MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

1

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 9

Z4/9.1. Zadanie 9

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku

Z4/9.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

Rys. Z4/9.1. Belka złożona

Z4/9.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/9.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ

tarcz sztywnych.

3

4

2

C

I

II

1

A

B

C

D

E

B

D

∞

Rys. Z4/9.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z4/9.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć

stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i
statycznie wyznaczalnym.

Układ tarcz sztywnych jest układem trójprzegubowym. Składa się on z: przegubu fikcyjnego B

powstałego z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubu rzeczywistego C oraz przegubu fikcyjnego D
znajdującego się pionowo w nieskończoności i powstałego z prętów numer 3 i 4. Jak widać wszystkie te
przeguby nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmien-
ności dla układu trójprzegubowego. Jest więc on geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalany.

Z4/9.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie belki proste. Rysunek

Z4/9.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej. Pozioma reakcja na
podporze przegubowo-nieprzesuwnej B dla jasności została narysowana poniżej jej rzeczywistego kierunku
działania, który pokrywa się z osią belki.

Zgodnie z rysunkiem Z4/9.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają

warunki.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

2

A

B

C

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

C

D

E

24,0 kN/m

V

B

H

B

V

C

(AC)

H

C

(AC)

V

C

(CE)

H

C

(CE)

V

D

V

E

X

Y

C

V

C

(CE)

H

C

(CE)

H

C

(AC)

V

C

(AC)

Rys. Z4/9.3. Założone zwroty reakcji podporowych

H

C



AC



=

H

C



CE



,

(Z4/9.1)

V

C



AC



=

V

C



CE



.

(Z4/9.2)

Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę CE na oś poziomą X



X



CE



=

H

C



CE



=

0

H

C



CE



=

0,0 kN

.

(Z4/9.3)

Uwzględniając (Z4/9.1) otrzymamy

H

C



AC



=

0,0 kN

.

(Z4/9.4)

Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej B wyznaczymy z równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X



X



AC



=

H

B

−

H

C



AC



=

0

H

B

=

0,0 kN

.

(Z4/9.5)

Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki AC, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie

takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej B otrzymamy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu C.



M

C



AC



=

V

B

⋅

3,0−8,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0−16,0⋅4,0=0

V

B

=

33,33 kN

.

(Z4/9.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

3

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na belkę AC względem punktu B.



M

B



AC



=−

V

C



AC



⋅

3,08,0⋅3,0⋅

1

2

⋅

3,0−16,0⋅1,0=0

V

C



AC



=

6,667 kN

.

(Z4/9.7)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę AC na oś pionową Y.



Y



AC



=

V

B



V

C



AC



−

8,0⋅3,0=33,336,667−40,0=−0,003 kN ≈0

.

(Z4/9.8)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Uwzględniając (Z4/9.2) otrzymamy

V

C



CE



=

6,667 kN

.

(Z4/9.9)

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu E.



M

E



CE



=

V

D

⋅

6,0−24,0⋅6,0⋅

1

2

⋅

6,0−V

C



CE



⋅

8,0=0

V

D

⋅

6,0−24,0⋅6,0⋅

1
2

⋅

6,0−6,667⋅8,0=0

V

D

=

80,89 kN

.

(Z4/9.10)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej E otrzymamy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu D.



M

D



CE



=−

V

E

⋅

6,024,0⋅6,0⋅

1
2

⋅

6,0−V

C



CE



⋅

2,0=0

−

V

E

⋅

6,024,0⋅6,0⋅

1
2

⋅

6,0−6,667⋅2,0=0

V

E

=

69,78 kN

.

(Z4/9.11)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę CE na oś pionową Y.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

4



Y



AC



=−

V

C



CE





V

D



V

E

−

24,0⋅6,0=−6,66780,8969,78−144,0=0,003 kN ≈0

.

(Z4/9.12)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Rysunek Z4/9.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki

złożonej.

A

B

C

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

C

D

E

24,0 kN/m

33,33 kN

6,667 kN

6,667 kN

80,89 kN

69,78 kN

Rys. Z4/9.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/9.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/9.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

16,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

x

Rys. Z4/9.5. Siły działające w przedziale AB

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/9.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

5

T



x



=−

16,0 kN

.

(Z4/9.13)

Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać

M



x



=−

16,0⋅x

.

(Z4/9.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,0



=−

16,0⋅1,0=−16,0 kNm

.

(Z4/9.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

16,0=T



x



.

(Z4/9.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/9.9.

Z4/9.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/9.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

X

x

C

8,0 kN/m

6,667 kN

Rys. Z4/9.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

8,0

kN

m

.

(Z4/9.17)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

6

Jak widać na rysunku Z4/9.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła

poprzeczna ma postać

T



x



=−

6,6678,0⋅x

.

(Z4/9.18)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=−

6,667 kN

T



3,0



=−

6,6678,0⋅3,0=17,33 kN

.

(Z4/9.19)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono

−

6,6678,0⋅x

0

=

0

x

0

=

0,8334m

(Z4/9.20)

od początku przedziału BC czyli od punktu C.

Moment zginający w przedziale BC ma postać

M



x



=

6,667⋅x−8,0⋅x⋅

x

2

=−

4,0⋅x

2



6,667⋅x

.

(Z4/9.21)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



0,8334



=−

4,0⋅0,8334

2



6,667⋅0,8334=2,778 kNm

M



3,0



=−

4,0⋅3,0

2



6,667⋅3,0=−16,0 kNm

.

(Z4/9.22)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=

8,0=q



x



.

(Z4/9.23)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=

6,667−8,0⋅x=−T



x



.

(Z4/9.24)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

7

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/9.9.

Z4/9.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/9.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

C

N(x)

T(x)

M(x)

X

x

6,667 kN

Rys. Z4/9.7. Siły działające w przedziale CD

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/9.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać

T



x



=−

6,667 kN

.

(Z4/9.25)

Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać

M



x



=−

6,667⋅x

.

(Z4/9.26)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

6,667⋅2,0=−13,33 kNm

.

(Z4/9.27)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

6,667=T



x



.

(Z4/9.28)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek

Z4/9.9.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

8

Z4/9.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE

Rysunek Z4/9.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

E

24,0 kN/m

69,78 kN

x

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/9.8. Siły działające w przedziale DE

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

24,0

kN

m

.

(Z4/9.29)

Jak widać na rysunku Z4/9.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła

poprzeczna ma postać

T



x



=−

69,7824,0⋅x

.

(Z4/9.30)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=−

69,78 kN

T



6,0



=−

69,7824,0⋅6,0=74,22 kN

.

(Z4/9.31)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału DE wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono

−

69,7824,0⋅x

0

=

0

x

0

=

2,908 m

(Z4/9.32)

od początku przedziału DE czyli od punktu E.

Moment zginający w przedziale DE ma postać

M



x



=

69,78⋅x−24,0⋅x⋅

x

2

=−

12,0⋅x

2



69,78⋅x

.

(Z4/9.33)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

9

A

B

C

D

E

1,0

3,0

2,0

6,0

[m]

16,0 kN

8,0 kN/m

24,0 kN/m

33,33 kN

80,89 kN

69,78 kN

0,8334

2,908

2,167

0,8334

2,167

3,092

2,908

3,092

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

16,0

17

,3

3

6,667

74

,2

2

69

,7

8

0,0

16

,0

2,7

78

0,

0

13

,32

0,

0

10

1,4

Rys. Z4/9.9. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,908



=−

12,0⋅2,908

2



69,78⋅2,908=101,4 kNm

M



6,0



=−

12,0⋅6,0

2



69,78⋅6,0=−13,32 kNm≈13,33 kNm

.

(Z4/9.34)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Pierwsze z nich ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/9. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 9

10

dT



x



dx

=

24,0=q



x



.

(Z4/9.35)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=

69,78−24,0⋅x=−T



x



.

(Z4/9.36)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale DE przedstawia rysunek

Z4/9.9.

Z4/9.8. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/9.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego

w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni