MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

1

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – 

ZADANIE 1

Z4/1.1. Zadanie 1

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku 

Z4/1.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

Rys. Z4/1.1. Belka złożona

Z4/1.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/1.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ 

tarcz sztywnych.

4

1

2

3

C

I

II

A

B

C

D

E

Rys. Z4/1.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z4/1.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć 

stopni   swobody.   Tarcze   te   są   podparte   czterema   prętami   podporowymi   1,   2,   3   i   4   oraz   przegubem 
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek 
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i 
statycznie wyznaczalnym. 

Tarcza numer  I jest  podparta trzema prętami  podporowymi  numer 1, 2 i 3, których  kierunki  nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona 
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.

Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym C oraz prętem podporowym numer 4. 

Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został  więc spełniony warunek 
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i 
statycznie wyznaczalana.

Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc 

stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny. 
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

2

Z4/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie belki proste. Rysunek 

Z4/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej. 

A

B

C

8,0 kNm

16,0 kN/m

4,0

2,0

3,0

1,0

C

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

H

A

V

A

V

B

V

C

(AC)

H

C

(AC)

V

C

(CE)

H

C

(CE)

V

D

[m]

X

Y

C

V

C

(CE)

H

C

(CE)

H

C

(AC)

V

C

(AC)

Rys. Z4/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Zgodnie  z rysunkiem Z4/1.3 wartości reakcji działających  w przegubie  rzeczywistym C spełniają 

warunki.

H

C



AC



=

H

C



CE



,

(Z4/1.1)

V

C



AC



=

V

C



CE



.

(Z4/1.2)

Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił 

działających na belkę CE na oś poziomą X



X



CE



=

H

C



CE



=

0

H

C



CE



=

0,0 kN

.

(Z4/1.3)

Uwzględniając (Z4/1.1) otrzymamy

H

C



AC



=

0,0 kN

.

(Z4/1.4)

Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów 

wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X



X



AC



=

H

A

−

H

C



AC



=

0

H

A

=

0,0kN

.

(Z4/1.5)

Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki CE, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie 

takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów 

wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu C.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

3



M

C



CE

=−

V

D

⋅

3,0



24,0

⋅

3,0

⋅

1

2

⋅

3,0



12,0

⋅

4,0

=

0

V

D

=

52,0kN

.

(Z4/1.6)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił 

działających na belkę CE względem punktu D.



M

D



CE



=

V

C



CE



⋅

3,0−24,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,012,0⋅1,0=0

V

C



CE



=

32,0 kN

.

(Z4/1.7)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił 

działających na belkę CE na oś pionową Y.



Y



CE



=

V

C



CE





V

D

−

24,0⋅3,0−12,0=32,052,0−84,0=0

.

(Z4/1.8)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE zostały obliczone poprawnie i znajdują 
się w równowadze.

Uwzględniając (Z4/1.2) otrzymamy

V

C



AC



=

32,0 kN

.

(Z4/1.9)

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej B otrzymamy z równania sumy momentów 

wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu A.



M

A



AC



=−

V

B

⋅

4,08,016,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0V

C



AC



⋅

6,0=0

−

V

B

⋅

4,08,016,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,032,0⋅6,0=0

V

B

=

82,0 kN

.

(Z4/1.10)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A otrzymamy z równania sumy momentów 

wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu B.



M

B



AC



=

V

A

⋅

4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1

2

⋅

4,0V

C



AC



⋅

2,0=0

V

A

⋅

4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,032,0⋅2,0=0

V

A

=

14,0 kN

.

(Z4/1.11)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

4

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił 

działających na belkę AC na oś pionową Y.



Y



AC



=

V

A



V

B

−

V

C



AC



−

16,0⋅4,0=14,082,0−32,0−64,0=0

.

(Z4/1.12)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują 
się w równowadze.

Rysunek Z4/1.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki 

złożonej.

A

B

C

8,0 kNm

16,0 kN/m

4,0

2,0

3,0

1,0

C

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

[m]

52,0 kN

32,0 kN

32,0 kN

82,0 kN

14,0 kN

Rys. Z4/1.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/1.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/1.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

A

8,0 kNm

16,0 kN/m

x

14,0 kN

X

Rys. Z4/1.5. Siły działające w przedziale AB

Funkcja   obciążenia   ciągłego   równomiernie   rozłożonego   prostopadłego   do   osi   belki   będzie   miała 

postać

q



x



=

16,0

kN

m

.

(Z4/1.13)

Jak widać na rysunku Z4/1.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z 

równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

5



T

=

T



x

−

14,0



16,0

⋅

x

=

0

T



x

=

14,0

−

16,0

⋅

x

.

(Z4/1.14)

Analizując wzór (Z4/1.14) widać, że siłę, która ma zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły poprzecznej 
zapisaliśmy z minusem natomiast siłę, która ma zwrot przeciwny zapisaliśmy z plusem. W dalszej części 
będziemy już korzystali z tej zasady. Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować 
należy wyznaczyć jej wartość na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

14,0 kN

T



4,0



=

14,0

−

16,0

⋅

4,0

=−

50,0 kN

.

(Z4/1.15)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce 
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono 

14,0−16,0⋅x

0

=

0

x

0

=

0,875 m

(Z4/1.16)

od początku przedziału AB czyli od punktu A.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą 

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający. 



M =−M



x





8,014,0⋅x−16,0⋅x⋅

x

2

=

0

M



x



=−

8,0⋅x

2



14,0⋅x8,0

.

(Z4/1.17)

Analizując wzór (Z4/1.17) widać, że moment od siły, która kręci zgodnie ze zwrotem dodatniego momentu 
zginającego zapisaliśmy z minusem natomiast moment od siły, która kręci przeciwnie z plusem. W dalszej 
części będziemy już korzystali z tej zasady. Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją 
jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

8,0 kNm

M



0,875



=−

8,0⋅0,875

2



14,0⋅0,8758,0=14,13 kNm

M



4,0



=−

8,0⋅4,0

2



14,0⋅4,08,0=−64,0 kNm

.

(Z4/1.18)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   prawo,   zastosujemy  więc   różniczkowe   równania 

równowagi (4.20) i (4.21). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=−

16,0

=−

q



x



.

(Z4/1.19)

Drugie z nich ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

6

dM



x



dx

=

14,0−16,0⋅x=T



x



.

(Z4/1.20)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale  AB   przedstawia   rysunek 

Z4/1.9.

Z4/1.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/1.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

C

x

32,0 kN

X

Rys. Z4/1.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak widać na rysunku Z4/1.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna 
ma postać

T



x



=

32,0 kN

.

(Z4/1.21)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=−

32,0⋅x

.

(Z4/1.22)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

32,0⋅2,0=−64,0 kNm

.

(Z4/1.23)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   lewo,   zastosujemy   więc   różniczkowe   równania 

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

32,0=−T



x



.

(Z4/1.24)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

7

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   BC   przedstawia   rysunek 

Z4/1.9.

Z4/1.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/1.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

x

C

24,0 kN/m

32,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/1.7. Siły działające w przedziale CD

Funkcja   obciążenia   ciągłego   równomiernie   rozłożonego   prostopadłego   do   osi   belki   będzie   miała 

postać

q



x



=

24,0

kN

m

.

(Z4/1.25)

Jak   widać   na   rysunku   Z4/1.7   funkcja   siły   normalnej   w   tym   przedziale   jest   równa   zero.   Siła 

poprzeczna ma postać

T



x



=

32,0−24,0⋅x

.

(Z4/1.26)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu 
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

32,0 kN

T



4,0



=

32,0−24,0⋅3,0=−40,0 kN

.

(Z4/1.27)

Siła   poprzeczna   ma  na   obu   końcach   przedziału   CD   wartości   różnych   znaków.   Będzie   ona   miała   więc 
miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono 

32,0−24,0⋅x

0

=

0

x

0

=

1,333 m

(Z4/1.28)

od początku przedziału CD czyli od punktu C.

Moment zginający w przedziale CD ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

8

M



x



=

32,0⋅x−24,0⋅x⋅

x
2

=−

12,0⋅x

2



32,0⋅x

.

(Z4/1.29)

Funkcja   momentu   zginającego   jest   funkcją   kwadratową   i   aby   ją   jednoznacznie   narysować   musimy 
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0kNm

M



1,333



=−

12,0⋅1,333

2



32,0⋅1,333=21,33 kNm

M



3,0



=−

12,0⋅3,0

2



32,0⋅3,0=−12,0 kNm

.

(Z4/1.30)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   prawo,   zastosujemy  więc   różniczkowe   równania 

równowagi (4.20) i (4.21). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=−

24,0=−q



x



.

(Z4/1.31)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=

32,0−24,0⋅x=T



x



.

(Z4/1.32)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   CD   przedstawia   rysunek 

Z4/1.9.

Z4/1.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE

Rysunek Z4/1.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

E

x

12,0 kN

X

Rys. Z4/1.8. Siły działające w przedziale DE

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak widać na rysunku Z4/1.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna 
ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

9

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

14

,0

50

,0

32,0

40

,0

12,0

8,

0

64

,0

0,

0

0,

0

12

,0

0,875

3,125

0,875

3,125

1,333

1,667

1,333

1,667

14

,1

3

21

,3

3

Rys. Z4/1.9. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej

T



x



=

12,0 kN

.

(Z4/1.33)

Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać

M



x



=−

12,0⋅x

.

(Z4/1.34)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,0



=−

12,0⋅2,0=−12,0 kNm

.

(Z4/1.35)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   lewo,   zastosujemy   więc   różniczkowe   równania 

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

12,0=−T



x



.

(Z4/1.36)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   DE   przedstawia   rysunek 

Z4/1.9.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1

10

Z4/1.8. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/1.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego 

w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni