MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
1
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 11
Z4/11.1. Zadanie 11
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku
Z4/11.1. Wymiary belki podane są w metrach.
A
B
C
2,0
2,0
[m]
20,0 kNm
8,0 kN/m
Rys. Z4/11.1. Belka złożona
Z4/11.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/11.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ
tarcz sztywnych.
4
1
2
3
B
I
II
A
B
C
Rys. Z4/11.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z4/11.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć
stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym B. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i
statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.
Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 4.
Przegub rzeczywisty B nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i
statycznie wyznaczalana.
Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc
stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
2
Z4/11.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie składowe belki proste.
Rysunek Z4/11.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.
A
B
2,0
2,0
[m]
8,0 kN/m
B
C
20,0 kNm
V
C
V
B
(BC)
H
B
(BC)
V
B
(AB)
H
B
(AB)
V
A
H
A
M
A
X
Y
B
V
B
(BC)
H
B
(BC)
H
B
(AB)
V
B
(AB)
Rys. Z4/11.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Zgodnie z rysunkiem Z4/11.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym B spełniają
warunki.
H
B
AB
=
H
B
BC
,
(Z4/11.1)
V
B
AB
=
V
B
BC
.
(Z4/11.2)
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę BC na oś poziomą X
X
BC
=
H
B
BC
=
0
H
B
BC
=
0,0 kN
.
(Z4/11.3)
Uwzględniając (Z4/11.1) otrzymamy
H
B
AB
=
0,0kN
.
(Z4/11.4)
Poziomą reakcję w utwierdzeniu A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających
na belkę AB na oś poziomą X
X
AB
=
H
A
−
H
B
AB
=
0
H
A
=
0,0 kN
.
(Z4/11.5)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
3
Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki BC, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie
takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej C otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę BC względem punktu B.
M
B
BC
=−
V
C
⋅
2,020,0=0
V
C
=
10,0 kN
.
(Z4/11.6)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję przegubie rzeczywistym B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na belkę BC względem punktu C.
M
C
BC
=
V
B
BC
⋅
2,020,0=0
V
B
BC
=−
10,0 kN
.
(Z4/11.7)
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę BC na oś pionową Y.
Y
BC
=
V
B
BC
V
C
=−
10,010,0=0
.
(Z4/11.8)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę BC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Mając wyznaczone reakcje w podporach belki BC możemy teraz wyznaczyć reakcje w belce AB.
Uwzględniając (Z4/11.2) otrzymamy pionową reakcję działającą w przegubie rzeczywistym działającą na
belkę AB o wartości
V
B
AB
=−
10,0 kN
.
(Z4/11.9)
Moment w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
belkę AB względem punktu A.
M
A
AB
=
M
A
8,0⋅2,0⋅
1
2
⋅
2,0V
B
AB
⋅
2,0=0
M
A
8,0⋅2,0⋅
1
2
⋅
2,0−10,0⋅2,0=0
M
A
=
4,0 kNm
.
(Z4/11.10)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na belkę AB względem punktu B.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
4
M
B
AB
=
V
A
⋅
2,0M
A
−
8,0⋅2,0⋅
1
2
⋅
2,0=0
V
A
⋅
2,04,0−8,0⋅2,0⋅
1
2
⋅
2,0=0
V
A
=
6,0 kN
.
(Z4/11.11)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę AB na oś pionową Y.
Y
AB
=
V
A
−
V
B
AB
−
8,0⋅2,0=6,0−
−
10,0
−
16,0=0
.
(Z4/11.12)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AB zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Rysunek Z4/11.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki
złożonej.
A
B
2,0
2,0
[m]
8,0 kN/m
B
C
20,0 kNm
10,0 kN
10,0 kN
10,0 kN
6,0 kN
4,0 kNm
Rys. Z4/11.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej
Z4/11.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/11.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
B
x
8,0 kN/m
10,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/11.5. Siły działające w przedziale AB
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
5
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu
zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
8,0
kN
m
.
(Z4/11.13)
Jak widać na rysunku Z4/11.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła
poprzeczna ma postać
T
x
=
8,0⋅x−10,0
.
(Z4/11.14)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=−
10,0 kN
T
2,0
=
8,0⋅2,0−10,0=6,0 kN
.
(Z4/11.15)
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w przedziale AB. Znajduje się ono
−
10,08,0⋅x
0
=
0
x
0
=
1,25m
(Z4/11.16)
od początku przedziału AB czyli od punktu B.
Moment zginający w przedziale AB ma postać
M
x
=
10,0⋅x−8,0⋅x⋅
x
2
=−
4,0⋅x
2
10,0⋅x
.
(Z4/11.17)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości w punktach końcowych przedziału AB wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
6
M
0,0
=
0,0 kNm
M
1,25
=−
4,0⋅1,25
2
10,0⋅1,25=6,25 kNm
M
2,0
=−
4,0⋅2,0
2
10,0⋅2,0=4,0 kNm
.
(Z4/11.18)
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.29) i (4.30). Pierwsze z nich ma postać
dT
x
dx
=
8,0=q
x
.
(Z4/11.19)
Drugie z nich ma postać
dM
x
dx
=−
8,0⋅x10,0=−T
x
.
(Z4/11.20)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z4/11.7.
Z4/11.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/11.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
x
B
10,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/11.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/11.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać
T
x
=−
10,0 kN
.
(Z4/11.21)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M
x
=−
10,0⋅x
.
(Z4/11.22)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11
7
M
0,0
=
0,0kNm
M
2,0
=−
10,0⋅2,0=−20,0 kNm
.
(Z4/11.23)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
10,0=T
x
.
(Z4/11.24)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z4/11.7.
Z4/11.6. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z4/11.7 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
w belce złożonej.
A
B
C
2,0
2,0
[m]
20,0 kNm
8,0 kN/m
10,0 kN
6,0 kN
4,0 kNm
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
6,0
10,0
4,0
0,0
20
,0
0,75
1,25
0,75
1,25
6,
25
Rys. Z4/11.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline