WM

Z6/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

1

Z6/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

Z6/2.1. Zadanie 2

Rysunek Z6/2.1 przedstawia blachownicę o przekroju teowym. Składa się ona z dwóch blach.

Wszystkie wymiary teownika podane są w centymetrach. W przekroju tym wyznaczymy wartości głównych
momentów bezwładności.

4,0

Z

0

=Z

P

20,0

10,0

10,0

28

,0

2,0

[cm]

Rys. Z6/2.1. Przekrój teowy

Z6/2.2. Położenie środka ciężkości

Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi. W celu

wyznaczenia położenia środka ciężkości teownika obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

. Oś Z

P

jest osią symetrii przekroju teowego. Współrzędna y

C

środka ciężkości przekroju teowego wynosi więc zero.

Przekrój teowy dzielimy na dwa prostokąty: półkę o wymiarach 20,0 cm na 4,0 cm oraz środnik o wymia-
rach 28,0 cm na 2,0 cm. Rysunek Z6/2.2 przedstawia położenie środków ciężkości poszczególnych figur
składowych w układzie Y

P

Z

P

.

Środek ciężkości figury numer 1 posiada współrzędną z równą

z

P1

=

4,0

2

=

2,0 cm

.

(Z6/2.1)

Środek ciężkości figury numer 2 posiada współrzędną z równą

z

P2

=

4,0

28,0

2

=

18,0 cm

.

(Z6/2.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

2

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

14

,0

18

,0

Y

P

Z

0

=Z

P

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

2,0

sc

2

sc

1

Rys. Z6/2.2. Podział przekroju teowego na figury składowe

Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z

C

środka ciężkości wynosi

z

C

=

20,0⋅4,0⋅2,028,0⋅2,0⋅18,0

20,0⋅4,028,0⋅2,0

=

8,588 cm

.

(Z6/2.3)

10,0

10,0

20,0

4,0

14

,0

14

,0

8,5

88

Y

P

Z

0

=Z

P

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

Y

0

23

,4

1

sc

2

sc

sc

1

Rys. Z6/2.3. Położenie środka ciężkości przekroju teowego

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

3

Rysunek Z6/2.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju teowego w początkowym układzie

współrzędnych.

Z6/2.3. Główne momenty bezwładności

W celu wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości w układzie osi środkowych wykorzystamy

wzory transformacyjne

y

oi

=

y

Pi

−

y

C

,

(Z6/2.4)

z

oi

=

z

Pi

−

z

C

.

(Z6/2.5)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 w układzie osi środkowych wynoszą

z

01

=

2,0−8,588=−6,588 cm y

01

=

0,0 cm

.

(Z6/2.6)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 w układzie osi środkowych wynoszą

z

02

=

18,0−8,588=9,412 cm y

02

=

0,0 cm

.

(Z6/2.7)

Współrzędne (Z6/2.6) i (Z6/2.7) zostały pokazane na rysunku Z6/2.4. Na rysunku tym zaznaczono także
fakt, że osie środkowe Y

0

i Z

0

są także osiami głównymi, ponieważ oś Z

0

jest osią symetrii przekroju

teowego, a jak wiadomo dewiacyjny moment bezwładności w układzie, w którym jedna z osi jest osią
symetrii wynosi zero. Jest on także równy zero w układzie osi głównych.

10,0

10,0

20,0

4,0

14

,0

14

,0

6,

588

Y

0

=Y

gl

sc

1

[cm]

4,0

28

,0

2,0

9,

412

Z

0

=Z

gl

Z

01

Y

01

Z

02

Y

02

sc

sc

2

Rys. Z6/2.4. Współrzędne środków ciężkości figur składowych w układzie osi głównych

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 2

4

Zgodnie ze wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

wynosi

J

Y0

=

J

Ygl

=

20,0⋅4,0

3

12





−

6,588



2

⋅

20,0⋅4,0



2,0⋅28,0

3

12





9,412



2

⋅

28,0⋅2,0=12200 cm

4

.

(Z6/2.8)

Zgodnie ze wzorem (6.32) moment bezwładności względem osi Z

0

=Z

gl

wynosi

J

Z0

=

J

Zgl

=

4,0⋅20,0

3

12





0,0



2

⋅

20,0⋅4,0



28,0⋅2,0

3

12





0,0



2

⋅

28,0⋅2,0=2685 cm

4

.

(Z6/2.9)

Dr inż. Janusz Dębiński