MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

1

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 2

Z4/2.1. Zadanie 2

Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej

przedstawionej na rysunku Z4/2.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

Rys. Z4/2.1. Belka złożona

Analiza kinematyczna belki złożonej przedstawionej na rysunku Z4/2.1 znajduje się w zadaniu 1.

Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z4/2.2 i Z4/2.3 przedstawiają wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

Rys. Z4/2.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce złożonej

A

B

C

8,0 kNm

16,0 kN/m

4,0

2,0

3,0

1,0

C

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

[m]

52,0 kN

32,0 kN

32,0 kN

82,0 kN

14,0 kN

Rys. Z4/2.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/2.2. Wykres siły poprzecznej

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach AB i CD siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast w

pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Moment skupiony 8,0 kNm oraz przegub rzeczywisty
C nie będą wpływały na wartość siły poprzecznej. Pionowe reakcje na podporach A, B i D będą
powodowały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.

Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o

wartości 14,0 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

2

T

A

=

14,0 kN

.

(Z4/2.1)

W przedziale AB działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 16,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi

T

B

 L

=

14,0

−

16,0

⋅

4,0

=−

50,0 kN

.

(Z4/2.2)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu A wynosi

x

L

=

14,0
16,0

=

0,875 m

(Z4/2.3)

natomiast od punktu B, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości

x

P

=

50,0
16,0

=3,125 m

.

(Z4/2.4)

W punkcie B działa reakcja o wartości 82,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony

punktu B wynosi więc

T

B

 P

=−

50,0



82,0

=

32,0 kN

.

(Z4/2.5)

W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz

z lewej strony punktu C wartość stałą równą

T

BC

=

T

C

 L

=

32,0 kN

.

(Z4/2.6)

Przegub rzeczywisty C nie będzie wpływał na wartość siły poprzecznej więc z prawej strony punktu C siła
poprzeczna wynosi

T

C



P



=32,0 kN

.

(Z4/2.7)

W przedziale CD działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 24,0 kN/m w dół więc

siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie D tego przedziału wynosi

T

D



L



=32,0−24,0⋅3,0=−40,0 kN

.

(Z4/2.8)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału CD ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu C wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

3

x

L

=

32,0

24,0

=1,333 m

(Z4/2.9)

natomiast od punktu D, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości

x

P

=

40,0
24,0

=1,667 m

.

(Z4/2.10)

W punkcie D działa reakcja o wartości 52,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony

punktu D wynosi więc

T

D



P



=−40,052,0=12,0 kN

.

(Z4/2.11)

W przedziale DE nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale

wartość stałą równą

T

DE

=12,0 kN

.

(Z4/2.12)

Rysunek Z4/2.4 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce złożonej

wyznaczonego metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

T(x) [kN]

14

,0

50

,0

32,0

40

,0

12,0

0,875

3,125

1,333

1,667

Rys. Z4/2.4. Wykres siły poprzecznej w belce złożonej

Z4/2.3. Wykres momentu zginającego

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach AB i CD moment zginający będzie funkcją kwadratową

natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Moment skupiony 8,0 kNm spowoduje skok
momentu zginającego w punkcie A. Poza tym wykres momentu będzie w całej belce ciągły. Moment
zginający w przegubie rzeczywistym C będzie miał wartość zero. W dalszej części, przy obliczaniu wartości
momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem
zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

4

A

8,0 kNm

16,0 kN/m

4,0

[m]

14,0 kN

A

8,0 kNm

14,0 kN

M

A

M

B

(L)

a)

b)

Rys. Z4/2.5. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB

Rysunek Z4/2.5 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten

ma wartość

M

A

=

8,0 kNm

.

(Z4/2.13)

Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

Rysunek Z4/2.5 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie z tym

rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



L



=14,0⋅4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅4,0=−64,0kNm

.

(Z4/2.14)

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

A

8,0 kNm

16,0 kN/m

0,875

[m]

14,0 kN

B

C

16,0 kN/m

2,0

32,0 kN

82,0 kN

3,125

M

1

M

1

a)

b)

Rys. Z4/2.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

Rysunek Z4/2.6 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale AB. Zgodnie z rysunkiem

Z4/2.6 a) wynosi on

M

1

=14,0⋅0,8758,0−16,0⋅0,875⋅

1
2

⋅0,875=14,13 kNm

(Z4/2.15)

Zgodnie z rysunkiem Z4/2.6 b) wynosi on

M

1

=82,0⋅3,125−32,0⋅



2,0

3,125



−16,0⋅3,125⋅

1
2

⋅3,125=14,13 kNm

.

(Z4/2.16)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

5

Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale AB obliczone dla lewej i prawej części belki AC są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

C

2,0

[m]

32,0 kN

M

B

(P)

C

32,0 kN

M

C

(L)

a)

b)

Rys. Z4/2.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC

Rysunek Z4/2.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



P



=−32,0⋅2,0=−64,0 kNm

.

(Z4/2.17)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/2.14). Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.

Rysunek Z4/2.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie C z lewej strony tego punktu. Zgodnie z

tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

C



L



=0,0 kNm

.

(Z4/2.18)

3,0

C

24,0 kN/m

[m]

32,0 kN

M

D

(L)

C

32,0 kN

M

C

(P)

a)

b)

Rys. Z4/2.8. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD

Rysunek Z4/2.8 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

C



P



=0,0 kNm

.

(Z4/2.19)

Rysunek Z4/2.8 b) przedstawia moment zginający w punkcie D z lewej strony podpory. Zgodnie z tym

rysunkiem moment ten ma wartość

M

D



L



=32,0⋅3,0−24,0⋅3,0⋅

1
2

⋅3,0=−12,0 kNm

.

(Z4/2.20)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

6

Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.

1,333

C

24,0 kN/m

[m]

32,0 kN

1,0

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

[m]

52,0 kN

1,667

M

2

M

2

a)

b)

Rys. Z4/2.9. Ekstremalny moment zginający w przedziale CD

Rysunek Z4/2.9 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale CD. Zgodnie z rysunkiem

Z4/2.9 a) wynosi on

M

1

=32,0⋅1,333−24,0⋅1,333⋅

1
2

⋅1,333=21,33 kNm

(Z4/2.21)

Zgodnie z rysunkiem Z4/2.9 b) wynosi on

M

1

=52,0⋅1,667−12,0⋅



1,0

1,667



−24,0⋅1,667⋅

1

2

⋅1,667=21,33 kNm

.

(Z4/2.22)

Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale CD obliczone dla lewej i prawej części belki CE są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.

E

2,0

[m]

12,0 kN

M

D

(P)

a)

E

12,0 kN

M

E

b)

Rys. Z4/2.10. Momenty zginające na na obu końcach przedziału DE

Rysunek Z4/2.10 a) przedstawia moment zginający w punkcie D z prawej strony tego punktu. Zgodnie

z tym rysunkiem moment ten ma wartość

M

B



P



=−12,0⋅1,0=−12,0 kNm

.

(Z4/2.23)

Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/2.20) Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.

Rysunek Z4/2.10 b) przedstawia moment zginający w punkcie E. Zgodnie z tym rysunkiem moment

ten ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/2. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 2

7

M

E

=0,0 kNm

.

(Z4/2.24)

Rysunek Z4/2.11 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce

złożonej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

14

,0

50

,0

32,0

40

,0

12,0

8,

0

64

,0

0,

0

0,

0

12

,0

0,875

3,125

0,875

3,125

1,333

1,667

1,333

1,667

14

,1

3

21

,3

3

Rys. Z4/2.11. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów

charakterystycznych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni