WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

1

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

Z6/4.1 Zadanie 4

Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju wykonanego z kształtowników walcowanych na 

rysunku   Z6/4.1.   Charakterystyki   geometryczne   kształtowników   walcowanych   przyjąć   według   tablic   do 
projektowania konstrukcji metalowych.

1

220

200

90x60x8

2

3

Rys. Z6/4.1. Przekrój złożony z kształtowników walcowanych.

Z6/4.2 Środek ciężkości przekroju

W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

 tak 

aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia 
rysunek Z6/4.2. Przekrój został podzielony na: ceownik 220, dwuteownik 200 oraz kątownik nierównora-
mienny 90x60x8. Podział ten przedstawia także rysunek Z6/4.2. 

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (ceownika) wynoszą

y

P1

=

22,0

2

=

11,0 cm   z

P1

=

8,0−2,14 =5,86 cm

.

(Z6/4.1)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (dwuteownika) wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

2

11,0

9,0

4,0

9,0

8,

0

10

,0

22,0

11,0

8,

0

20

,0

10

,0

4,5

4,0

9,0

4,5

19,04

2,96

8,0

6,0

4,

52

8,

0

1,

48

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

2,1

4

5,8

6

Y

P

Z

P

18

,0

10

,0

9,4

8

Rys. Z6/4.2. Podział przekroju pręta na figury składowe

y

P2

=

9,0

2

=

4,5 cm   z

P2

=

8,0

20,0

2

=

18,0 cm

.

(Z6/4.2)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (kątownika nierównoramiennego) wynoszą

y

P3

=

22,0−2,96=19,04 cm   z

P3

=

8,01,48 =9,48 cm

.

(Z6/4.3)

Położenie środków ciężkości poszczególnych figur przedstawia rysunek Z6/4.2.

Pole powierzchni ceownika wynosi

A

1

=

37,4 cm

2

.

(Z6/4.4)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

3

Pole powierzchni dwuteownika wynosi

A

2

=

33,5 cm

2

.

(Z6/4.5)

Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego wynosi

A

3

=

11,4 cm

2

.

(Z6/4.6)

Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna y

C

 środka ciężkości przekroju wynosi

y

C

=

37,4⋅11,033,5⋅4,5 11,4⋅19,04

37,433,511,4

=

9,468 cm

.

(Z6/4.7)

Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z

C

 środka ciężkości przekroju wynosi

z

C

=

37,4⋅5,8633,5⋅18,011,4⋅9,48

37,433,511,4

=

11,30 cm

.

(Z6/4.8)

Położenie środka ciężkości całego przekroju przedstawia rysunek Z6/4.3. Jak widać środek ciężkości całego 
przekroju pręta znajduje się wewnątrz trójkąta, którego wierzchołkami są środki ciężkości figur składowych, 
blisko boku, który łączy środki ciężkości ceownika i dwuteownika, które to mają większe pole powierzchni 
niż kątownik nierównoramienny.

Z6/4.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych

W celu wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości w układzie osi środkowych wykorzystamy 

wzory transformacyjne

y

oi

=

y

Pi

−

y

C

,

(Z6/4.9)

z

oi

=

z

Pi

−

z

C

.

(Z6/4.10)

Współrzędne środka ciężkości ceownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

01

=

11,0−9,468 =1,532 cm

z

01

=

5,86−11,30 =−5,44 cm

.

(Z6/4.11)

Współrzędne środka ciężkości dwuteownika w układzie osi środkowych wynoszą

y

02

=

4,5−9,468=−4,968 cm

z

02

=

18,0−11,30 =6,7 cm

.

(Z6/4.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

4

11,0

4,5

19,04

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5,8

6

Y

P

Z

P

18

,0

9,

48

9,468

11

,3

0

sc

Y

0

Z

0

Rys. Z6/4.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta

Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie osi środkowych wynoszą

y

03

=

19,04−9,468 =9,572 cm

z

03

=

9,48−11,30 =−1,82 cm

.

(Z6/4.13)

Położenie   środków   ciężkości   poszczególnych   figur   składowych   w   układzie   osi   środkowych   oraz   osie 
środkowe poszczególnych figur przedstawia rysunek Z6/4.4.

Mając wyznaczone położenie środków ciężkości poszczególnych figur w układzie osi środkowych 

możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y

0

Z

0

. 

Osiowe   momenty  bezwładności   odczytane   z  tablic   do   projektowania   konstrukcji   metalowych   dla 

ceownika wynoszą

J

Y01

=

J

Y



T

=

197,0 cm

4

  J

Z01

=

J

X



T 

=

2690 cm

4

.

(Z6/4.14)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla dwuteow-
nika wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

5

1,532

4,968

9,572

[cm]

sc

1

1

2

3

sc

3

sc

2

5,

44

6,

7

1,8

2

Y

0

Z

0

Z

01

Y

01

Y

03

Z

03

Y

02

Z

02

sc

Rys. Z6/4.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych

J

Y02

=

J

X



T 

=

2140 cm

4

  J

Z02

=

J

Y



T 

=

117,0 cm

4

.

(Z6/4.15)

Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla kątownika 
nierównoramiennego wynoszą

J

Y03

=

J

Y



T

=

32,8 cm

4

  J

Z03

=

J

X



T 

=

92,3 cm

4

.

(Z6/4.16)

Wartości osiowych momentów bezwładności posłużą nam do wyznaczenia momentów bezwładności w uk-
ładzie osi środkowych przekroju pręta.

Zgodnie ze wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y

0

 wynosi

J

Y0

=

197



−

5,44



2

⋅

37,4



2140



6,7



2

⋅

33,5



32,8



−

1,82



2

⋅

11,4=5018 cm

4

.

(Z6/4.17)

Zgodnie ze wzorem (6.32) moment bezwładności względem osi Z

0

 wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

6

J

Z0

=

2690



1,532



2

⋅

37,4



117,0



−

4,968



2

⋅

33,5



92,3



9,572



2

⋅

11,4=4858 cm

4

.

(Z6/4.18)

Aby   wyznaczyć   dewiacyjny   moment   bezwładności   całego   przekroju   musimy   wyznaczyć   w   pierwszej 
kolejności dewiacyjny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego. Pierwszy niezmiennik dla 
kątownika nierównoramiennego w układzie jego osi środkowych Y

03

Z

03

 wynosi

I

1



3

=

92,332,8=125,1 cm

4

.

(Z6/4.19)

Minimalny moment bezwładności dla kątownika odczytany z tablic wynosi

J

2



3

=

19,0 cm

4

.

(Z6/4.20)

Maksymalny moment bezwładności dla kątownika wynosi

J

1



3

=

125,1−19,0=106,1 cm

4

.

(Z6/4.21)

Drugi niezmiennik dla układu osi głównych kątownika nierównoramiennego wynosi

I

2



3

=

106,1⋅19,0=2016 cm

8

.

(Z6/4.22)

Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi



J

Y03Z03



2

=

92,3⋅32,8−2016=1011 cm

8

.

(Z6/4.23)

Wartość  bezwzględna  dewiacyjnego  momentu bezwładności  dla  kątownika  nierównoramiennego wynosi 
więc

∣

J

Y03Z03

∣

=

31,80 cm

4

.

(Z6/4.24)

Rysunek Z6/4.5 przedstawia ułożenie kątownika w układzie jego osi środkowych. Jak widać na nim większa 
część   kątownika   nierównoramiennego   znajduje   się   w   ćwiartkach   dodatnich   więc   dewiacyjny   moment 
bezwładności wynosi ostatecznie

J

Y03Z03

=

31,80 cm

4

.

(Z6/4.25)

Dla pozostałych ceownika oraz dwuteownika dewiacyjne momenty bezwładności w układzie ich osi 

środkowych J

Y01Z01

 i J

Y02Z02

 wynoszą zero, ze względu na to, że przynajmniej jedna z tych jest osią symetrii 

tych figur. Zgodnie ze wzorem (6.33) dewiacyjny moment bezwładności przekroju w układzie Y

0

Z

0

 wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

7

3

sc

3

Y

03

Z

03

2,96

1,

48

Rys. Z6/4.5. Kątownik nierównoramienny w układzie swoich osi środkowych

J

Y0Z0

=

0,0



−

5,44



⋅



1,532



⋅

37,4



0,0



6,7



⋅



−

4,968



⋅

33,5



31,8



−

1,82



⋅



9,572



⋅

11,4=−1594 cm

4

.

(Z6/4.26)

Z6/4.4 Główne momenty bezwładności

Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty 

główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (6.43) 
będzie miał wartość 

tg2⋅

gl

=

−

2⋅



−

1594



5018−4858

=

19,93

.

(Z6/4.27)

Kąt nachylenia osi głównych wynosi



gl

=

43,56

o

.

(Z6/4.28)

Kąt  ten jest dodatni  więc kręci  od osi Y

gl  

do  Z

gl

.  Główne momenty bezwładności J

Ygl

  oraz J

Zgl

  zgodnie 

z (6.44) i (6.45) wynosi

J

Ygl

=

50184858

2



5018−4858

2

⋅

cos



2⋅43,56

o



−



−

1594



⋅

sin



2⋅43,56

o



J

Ygl

=

6534 cm

4

.

(Z6/4.29)

J

Zgl

=

50184858

2

−

5018−4858

2

⋅

cos



2⋅43,56

o







−

1594



⋅

sin



2⋅43,56

o



J

Zgl

=

3342 cm

4

.

(Z6/4.30)

Uporządkowane momenty bezwładności wynoszą

J

1

=

6534 cm

4

J

2

=

3342 cm

4

.

(Z6/4.31)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

8

Y

0

Z

0

Y

gl

=1

Z

gl

=2

43,56

o

sc

Rys. Z6/4.6. Położenie głównych osi bezwładności

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (6.48). Główne momenty bezwładności wynoszą

J

1/ 2

=

50184858

2

±





5018−4858

2



2





−

1594



2

=

{

6534 cm

4

3342 cm

4

.

(Z6/4.32)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

I

1

=

48585018=9876 cm

4

.

(Z6/4.33)

Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

1

=

65343342=9876 cm

4

.

(Z6/4.34)

Jak widać niezmienniki  (Z6/4.33)  i (Z6/4.34)  są  równe. Drugi niezmiennik w układzie  osi środkowych 
wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 4

9

I

2

=

4858⋅5018−



−

1594



2

=

21840000 cm

8

.

(Z6/4.35)

Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

2

=

6534⋅3342=21840000 cm

8

.

(Z6/4.36)

Jak widać niezmienniki (Z6/4.35) i (Z6/4.36) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia 
rysunek Z6/4.6.

Dr inż. Janusz Dębiński