Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

1

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

Z6/2.1 Zadanie 2

Dana jest belka przedstawiona na rysunku Z6/2.1. W miejscu ekstremalnego momentu zginającego

wyznaczyć wykres naprężeń normalnych

σ

X

. Przekrój belki będący dwuteownikiem szerokostopowym

HEB360 przedstawia rysunek Z6/2.2. Wymiary belki są przedstawione w metrach natomiast wymiary
przekroju belki podane są w centymetrach.

24,0 kN/m

16,0 kN

A

B

C

8,0

2,0

Rys. Z6/2.1. Belka.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

18

,0

18

,0

15,0

[cm]

30,0

15,0

3

6,

0

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

25,0

o

Płaszczyzna

obciążenia

Rys. Z6/2.2. Przekrój belki.

Z6/2.2 Wyznaczenie reakcji podporowych

Belka na rysunku Z6/2.1 jest belką prostą, która posiada trzy stopnie swobody. Podpora przegubowo-

nieprzesuwna A odbiera dwa stopnie a podpora przegubowo-przesuwna B odbiera jeden stopnień. Razem obie
podpory odbierają trzy stopnie swobody. Został więc tym samym spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Podpory A i B stanowią trzy pręty podporowe, których kierunki nie przecinają się w jednym
punkcie. Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka jest więc
układem geometrycznie niezmiennym oraz statycznie wyznaczalnym.

Rysunek Z6/2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Pozioma reakcja H

A

wynosi zero. Reakcję

V

A

wyznaczymy z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu B

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

2

24,0 kN/m

16,0 kN

A

B

C

8,0

2,0

H

A

V

A

V

B

Rys. Z6/2.3. Przyjęte zwroty reakcji podporowych.

 M

B

=0

V

A

⋅8,0 −24,0⋅8,0⋅

1
2

⋅8,016,0⋅2,0=0

V

A

=92,0 kN

.

(Z6/2.1)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V

B

wyznaczymy z warunku sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.

 M

A

=0

−V

B

⋅8,024,0⋅8,0⋅

1
2

⋅8,016,0⋅10,0 =0

V

B

=116,0kN

.

(Z6/2.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. W celu sprawdzenia obliczeń wykorzystamy warunek sumy
rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś pionową Y.



Y

=0

V

A

V

B

−24,0⋅8,0−16,0=92,0116,0−192,0−16,0=0

.

(Z6/2.3)

Wszystkie siły działające na belkę znajdują się w równowadze. Rysunek Z6/2.4 przedstawia belkę razem z
działającymi na nią siłami będącymi w równowadze.

24,0 kN/m

16,0 kN

A

B

C

8,0

2,0

92,0 kN

116,0 kN

Rys. Z6/2.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

3

Z6/2.3 Wykresy sił przekrojowych

Wykres siły poprzecznej będzie miał skok w punkcie B natomiast wykres momentu zginającego będzie

funkcją ciągłą. W przedziale AB siła poprzeczna będzie funkcją liniową. W punkcie A działa siła skupiona o
wartości 92,0 kN w górę. Siła poprzeczna będzie miała więc wartość

T

A

=92,0 kN

.

(Z6/2.4)

Ponieważ obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone działa w dół siła poprzeczna będzie liniowo maleć. W
punkcie B znajdującym się z lewej strony podpory siła poprzeczna będzie miała wartość

T

B

L 

=92,0−24,0⋅8,0=−100,0kN

.

(Z6/2.5)

Ponieważ siłą poprzeczna na obu końcach przedziału AB posiada wartości przeciwnych znaków w przedziale
tym musi ona mieć miejsce zerowe. Zgodnie z (1.62) znajduje się ono w odległości

x

0

=

92,0
24,0

=3,833 m

(Z6/2.6)

od punktu A. Wykres momentu zginającego w przedziale AB będzie parabolą. Pierwszym punktem
koniecznym do narysowania paraboli będzie wartość momentu zginającego w punkcie A. Rysunek Z6/2.5
przedstawia równowagę momentów, z której wyznaczymy wartość momentu zginającego w punkcie A.

A

92,0 kN

M

A

Rys. Z6/2.5. Równowaga momentów konieczna do wyznaczenia momentu zginającego w punkcie A.

Moment zginający w punkcie A wynosi

M

A

=0,0 kNm

.

(Z6/2.7)

Drugim punktem koniecznym do narysowania paraboli będzie wartość momentu zginającego w punkcie B.
Rysunek Z6/2.6 przedstawia równowagę momentów, z której wyznaczymy wartość momentu zginającego w
punkcie B.

Moment zginający w punkcie B wynosi

M

B

=92,0⋅8,0−24,0⋅8,0⋅

1
2

⋅8,0=−32,0 kNm

.

(Z6/2.8)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

4

24,0 kN/m

A

8,0

92,0 kN

M

B

Rys. Z6/2.6. Równowaga momentów konieczna do wyznaczenia momentu zginającego w punkcie B.

Znak minus oznacza, że moment zginający w punkcie B rozciąga górną część przekroju pręta.

Trzecim punktem koniecznym do narysowania paraboli będzie wartość momentu zginającego w miejscu, w
którym siła poprzeczna posiada miejsce zerowe. Będzie to ekstremalna wartość momentu zginającego.
Rysunek Z6/2.7 przedstawia równowagę momentów, z której wyznaczymy ekstremalną wartość momentu
zginającego .

24,0 kN/m

A

92,0 kN

3,833

M

1

Rys. Z6/2.7. Równowaga momentów konieczna do wyznaczenia ekstremalnego momentu zginającego.

Ekstremalny moment zginający wynosi

M

1

=92,0⋅3,833−24,0⋅3,833⋅

1
2

⋅3,833=176,3 kNm

.

(Z6/2.9)

Znak plus oznacza, że ekstremalny moment zginający w przedziale AB rozciąga dolną część przekroju pręta.
Rysunek Z6/2.8 przedstawia wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB.

W przedziale BC siłą poprzeczna będzie miała wartość stałą natomiast moment zginający będzie liniowy. W
punkcie B działa siła skupiona o wartości 116,0 kN w górę więc siła poprzeczna w punkcie B z prawej strony
podpory wynosi

T

B

P 

=−100,0116,0=16,0 kN

.

(Z6/2.10)

W punkcie C siłą poprzeczna wynosi

T

C

=16,0 kN

.

(Z6/2.11)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

5

24,0 kN/m

16,0 kN

A

B

C

8,0

2,0

92,0 kN

116,0 kN

3,833

4,167

3,833

4,167

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

+

9

2,

0

-1

00

,0

0

,0

1

76

,3

32

,0

Rys. Z6/2.8. Wykresy sił przekrojowych w przedziale AB.

Aby wyznaczyć liniowy wykres momentu zginającego należy wyznaczyć jego wartość w dwóch punktach.
Pierwszym punktem będzie punkt C. Rysunek Z6/2.9 przedstawia równowagę momentów, z której
wyznaczymy wartość momentu zginającego w punkcie C.

16,0 kN

C

M

C

Rys. Z6/2.9. Równowaga momentów konieczna do wyznaczenia momentu zginającego w punkcie C.

Moment zginający w punkcie C wynosi

M

C

=0,0 kNm

.

(Z6/2.12)

Drugim punktem będzie punkt B. Rysunek Z6/2.10 przedstawia równowagę momentów, z której wyznaczymy
wartość momentu zginającego w punkcie B.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

6

16,0 kN

C

2,0

M

B

Rys. Z6/2.10. Równowaga momentów konieczna do wyznaczenia momentu zginającego w punkcie B.

Moment zginający w punkcie B wynosi

M

B

=−16,0⋅2,0 =−32,0 kNm

.

(Z6/2.13)

Znak minus oznacza, że moment ten rozciąga górną część przekroju pręta. Jak widać wartość momentu
zginającego w punkcie B obliczona ze wzoru (Z6/2.13) równa się wartości obliczonej ze wzoru (Z6/2.8).
Rysunek Z6/2.11 przedstawia wykresy sił przekrojowych w przedziale BC. Są to także ostateczne wykresy
tych sił dla całej belki.

24,0 kN/m

16,0 kN

A

B

C

8,0

2,0

92,0 kN

116,0 kN

3,833

4,167

3,833

4,167

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

+

92

,0

-1

00

,0

+16,0

0,

0

17

6,

3

3

2,

0

0

,0

Rys. Z6/2.11. Ostateczne wykresy sił przekrojowych dla belki.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

7

Z6/2.4 Wykres naprężeń normalnych

σ

X

dla ekstremalnego momentu zginającego

Jak widać na rysunku Z6/2.11 ekstremalny moment zginający rozciąga dolną część przekroju belki i

znajduje się on w przedziale AB. Jego wartość bezwzględna wynosi

M

=176,3 kNm=17630 kNcm

.

(Z6/2.14)

Wektor momentu zginającego przedstawia rysunek Z6/2.12.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

25,0

o

17630 kNcm

Rys. Z6/2.12. Wektor momentu zginającego.

Wyznaczenie naprężeń normalnych najwygodniej będzie przeprowadzić w układzie osi głównych. Wartości
bezwzględne składowych momentu zginającego M w układzie osi głównych wynoszą

∣

M

Y

∣

=17630⋅cos



25,0

o



=15980 kNcm

(Z6/2.15)

oraz

∣

M

Z

∣

=17630⋅sin



25,0

o



=7451kNcm

.

(Z6/2.16)

Obie składowe przedstawia rysunek Z6/2.13. Jak widać obie składowe są dodatnie czyli

M

Y

=15980 kNcm

(Z6/2.17)

oraz

M

Z

=7451 kNcm

.

(Z6/2.18)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

8

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

25,0

o

17630 kNcm

25,0

o

1598

0 kN

cm

7451

kNcm

Rys. Z6/2.13. Składowe momentu zginającego w układzie osi głównych.

Główne momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla dwuteownika
szerokostopowego 360 wynoszą

I

Y

=I

Ygl

=I

X

T 

=43190 cm

4

(Z6/2.19)

oraz

I

Z

=I

Zgl

=I

Y

T 

=10140 cm

4

.

(Z6/2.20)

Zgodnie ze wzorem (6.37) funkcja momentu zginającego będzie miała postać



X

=−

7451

10140

⋅y

15980
43190

⋅z

,

(Z6/2.21)

którą można przedstawić w postaci



X

=−0,7348⋅y0,3700⋅z

.

(Z6/2.22)

Równanie osi obojętnej ma postać

−0,7348⋅y0,3700⋅z=0

,

(Z6/2.23)

którą można przedstawić w postaci

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

9

z

=1,986⋅y

.

(Z6/2.24)

Czyli kąt nachylenia osi obojętnej wynosi

=arctg



1,986



=63,27

o

.

(Z6/2.25)

Znak plus oznacza, że kąt odnosimy od osi Y do osi Z. Rysunek Z6/2.14 przedstawia położenie osi obojętnej.

15,0

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

15,0

18

,0

18

,0

63,27

o

[cm]

1

2

Rys. Z6/2.14. Oś obojętna w przekroju belki.

Jak widać na rysunku Z6/2.14 najbardziej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty 1 i 2 i to właśnie
w tych punktach musimy wyznaczyć wartości naprężenia normalnego

σ

X

.

Współrzędne punktu 1 wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

10

15,0

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

15,0

18

,0

18

,0

63,27

o

[cm]

1

2



X

17

6,

8

M

P

a

17

6,

8

M

P

a

0,

0

M

P

a

Rys, Z6/2.15. Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w przekroju belki.

y

1

=15,0 cm

z

1 

=−18,0 cm

.

(Z6/2.26)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z6/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

11

Zgodnie ze wzorem (Z6/2.22) naprężenie normalne

σ

X

w punkcie 1 wynosi



X

1

=−0,7348⋅



15,0



0,3700⋅



−18,0



=−17,68

kN

cm

2

=−176,8 MPa

.

(Z6/2.27)

Współrzędne punktu 2 wynoszą

y

2 

=−15,0 cm

z

2 

=18,0cm

.

(Z6/2.28)

Zgodnie ze wzorem (Z6/2.22) naprężenie normalne

σ

X

w punkcie 2 wynosi



X

2 

=−0,7348⋅



−15,0



0,3700⋅



18,0



=17,68

kN

cm

2

=176,8MPa

.

(Z6/2.29)

Rysunek Z6/2.15 przedstawia wykres naprężeń normalnych w przekroju belki.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM