Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
1
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 15
Z4/15.1. Zadanie 15
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z4/15.1. Wymiary belki podane są w metrach.
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
1,5
4,5
1,5
[m]
Rys. Z4/15.1. Belka prosta
Z4/15.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/15.2. przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
C
D
I
1
2
3
Rys. Z4/15.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Tarcza sztywna na rysunku Z4/15.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z4/15.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z4/15.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z4/15.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
2
32,0 kN/m
16,0 kN
HA A
C
D
Y
B
X
VA
VC
1,5
4,5
1,5
[m]
Rys. Z4/15.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu C.
1
M = V ⋅6,0−32,0⋅4,5⋅ ⋅4,516,0⋅1,5=0
C
A
2
.
(Z4/15.2)
V =50,0 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
M =− V ⋅6,032,0⋅4,5⋅1,5 ⋅4,516,0⋅7,5=0
A
C
2
.
(Z4/15.3)
V =110,0 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y = V V −32,0⋅4,5−16,0=50,0110,0−144,0−16,0=0
A
C
.
(Z4/15.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z4/15.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
50,0 kN
110,0 kN
1,5
4,5
1,5
[m]
Rys. Z4/15.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
3
Z4/15.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/15.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
A
T(x)
N(x)
X
50,0 kN
M(x)
x
Rys. Z4/15.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z dwóch następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/15.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=50,0 kN .
(Z4/15.5)
Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać
M x=50,0⋅ x .
(Z4/15.6)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z4/15.7)
M 2,0=50,0⋅1,5=75,0 kNm
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
4
dM x =50,0= T x .
(Z4/15.8)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z4/15.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/15.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
32,0 kN/m
A
N(x)
X
B
50,0 kN
T(x)
M(x)
1,5
x
[m]
Rys. Z4/15.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała postać
kN
q x=27, 0
.
(Z4/15.9)
m
Jak widać na rysunku Z4/15.6 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
T x=50,0−32,0⋅ x .
(Z4/15.10)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T 0,0 =50,0 kN
.
(Z4/15.11)
T 4,5=50,0−32,0⋅4,5=−94,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
50,0−32,0⋅ x =0
0
(Z4/15.12)
x =1,563 m
0
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
5
od początku przedziału BC czyli od punktu B.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
x
M x=50,0⋅ x1,5−32,0⋅ x⋅ =−16,0⋅ x 250,0⋅ x75,0 .
(Z4/15.13)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
M 1,563=−16,0⋅1,563250,0⋅1,56375,0=114,1 kNm .
(Z4/15.14)
M 4,5=−16,0⋅4,5250,0⋅4,575,0=−24,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać
dT x =−32,0=− q x ,
(Z4/15.15)
dx
dM x =50,0−32,0⋅ x= T x .
(Z4/15.16)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z4/15.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z4/15.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
M(x)
16,0 kN
T(x)
X
D
N(x)
x
Rys. Z4/15.7. Siły działające w przedziale CD
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/15.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
6
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
50,0 kN
110,0 kN
1,5
4,5
1,5
[m]
50,0
16,0
T(x) [kN]
,094
1,563
2,937
M(x) [kNm]
0,0
24,0
0,0
75,0
114,1
1,563
2,937
Rys. Z4/15.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej T x=16,0 kN .
(Z4/15.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M x=−16,0⋅ x .
(Z4/15.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
.
(Z4/15.19)
M 1,5 =−16,0⋅1,5=−24,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−16,0=− T x .
(Z4/15.20)
dx
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15
7
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z4/15.8.
Z4/15.7. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z4/15.8 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni