MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
1
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 17
Z4/17.1. Zadanie 17
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej przedstawionej na rysunku
Z4/17.1. Wymiary ramy podane są w metrach.
A
B
C
D
E
F
[m]
2,0
5,0
2,0
4,0
6,
0
12,0 kN/m
16
,0
kN/
m
10,0 kN
24,0 kNm
Z4/17.1. Rama płaska
Z4/17.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/17.2. przedstawia ramę płaską traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę
sztywną.
Tarcza sztywna na rysunku Z4/17.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami
podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Rama może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z4/17.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych w ramie płaskiej musimy najpierw przyjąć ich
dodatnie zwroty. Rysunek Z4/17.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach ramy.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na
ramę na oś poziomą X.
X = H
A
16,0⋅4,0=0
H
A
=−
64,0 kN
.
(Z4/17.1)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
2
2
1
3
A
B
D
E
F
Rys. Z4/17.2. Rama jako płaska tarcza sztywna
X
Y
A
B
C
D
E
F
[m]
2,0
5,0
2,0
4,0
6,0
12,0 kN/m
16
,0
k
N/m
10,0 kN
24,0 kNm
V
A
H
A
V
F
2,0
G
Rys. Z4/17.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na ramę względem punktu G, w którym przecinają się kierunki reakcji H
A
oraz V
F
.
M
G
=
V
A
⋅
7,0−24,0−12,0⋅5,0⋅
1
2
⋅
5,016,0⋅4,0⋅
2,0
1
2
⋅
4,0
10,0⋅2,0=0
V
A
=−
14,57 kN
.
(Z4/17.2)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
3
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
Pionową reakcję na podporze F otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na ramę względem punktu A.
M
A
=−
V
F
⋅
7,0−24,012,0⋅5,0⋅
2,0
1
2
⋅
5,0
16,0⋅4,0⋅
2,0
1
2
⋅
4,0
10,0⋅9,0=0
V
F
=
84,57 kN
.
(Z4/17.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na ramę na oś pionową Y.
Y =V
A
V
F
−
12,0⋅5,0−10,0=−14,5784,57−60,0−10,0=0
.
(Z4/17.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na ramę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.
Rysunek Z4/17.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej
ramy płaskiej.
A
B
C
D
E
F
[m]
2,0
5,0
2,0
4,
0
6,0
12,0 kN/m
16
,0
kN/
m
10,0 kN
24,0 kNm
14,57 kN
84,57 kN
64,0 kN
Rys. Z4/17.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach ramy płaskiej
Z4/17.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/17.5 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale AB. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. Jako dolną część pręta AB przyjmiemy prawą część
zaznaczoną na rysunku Z4/17.5 linią przerywaną.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
4
A
x
14,57 kN
64,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/17.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu
zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta AB będzie
zerowa. Siła normalna ma postać
N
x
=
14,57 kN
.
(Z4/17.5)
Siła poprzeczna ma postać
T
x
=
64,0 kN
.
(Z4/17.6)
Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
5
M
x
=
64,0⋅x
.
(Z4/17.7)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
6,0
=
64,0⋅6,0=384,0 kNm
.
(Z4/17.8)
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają prawą część przekroju pręta i będziemy je odkładać z
prawej strony.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać
dM
x
dx
=
64,0=T
x
.
(Z4/17.9)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale AB
przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.
Z4/17.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/17.6 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale BC. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
A
B
[m]
x
6,
0
24,0 kNm
14,57 kN
64,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/17.6. Siły działające w przedziale BC
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
6
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta BC będzie
zerowa. Siła normalna ma postać
N
x
=
64,0 kN
.
(Z4/17.10)
Siła poprzeczna ma postać
T
x
=−
14,57 kN
.
(Z4/17.11)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M
x
=−
14,57⋅x64,0⋅6,0−24,0=−14,57⋅x 360,0
.
(Z4/17.12)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
360,0 kNm
M
2,0
=−
14,57⋅2,0360,0=330,9 kNm
.
(Z4/17.13)
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
14,57=T
x
.
(Z4/17.14)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale BC
przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.
Z4/17.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z4/17.7 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale CD. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
12,0
kN
m
.
(Z4/17.15)
Siła normalna w przedziale CD ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
7
D
E
F
[m]
2,0
x
4,0
12,0 kN/m
16
,0
k
N/m
10,0 kN
84,57 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/17.7. Siły działające w przedziale CD
N
x
=
16,0⋅4,0=64,0 kN
.
(Z4/17.16)
Siła poprzeczna ma postać
T
x
=−
84,5710,012,0⋅x=12,0⋅x−74,57
.
(Z4/17.17)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=−
74,57 kN
T
5,0
=−
74,5712,0⋅5,0=−14,57 kN
.
(Z4/17.18)
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości jednakowych znaków. Nie będzie ona miała
więc miejsca zerowego w tym przedziale.
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M
x
=−
84,57⋅x−10,0⋅
x2,0
16,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0−12,0⋅x⋅
x
2
=−
6,0⋅x
2
74,57⋅x108,0
.
(Z4/17.19)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Ponieważ jednak funkcja ta nie ma w przedziale CD ekstremum
(siła poprzeczna nie ma miejsca zerowego) wystarczy, że wyznaczymy jej wartości tylko w dwóch punktach,
trzecim punktem będzie „brzuszek” paraboli skierowany w stronę obciążenia ciągłego równomiernie
rozłożonego q czyli w dół. Wartości momentu zginającego wynoszą
M
0,0
=
108,0 kNm
M
5,0
=−
6,0⋅5,0
2
74,57⋅5,0108,0=330,9 kNm
.
(Z4/17.19)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
8
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.28), (4.29) i (4.30). Równania drugie i trzecie mają postać
dT
x
dx
=
12,0=q
x
,
(Z4/17.20)
dM
x
dx
=
74,57−12,0⋅x=−T
x
.
(Z4/17.21)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale CD
przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.
Z4/17.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE
Rysunek Z4/17.8 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale DE. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
E
x
10,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/17.8. Siły działające w przedziale DE
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi pręta DE będzie
zerowa. Siła normalna ma postać
N
x
=
0,0 kN
.
(Z4/17.22)
Siła poprzeczna ma postać
T
x
=
10,0 kN
.
(Z4/17.23)
Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać
M
x
=−
10,0⋅x
.
(Z4/17.24)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
9
M
0,0
=
0,0 kNm
M
2,0
=−
10,0⋅2,0=−20,0 kNm
.
(Z4/17.25)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.28), (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie trzecie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
10,0=−T
x
.
(Z4/17.26)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale DE
przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.
Z4/17.8. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DF
Rysunek Z4/17.9 przedstawia siły działające na odciętą część ramy płaskiej w przedziale DF. Na
rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. Jako dolną część pręta DF przyjmiemy prawą część
zaznaczoną na rysunku Z4/17.9 linią przerywaną.
F
x
16
,0
k
N/
m
84,57 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. Z4/17.9. Siły działające w przedziale DE
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
q
x
=
16,0
kN
m
.
(Z4/17.27)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
10
Siła normalna w przedziale DF ma postać
N
x
=−
84,57,0 kN
.
(Z4/17.28)
Siła poprzeczna ma postać
T
x
=−
16,0⋅x
.
(Z4/17.29)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T
0,0
=
0,0 kN
T
4,0
=−
16,0⋅4,0=−64,0 kN
.
(Z4/17.30)
Jak widać siła poprzeczna ma miejsce zerowe w punkcie F.
Moment zginający w przedziale DF będzie miał postać
M
x
=−
16,0⋅x⋅
x
2
=−
8,0⋅x
2
.
(Z4/17.31)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Ekstremum funkcji momentu zginającego będzie się znajdowało
w punkcie F na początku przedziału. Wartość tego ekstremum oraz wartości na końcach przedziału DF
wynoszą
M
0,0
=
0,0 kNm
M
4,0
=−
8,0⋅4,0
2
=−
128,0 kNm
.
(Z4/17.32)
Ujemny moment zginający będziemy rysowali po lewej stronie pręta DF.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (4.19), (4.20) i (4.21). Równania drugie i trzecie mają postać
dT
x
dx
=−
16,0=−q
x
,
(Z4/17.33)
dM
x
dx
=−
16,0⋅x=T
x
.
(Z4/17.21)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w przedziale DF
przedstawiają rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
11
Z4/17.9. Wykresy sił przekrojowych
Rysunki Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12 przedstawiają ostateczne wykresy funkcji siły normalnej i
poprzecznej oraz momentu zginającego w ramie płaskiej wyznaczone metodą ogólną. Ze względu na ich
czytelność wykresów nie narysujemy w jednakowej skali dla całej ramy płaskiej.
N [kN]
64,0
14
,5
7
84
,5
7
0,0
Rys. Z4/17.10. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej
T [kN]
14,57
64
,0
74
,5
7
10,0
64,0
0,0
Rys. Z4/17.11. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej
Z4/17.10. Sprawdzenie wykresów sił przekrojowych
W celu sprawdzenia wykresów siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego
przedstawionych na rysunkach Z4/17.10, Z4/17.11 i Z4/17.12 wykonamy sprawdzenie równowagi sił oraz
momentów w węzłach B i D ramy płaskiej.
Rysunek Z4/17.13 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle B. Jak widać
spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.
Rysunek Z4/17.13 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle B.
Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu B.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 17
12
M [kNm]
33
0,9
0,0
384,0
36
0,0
0,0
20
,0
0,0
128,0
10
8,
0
[m]
2,0
5,0
2,0
Rys. Z4/17.12. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej
24,0 kNm
64,0 kN
64,0 kN
14,57 kN
14,57 kN
B
24,0 kNm
B
384,0 kNm
360,0 kNm
X
Y
a)
b)
Rys. Z4/17.13. Równowaga węzła B
64,0 kN
D
64,0 kN
84,57 kN
74,57 kN
10,0 kN
D
20,0 kNm
128,0 kNm
108,0 kNm
X
Y
a)
b)
Rys. Z4/17.14. Równowaga węzła D
Rysunek Z4/17.14 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle D. Jak widać
spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.
Rysunek Z4/17.14 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle D.
Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu D.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline