MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

1

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 11

Z4/11.1. Zadanie 11

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku

Z4/11.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

2,0

2,0

[m]

20,0 kNm

8,0 kN/m

Rys. Z4/11.1. Belka złożona

Z4/11.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/11.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ

tarcz sztywnych.

4

1

2

3

B

I

II

A

B

C

Rys. Z4/11.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z4/11.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć

stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym B. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i
statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.

Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 4.

Przegub rzeczywisty B nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i
statycznie wyznaczalana.

Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc

stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

2

Z4/11.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie składowe belki proste.

Rysunek Z4/11.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.

A

B

2,0

2,0

[m]

8,0 kN/m

B

C

20,0 kNm

V

C

V

B

(BC)

H

B

(BC)

V

B

(AB)

H

B

(AB)

V

A

H

A

M

A

X

Y

B

V

B

(BC)

H

B

(BC)

H

B

(AB)

V

B

(AB)

Rys. Z4/11.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Zgodnie z rysunkiem Z4/11.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym B spełniają

warunki.

H

B



AB



=

H

B



BC



,

(Z4/11.1)

V

B



AB



=

V

B



BC



.

(Z4/11.2)

Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym B wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę BC na oś poziomą X



X



BC



=

H

B



BC



=

0

H

B



BC



=

0,0 kN

.

(Z4/11.3)

Uwzględniając (Z4/11.1) otrzymamy

H

B



AB



=

0,0kN

.

(Z4/11.4)

Poziomą reakcję w utwierdzeniu A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających

na belkę AB na oś poziomą X



X



AB



=

H

A

−

H

B



AB



=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z4/11.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

3

Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki BC, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie

takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.

Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej C otrzymamy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających na belkę BC względem punktu B.



M

B



BC



=−

V

C

⋅

2,020,0=0

V

C

=

10,0 kN

.

(Z4/11.6)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję przegubie rzeczywistym B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na belkę BC względem punktu C.



M

C



BC



=

V

B



BC



⋅

2,020,0=0

V

B



BC



=−

10,0 kN

.

(Z4/11.7)

Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę BC na oś pionową Y.



Y



BC



=

V

B



BC





V

C

=−

10,010,0=0

.

(Z4/11.8)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę BC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Mając wyznaczone reakcje w podporach belki BC możemy teraz wyznaczyć reakcje w belce AB.

Uwzględniając (Z4/11.2) otrzymamy pionową reakcję działającą w przegubie rzeczywistym działającą na
belkę AB o wartości

V

B



AB



=−

10,0 kN

.

(Z4/11.9)

Moment w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na

belkę AB względem punktu A.



M

A



AB



=

M

A



8,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,0V

B



AB



⋅

2,0=0

M

A



8,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,0−10,0⋅2,0=0

M

A

=

4,0 kNm

.

(Z4/11.10)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na belkę AB względem punktu B.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

4



M

B



AB



=

V

A

⋅

2,0M

A

−

8,0⋅2,0⋅

1

2

⋅

2,0=0

V

A

⋅

2,04,0−8,0⋅2,0⋅

1
2

⋅

2,0=0

V

A

=

6,0 kN

.

(Z4/11.11)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę AB na oś pionową Y.



Y



AB



=

V

A

−

V

B



AB



−

8,0⋅2,0=6,0−



−

10,0



−

16,0=0

.

(Z4/11.12)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AB zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.

Rysunek Z4/11.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki

złożonej.

A

B

2,0

2,0

[m]

8,0 kN/m

B

C

20,0 kNm

10,0 kN

10,0 kN

10,0 kN

6,0 kN

4,0 kNm

Rys. Z4/11.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej

Z4/11.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/11.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

B

x

8,0 kN/m

10,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/11.5. Siły działające w przedziale AB

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

5

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

8,0

kN

m

.

(Z4/11.13)

Jak widać na rysunku Z4/11.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła

poprzeczna ma postać

T



x



=

8,0⋅x−10,0

.

(Z4/11.14)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=−

10,0 kN

T



2,0



=

8,0⋅2,0−10,0=6,0 kN

.

(Z4/11.15)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w przedziale AB. Znajduje się ono

−

10,08,0⋅x

0

=

0

x

0

=

1,25m

(Z4/11.16)

od początku przedziału AB czyli od punktu B.

Moment zginający w przedziale AB ma postać

M



x



=

10,0⋅x−8,0⋅x⋅

x
2

=−

4,0⋅x

2



10,0⋅x

.

(Z4/11.17)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości w punktach końcowych przedziału AB wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

6

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,25



=−

4,0⋅1,25

2



10,0⋅1,25=6,25 kNm

M



2,0



=−

4,0⋅2,0

2



10,0⋅2,0=4,0 kNm

.

(Z4/11.18)

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=

8,0=q



x



.

(Z4/11.19)

Drugie z nich ma postać

dM



x



dx

=−

8,0⋅x10,0=−T



x



.

(Z4/11.20)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/11.7.

Z4/11.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/11.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

x

B

10,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/11.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/11.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

T



x



=−

10,0 kN

.

(Z4/11.21)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=−

10,0⋅x

.

(Z4/11.22)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/11. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 11

7

M



0,0



=

0,0kNm

M



2,0



=−

10,0⋅2,0=−20,0 kNm

.

(Z4/11.23)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

10,0=T



x



.

(Z4/11.24)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/11.7.

Z4/11.6. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/11.7 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego

w belce złożonej.

A

B

C

2,0

2,0

[m]

20,0 kNm

8,0 kN/m

10,0 kN

6,0 kN

4,0 kNm

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

6,0

10,0

4,0

0,0

20

,0

0,75

1,25

0,75

1,25

6,

25

Rys. Z4/11.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni