Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 7
1
Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 7
Z4/7.1. Zadanie 7
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z4/7.1. Wymiary belki podane są w metrach.
15,0 kN/m
18,0 kNm
A
B
C
3,0
1,5
[m]
Rys. Z4/7.1. Belka prosta
Z4/7.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z4/7.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
B
C
I
1
2
3
Rys. Z4/7.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna
Jak widać na rysunku Z4/7.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z4/7.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z4/7.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z4/7.1)
H A=0,0 kN
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 7
2
15,0 kN/m
18,0 kNm
HA A
B
Y
C
X
VA
VB
[m]
3,0
1,5
Rys. Z4/7.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu B.
1
M B= V A⋅3,0−15,0⋅3,0⋅ ⋅3,0−18,0=0
2
.
(Z4/7.2)
V A=28,5 kN
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
M A=− V B⋅3,015,0⋅3,0⋅ ⋅3,0−18,0=0
2
.
(Z4/7.3)
V B=16,5 ,0 kN
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y = V V −15,0⋅3,0=28,516,5−45,0=0
A
B
.
(Z4/7.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z4/7.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
15,0 kN/m
18,0 kNm
A
B
C
28,5 kN
16,5 kN
[m]
3,0
1,5
Rys. Z4/7.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 7
3
Z4/7.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z4/7.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
15,0 kN/m
A
N(x)
X
T(x)
M(x)
28,5 kN
x
Rys. Z4/7.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała postać
kN
q x=15,0
.
(Z4/7.5)
m
Jak widać na rysunku Z4/7.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
T x=28,5−15,0⋅ x .
(Z4/7.6)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T 0,0=28,5 kN
.
(Z4/7.7)
T 3,0=28,5−15,0⋅3,0=−16,5 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 7
4
28,5−15,0⋅ x 0=0
(Z4/7.8)
x 0=1,9 m
od początku przedziału AB czyli od punktu A.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
x
M x=28,5⋅ x−15,0⋅ x⋅ =−7,5⋅ x 228,5⋅ x .
(Z4/7.9)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
M 1,9=−7,5⋅1,9228,5⋅1,9=27,08 kNm .
(Z4/7.10)
M 3,0=−7,5⋅3,0228,5⋅3,0=18,0 kNm
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać
dT x =−15,0=− q x ,
(Z4/7.11)
dx
dM x=28,5−15,0⋅ x= T x .
(Z4/7.12)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z4/7.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z4/7.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z4/7.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z4/7.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=0,0 kN .
(Z4/7.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/7. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 7
5
18,0 kNm
T(x)
X
N(x)
C
x
M(x)
Rys. Z4/7.6. Siły działające w przedziale BC
M x=18,0 kNm .
(Z4/7.14)
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (4.29) i (4.30). Jak łatwo sprawdzić oba te równania zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z4/7.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
15,0 kN/m
18,0 kNm
A
B
C
28,5 kN
16,5 kN
[m]
3,0
1,5
28,5
0,0
T(x) [kN]
16,5
1,9
1,1
M(x) [kNm]
27,08
18,0
1,9
1,1
Rys. Z4/7.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni