MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
1
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 1
Z4/1.1. Zadanie 1
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku
Z4/1.1. Wymiary belki podane są w metrach.
A
B
C
D
E
8,0 kNm
16,0 kN/m
24,0 kN/m
12,0 kN
4,0
2,0
3,0
1,0
[m]
Rys. Z4/1.1. Belka złożona
Z4/1.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/1.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ
tarcz sztywnych.
4
1
2
3
C
I
II
A
B
C
D
E
Rys. Z4/1.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z4/1.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć
stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i
statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.
Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym C oraz prętem podporowym numer 4.
Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i
statycznie wyznaczalana.
Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc
stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
2
Z4/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie belki proste. Rysunek
Z4/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.
A
B
C
8,0 kNm
16,0 kN/m
4,0
2,0
3,0
1,0
C
D
E
24,0 kN/m
12,0 kN
H
A
V
A
V
B
V
C
(AC)
H
C
(AC)
V
C
(CE)
H
C
(CE)
V
D
[m]
X
Y
C
V
C
(CE)
H
C
(CE)
H
C
(AC)
V
C
(AC)
Rys. Z4/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Zgodnie z rysunkiem Z4/1.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają
warunki.
H
C
AC
=
H
C
CE
,
(Z4/1.1)
V
C
AC
=
V
C
CE
.
(Z4/1.2)
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś poziomą X
X
CE
=
H
C
CE
=
0
H
C
CE
=
0,0 kN
.
(Z4/1.3)
Uwzględniając (Z4/1.1) otrzymamy
H
C
AC
=
0,0 kN
.
(Z4/1.4)
Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X
X
AC
=
H
A
−
H
C
AC
=
0
H
A
=
0,0kN
.
(Z4/1.5)
Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki CE, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie
takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu C.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
3
M
C
CE
=−
V
D
⋅
3,0
24,0
⋅
3,0
⋅
1
2
⋅
3,0
12,0
⋅
4,0
=
0
V
D
=
52,0kN
.
(Z4/1.6)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na belkę CE względem punktu D.
M
D
CE
=
V
C
CE
⋅
3,0−24,0⋅3,0⋅
1
2
⋅
3,012,0⋅1,0=0
V
C
CE
=
32,0 kN
.
(Z4/1.7)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś pionową Y.
Y
CE
=
V
C
CE
V
D
−
24,0⋅3,0−12,0=32,052,0−84,0=0
.
(Z4/1.8)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Uwzględniając (Z4/1.2) otrzymamy
V
C
AC
=
32,0 kN
.
(Z4/1.9)
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej B otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu A.
M
A
AC
=−
V
B
⋅
4,08,016,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0V
C
AC
⋅
6,0=0
−
V
B
⋅
4,08,016,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,032,0⋅6,0=0
V
B
=
82,0 kN
.
(Z4/1.10)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu B.
M
B
AC
=
V
A
⋅
4,08,0−16,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0V
C
AC
⋅
2,0=0
V
A
⋅
4,08,0−16,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,032,0⋅2,0=0
V
A
=
14,0 kN
.
(Z4/1.11)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
4
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę AC na oś pionową Y.
Y
AC
=
V
A
V
B
−
V
C
AC
−
16,0⋅4,0=14,082,0−32,0−64,0=0
.
(Z4/1.12)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Rysunek Z4/1.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki
złożonej.
A
B
C
8,0 kNm
16,0 kN/m
4,0
2,0
3,0
1,0
C
D
E
24,0 kN/m
12,0 kN
[m]
52,0 kN
32,0 kN
32,0 kN
82,0 kN
14,0 kN
Rys. Z4/1.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej
Z4/1.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/1.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
N(x)
T(x)
M(x)
A
8,0 kNm
16,0 kN/m
x
14,0 kN
X
Rys. Z4/1.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
16,0
kN
m
.
(Z4/1.13)
Jak widać na rysunku Z4/1.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z
równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
5
T
=
T
x
−
14,0
16,0
⋅
x
=
0
T
x
=
14,0
−
16,0
⋅
x
.
(Z4/1.14)
Analizując wzór (Z4/1.14) widać, że siłę, która ma zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły poprzecznej
zapisaliśmy z minusem natomiast siłę, która ma zwrot przeciwny zapisaliśmy z plusem. W dalszej części
będziemy już korzystali z tej zasady. Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować
należy wyznaczyć jej wartość na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=
14,0 kN
T
4,0
=
14,0
−
16,0
⋅
4,0
=−
50,0 kN
.
(Z4/1.15)
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
14,0−16,0⋅x
0
=
0
x
0
=
0,875 m
(Z4/1.16)
od początku przedziału AB czyli od punktu A.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
M =−M
x
8,014,0⋅x−16,0⋅x⋅
x
2
=
0
M
x
=−
8,0⋅x
2
14,0⋅x8,0
.
(Z4/1.17)
Analizując wzór (Z4/1.17) widać, że moment od siły, która kręci zgodnie ze zwrotem dodatniego momentu
zginającego zapisaliśmy z minusem natomiast moment od siły, która kręci przeciwnie z plusem. W dalszej
części będziemy już korzystali z tej zasady. Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją
jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
8,0 kNm
M
0,875
=−
8,0⋅0,875
2
14,0⋅0,8758,0=14,13 kNm
M
4,0
=−
8,0⋅4,0
2
14,0⋅4,08,0=−64,0 kNm
.
(Z4/1.18)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.20) i (4.21). Pierwsze z nich ma postać
dT
x
dx
=−
16,0
=−
q
x
.
(Z4/1.19)
Drugie z nich ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
6
dM
x
dx
=
14,0−16,0⋅x=T
x
.
(Z4/1.20)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z4/1.9.
Z4/1.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/1.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
N(x)
T(x)
M(x)
C
x
32,0 kN
X
Rys. Z4/1.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/1.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać
T
x
=
32,0 kN
.
(Z4/1.21)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M
x
=−
32,0⋅x
.
(Z4/1.22)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
2,0
=−
32,0⋅2,0=−64,0 kNm
.
(Z4/1.23)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
32,0=−T
x
.
(Z4/1.24)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
7
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z4/1.9.
Z4/1.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z4/1.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
x
C
24,0 kN/m
32,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/1.7. Siły działające w przedziale CD
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
24,0
kN
m
.
(Z4/1.25)
Jak widać na rysunku Z4/1.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła
poprzeczna ma postać
T
x
=
32,0−24,0⋅x
.
(Z4/1.26)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=
32,0 kN
T
4,0
=
32,0−24,0⋅3,0=−40,0 kN
.
(Z4/1.27)
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału CD wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc
miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
32,0−24,0⋅x
0
=
0
x
0
=
1,333 m
(Z4/1.28)
od początku przedziału CD czyli od punktu C.
Moment zginający w przedziale CD ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
8
M
x
=
32,0⋅x−24,0⋅x⋅
x
2
=−
12,0⋅x
2
32,0⋅x
.
(Z4/1.29)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0kNm
M
1,333
=−
12,0⋅1,333
2
32,0⋅1,333=21,33 kNm
M
3,0
=−
12,0⋅3,0
2
32,0⋅3,0=−12,0 kNm
.
(Z4/1.30)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.20) i (4.21). Pierwsze z nich ma postać
dT
x
dx
=−
24,0=−q
x
.
(Z4/1.31)
Drugie z nich ma postać
dM
x
dx
=
32,0−24,0⋅x=T
x
.
(Z4/1.32)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek
Z4/1.9.
Z4/1.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE
Rysunek Z4/1.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
N(x)
T(x)
M(x)
E
x
12,0 kN
X
Rys. Z4/1.8. Siły działające w przedziale DE
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/1.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
9
A
B
C
D
E
8,0 kNm
16,0 kN/m
24,0 kN/m
12,0 kN
4,0
2,0
3,0
1,0
[m]
14,0 kN
82,0 kN
52,0 kN
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
14
,0
50
,0
32,0
40
,0
12,0
8,
0
64
,0
0,
0
0,
0
12
,0
0,875
3,125
0,875
3,125
1,333
1,667
1,333
1,667
14
,1
3
21
,3
3
Rys. Z4/1.9. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej
T
x
=
12,0 kN
.
(Z4/1.33)
Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać
M
x
=−
12,0⋅x
.
(Z4/1.34)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
1,0
=−
12,0⋅2,0=−12,0 kNm
.
(Z4/1.35)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
12,0=−T
x
.
(Z4/1.36)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale DE przedstawia rysunek
Z4/1.9.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/1. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
10
Z4/1.8. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z4/1.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni