MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

1

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 20

Z4/20.1. Zadanie 20

Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej

przedstawionej na rysunku Z4/20.1. Wymiary ramy podane są w metrach.

30,0 kNm

20,0 kN

15,0 kN/m

40,0 kN

A

B

C

D

3,0

3,0

3,0

[m]

Rys. Z4/20.1. Rama płaska

Analiza kinematyczna ramy przedstawionej na rysunku Z4/20.1 znajduje się w zadaniu 19. Zgodnie z

tamtym zadaniem rysunek Z4/20.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.

15,0 kN/m

40,0 kN

A

B

C

3,0

3,0

3,0

[m]

30,0 kNm

20,0 kN

C

D

20,0 kN

20,0 kN

10,0 kN

10,0 kN

10,0 kN

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

Rys. Z4/20.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w ramie płaskiej

W dalszej części przy wyznaczaniu wartości siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

2

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Z4/20.2. Wykres siły normalnej

Zgodnie z wytycznymi przedstawionymi w rozdziale 4 we wszystkich przedziałach siła normalna

będzie stała.

A

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

N

AB

Rys. Z4/20.3. Siła normalna w przedziale AB

Rysunek Z4/20.3 przedstawia siłę normalną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

AB

=−

35,0 kN

.

(Z4/20.1)

Pręt ten jest więc ściskany.

15,0 kN/m

C

20,0 kN

10,0 kN

N

BC

Rys. Z4/20.4. Siła normalna w przedziale BC

Rysunek Z4/20.4 przedstawia siłę normalną w przedziale BC. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

BC

=

20,0 kN

.

(Z4/20.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

3

C

20,0 kN

10,0 kN

N

CD

Rys. Z4/20.5. Siła normalna w przedziale CD

Pręt ten jest więc rozciągany.

Rysunek Z4/20.5 przedstawia siłę normalną w przedziale CD. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

CD

=

20,0 kN

.

(Z4/20.3)

Pręt ten jest więc rozciągany.

Rysunek Z4/20.6 przedstawia ostateczny wykres siły normalnej w ramie płaskiej.

N [kN]

20,0

35

,0

Rys. Z4/20.6. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej

Z4/2.3. Wykres siły poprzecznej

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziale BC siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast w

pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Przegub rzeczywisty nie będzie miał wpływu na
wartość siły poprzecznej.

A

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

T

AB

Rys. Z4/20.7. Siła poprzeczna w przedziale AB

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

4

Rysunek Z4/20.7 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi

T

AB

=−

20,0 kN

.

(Z4/20.4)

15,0 kN/m

C

3,0

20,0 kN

10,0 kN

T

B

(P)

[m]

C

20,0 kN

10,0 kN

T

C

(L)

a)

b)

Rys. Z4/20.8. Siła poprzeczna w przedziale BC

Rysunek Z4/20.8 a) przedstawia siłę poprzeczną z prawej strony punktu B. Zgodnie z nim siła ta

wynosi.

T

B



P



=−

10,015,0⋅3,0=35,0 kN

.

(Z4/20.5)

Rysunek Z4/20.8 b) przedstawia siłę poprzeczną z lewej strony punktu C. Zgodnie z nim siła ta

wynosi.

T

C



L



=−

10,0 kN

.

(Z4/20.6)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału BC ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu B wynosi

x

L

=

35,0
15,0

=

2,333 m

(Z4/20.7)

natomiast od punktu C, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości

x

P

=

10,0
15,0

=

0,6667m

.

(Z4/20.8)

Przegub rzeczywisty C nie wpływa na wartość siły poprzecznej więc jej wartość z prawej strony

punktu C wynosi

T

C



P



=−

10,0 kN

.

(Z4/20.9)

Rysunek Z4/20.9 a) przedstawia siłę poprzeczną w przedziale CD . Zgodnie z tym rysunkiem siła ta

wynosi.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

5

C

20,0 kN

10,0 kN

T

CD

Rys. Z4/20.9. Siła poprzeczna w przedziale CD

T

CD

=−

10,0 kN

(Z4/20.10)

i jest równa sile wyznaczonej ze wzoru (Z4/20.9).

Rysunek Z4/20.10 przedstawia ostateczny wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej.

T [kN]

10,0

35

,0

20

,0

[m]

2,333

3,0

3,0

0,6667

Rys. Z4/20.10. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej

Z4/20.4. Wykres momentu zginającego

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziale BC moment zginający będzie funkcją kwadratową natomiast w

pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową.

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.11 a) moment zginający w punkcie A wynosi

M

A

=

22,5 kNm

.

(Z4/20.11)

Moment ten rozciąga prawą część pręta.

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.11 b) moment zginający z dolnej strony punktu B wynosi

M

B



D



=

22,5−20,0⋅3,0=−37,5 kNm

.

(Z4/20.12)

Moment ten rozciąga lewą część pręta.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

6

A

3,0

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

[m]

A

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

M

A

a)

b)

M

B

(D)

Rys. Z4/20.11. Momenty zginające w przedziale AB

15,0 kN/m

C

3,0

20,0 kN

10,0 kN

[m]

M

B

(P)

C

20,0 kN

10,0 kN

M

C

(L)

a)

b)

Rys. Z4/20.12. Momenty zginające w przedziale BC

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.12 a) moment zginający z prawej strony punktu B wynosi

M

B



P



=

10,0⋅3,0−15,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=−37,5 kNm

.

(Z4/20.13)

Moment ten rozciąga górną część pręta.

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.12 b) moment zginający z lewej strony punktu C wynosi

M

C



L



=

0,0 kNm

.

(Z4/20.14)

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.13 a) ekstremalny moment zginający w przedziale BC wynosi

M

1

=

22,5



35,0

⋅

2,333

−

20,0

⋅

3,0

−

15,0

⋅

2,333

⋅

1
2

⋅

2,333

=

3,333 kNm

.

(Z4/20.15)

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.12 b) ekstremalny moment zginający w przedziale BC wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

7

15,0 kN/m

40,0 kN

A

B

2,333

3,

0

[m]

20,0 kN

35,0 kN

22,5 kNm

C

[m]

20,0 kN

10,0 kN

0,6667

15,0 kN/m

M

1

M

1

a)

b)

Rys. Z4/20.13.Ekstremalny moment zginający w przedziale BC

M

1

=

10,0⋅0,6667−15,0⋅0,6667⋅

1
2

⋅

0,6667=3,333 kNm

.

(Z4/20.16)

Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale CD obliczone dla lewej i prawej części pręta AC są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część pręta.

3,0

C

20,0 kN

10,0 kN

[m]

M

D

C

20,0 kN

10,0 kN

M

C

(P)

a)

b)

Rys. Z4/20.14. Momenty zginające w przedziale CD

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.14 a) moment zginający z prawej strony punktu C wynosi

M

C



P



=

0,0 kNm

.

(Z4/20.17)

Zgodnie z rysunkiem Z4/20.14 b) moment zginający w punkcie D wynosi

M

B



P



=−

10,0⋅3,0=−30,0 kNm

.

(Z4/20.18)

Moment ten rozciąga górną część pręta.

Rysunek Z4/20.15 przedstawia ostateczny wykres momentu zginającego w ramie płaskiej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/20. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 20

8

M [kNm]

2,333

[m]

3,0

3,0

0,6667

22,5

37

,5

37,5

3,

33

3

0,0

30

,0

Rys. Z4/20.15. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej

Z4/20.5. Sprawdzenie wykresów sił przekrojowych

W celu sprawdzenia poprawności wykonania wykresów siły normalnej i poprzecznej oraz momentu

zginającego przedstawionych na rysunkach Z4/20.6, Z4/20.10 i Z4/20.15 wykonamy sprawdzenie
równowagi sił oraz momentów w węźle B ramy płaskiej.

Rysunek Z4/20.16 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle B. Jak widać na

tym rysunku spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y. Oznacza to, że siły te
znajdują się w równowadze.

Rysunek Z4/20.16 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle B.

Jak widać na tym rysunku spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu B. Oznacza to, że
momenty te znajdują się w równowadze.

20,0 kN

20,0 kN

35,0 kN

B

B

37,5 kNm

X

Y

a)

b)

35,0 kN

40,0 kN

37,5 kNm

40,0 kN

Rys. Z4/20.16. Równowaga węzła B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni