MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

1

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 5

Z4/5.1. Zadanie 5

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku

Z4/5.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

8,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

Rys. Z4/5.1. Belka prosta

Z4/5.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/5.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną.

1

2

3

A

I

B

C

Rys. Z4/5.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Jak widać na rysunku Z4/5.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta

trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z4/5.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.

Rysunek Z4/5.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na

belkę na oś poziomą X.

 X =H

A

=0

H

A

=0,0kN

.

(Z4/5.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

2

A

B

C

8,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

V

A

H

A

V

B

Y

X

Rys. Z4/5.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu B.

 M

B

=V

A

⋅4,0−16,0⋅4,0⋅

1

2

⋅4,08,0⋅2,0=0

V

A

=28,0 kN

.

(Z4/5.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu A.

 M

A

=−V

B

⋅4,016,0⋅4,0⋅

1
2

⋅4,08,0⋅6,0=0

V

B

=44,0 kN

.

(Z4/5.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę na oś pionową Y.

 Y =V

A

V

B

−16,0⋅4,0−8,0=28,044,0−72,0=0

.

(Z4/5.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.

Rysunek Z4/5.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej

belki.

A

B

C

28,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

8,0 kN

44,0 kN

Rys. Z4/5.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

3

Z4/5.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/5.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

28,0 kN

16,0 kN/m

x

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/5.5. Siły działające w przedziale AB

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z dwóch następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=16,0

kN

m

.

(Z4/5.5)

Jak widać na rysunku Z4/5.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z

równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma
postać

T



x



=28,0−16,0⋅x

.

(Z4/5.6)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=28,0 kN

T



4,0



=28,0−16,0⋅4,0=−36,0 kN

.

(Z4/5.7)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

4

28,0

−16,0⋅x

0

=0

x

0

=1,75m

(Z4/5.8)

od początku przedziału AB czyli od punktu A.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.

M



x



=28,0⋅x−16,0⋅x⋅

x
2

=−8,0⋅x

2

28,0⋅x

.

(Z4/5.9)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=0,0kNm

M



1,75



=−8,0⋅1,75

2

28,0⋅1,75=24,5 kNm

M



4,0



=−8,0⋅4,0

2

28,0⋅4,0=−16,0 kNm

.

(Z4/5.10)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać

dT



x



dx

=−

16,0

=−

q



x



,

(Z4/5.11)

dM



x



dx

=28,0−16,0⋅x=T



x



.

(Z4/5.12)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/5.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z4/5.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/5.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/5.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać

T



x



=8,0kN

.

(Z4/5.13)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

5

C

x

8,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/5.6. Siły działające w przedziale BC

A

B

C

28,0 kN

16,0 kN/m

4,0

2,0

[m]

8,0 kN

44,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

28

,0

36

,0

8,0

0,

0

16

,0

0,

0

1,75

2,25

1,75

2,25

24

,5

Rys. Z4/5.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

M



x



=−8,0⋅x

.

(Z4/5.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=0,0kNm

M



2,0



=−8,0⋅2,0=−16,0 kNm

.

(Z4/5.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−8,0=−T



x



.

(Z4/5.16)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5

6

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/5.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni