bezwładności względem osi Y=Ygl wynosi 1,0⋅1,83
J = J =
=0,486 m 4 .
(Z10/4.15)
Y
Ygl
12
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
6
Z=Zgl
0
1,
aP
4 k
Y=Y gl
[m]
278,
1,293
1,8
aP
4 k
278,
1,293
1,8
Rys. Z10/4.9. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania Funkcja naprężenia normalnego ma postać
−180,0
84,42
=
⋅ z=−100,0173,7⋅ z
X
.
(Z10/4.16)
1,8
0,486
Oś obojętna ma postać
−100,0173,7⋅ z=0 ,
(Z10/4.17)
którą możemy ostatecznie zapisać jako z=0,5757 m .
(Z10/4.18)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/4.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą kN
A=−100,0173,7⋅−0,9 =−256,3
=−256,3 kPa
X
,
(Z10/4.19)
m 2
kN
B=−100,0173,7⋅0,9=56,33
=56,33 kPa
X
.
(Z10/4.20)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/4.11.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/4. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 4
7
Z=Zgl
A
B
1,0
Y=Y gl
[m]
0,5757
1,8
Rys. Z10/4.10. Oś obojętna
Z=Zgl
A
B
1,0
aP
aP
3 k
[m]
3 k
256,
Y=Y gl
0,5757
56,3
1,8
a
kP
aP
,33
k
56
6,325
Rys. Z10/4.11. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie Dr inż. Janusz Dębiński