MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
1
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH
PŁASKICH - ZADANIE 2
Z3/2.1. Zadanie 2
Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 kratownicy przedstawionej na
rysunku Z3/2.1. Pręty pasa górnego z lewej i prawej strony tej kratownicy leżą na jednej prostej.
30,0 kN
18,0 kN
17,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
2,
0
Rys. Z3/2.1. Kratownica płaska
Z3/2.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej
Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z3/2.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.
Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać
2
⋅
10
=
17
3
.
(Z3/2.1)
Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z3/2.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Kratownica na rysunku Z3/2.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.
Rysunek Z3/2.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.
3
2
1
I
Rys. Z3/2.2. Zastępcza tarcza sztywna
Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie
swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
2
Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc
geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Z3/2.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Rysunek Z3/2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-
nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.
30,0 kN
18,0 kN
17,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
2,
0
H
1
V
1
V
9
Rys. Z3/2.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Reakcję poziomą H
1
wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę
płaską na oś poziomą X. Wynosi ona
X =H
1
−18,0=0
H
1
=18,0 kN
.
(Z3/2.2)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V
1
wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona
M
9
=V
1
⋅4⋅6,0−30,0⋅3⋅6,0−17,0⋅6,0−18,0⋅2,0=0
V
1
=28,25 kN
.
(Z3/2.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Reakcję pionową V
9
wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona
M
1
=−V
9
⋅4⋅6,030,0⋅6,017,0⋅3⋅6,0−18,0⋅2,0=0
V
9
=18,75 kN
.
(Z3/2.4)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
3
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na
kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona
Y =V
1
V
9
−30,0−17,0=28,2518,75−30,0−17,0=0
.
(Z3/2.5)
Pionowe reakcje V
1
oraz V
9
zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z3/2.4 przedstawia prawidłowe
wartości i zwroty reakcji podporowych.
30,0 kN
18,0 kN
17,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
2,
0
18,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
Rys. Z3/2.4. Kratownica płaska w równowadze
Z3/2.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera
Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony
na rysunku Z3/2.5.
30,0 kN
18,0 kN
17,0 kN
6,0
6,0
6,0
6,0
3,
0
[m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
4
6
8
10
3
5
7
9
2,
0
18,0 kN
28,25 kN
18,75 kN
A
A
Rys. Z3/2.5. Przekrój A-A
Do obliczeń sił normalnych w prętach numer 2, 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części
kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z3/2.6.
Punktem Rittera dla pręta numer 2 jest węzeł numer 6. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy z
równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać
M
6
=−N
2
⋅3,028,25⋅2⋅6,0−30,0⋅6,0−18,0⋅3,0=0
.
(Z3/2.6)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
4
30,0 kN
6,0
3,
0
[m]
1
2
5
6
9
10
14
15
1
2
4
6
3
18,0 kN
28,25 kN
6,0
2,
0
N
2
N
15
N
6
Rys. Z3/2.6. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc
N
2
=35,0 kN
.
(Z3/2.7)
Pręt ten jest więc rozciągany.
30,0 kN
6,0
3,
0
[m]
1
2
5
6
9
10
14
15
1
2
4
6
3
18,0 kN
28,25 kN
6,0
2,
5
2,
0
N
2
N
15
N
6
α
0,08305
⋅N
6
0,9965
⋅N
6
Rys. Z3/2.7. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A
Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 3. Przedstawia go rysunek Z3/2.7. Długość
słupka numer 10 wynosi 2,5 metra, ponieważ jego koniec w węźle numer 4 znajduje się w środku odcinka
łączącego węzły numer 2 i 6. Ze względu na to, że pręt numer 6 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie
nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na dwie siły składowe. Funkcje kąta nachylenia tego pręta
wynoszą
sin
=
3,0
−
2,5
0,5
2
6,0
2
=
0,08305
,
(Z3/2.8)
cos
=
6,0
0,5
2
6,0
2
=0,9965
.
(Z3/2.9)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
5
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi więc
N
6X
=
0,9965
⋅
N
6
.
(Z3/2.10)
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi więc
N
6Y
=0,08305⋅N
6
.
(Z3/2.11)
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 6 przedstawia rysunek Z3/2.7. Obie siły składowe są
przyłożone w węźle numer 4.
Siłę normalną w pręcie numer 6 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na lewą część kratownicy płaskiej względem węzła 3. Równanie to ma postać
M
3
=0,9965⋅N
6
⋅2,528,25⋅6,0=0
.
(Z3/2.12)
Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc
N
6
=−68,04 kN
.
(Z3/2.13)
Pręt ten jest więc ściskany.
Rys. Z3/2.8. Położenie punktu Rittera dla pręta numer 15
Rysunek Z3/2.8 przedstawia położenie punktu Rittera dla pręta numer 15, który znajduje się w
miejscu przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 6. Korzystając z twierdzenia Talesa otrzymamy
62'
22'
=
21
1K
(Z3/2.14)
czyli otrzymamy
3,0
−
2,0
2
⋅
6,0
=
2,0
x
.
(Z3/2.15)
Ostatecznie odległość punktu K od węzła numer 1 wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
6,0
[m]
1
2
4
6
3
5
2,
0
3,
0
6,0
2'
2,
0
x
K
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
6
30,0 kN
6,0
3,
0
[m]
1
2
5
6
9
10
14
15
1
2
4
6
3
18,0 kN
28,25 kN
6,0
2,
5
2,
0
N
2
N
15
N
6
β
5
Rys. Z3/2.9. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
30,0 kN
6,0
[m]
1
2
5
6
9
10
14
15
1
2
4
3
18,0 kN
28,25 kN
2,
0
N
2
N
15
N
6
β
24,0
K
0,4472
⋅N
15
0,8944
⋅N
15
Rys. Z3/2.10. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej
x
=
24,0 m
.
(Z3/2.16)
Rysunek Z3/2.9 przedstawia wszystkie siły działające na odciętą lewą część kratownicy płaskiej.
Funkcje kąta nachylenia pręta numer 15 do poziomu wynoszą
sin
=
3,0
3,0
2
6,0
2
=0,4472
,
(Z3/2.17)
cos
=
6,0
3,0
2
6,0
2
=0,8944
.
(Z3/2.18)
Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi więc
N
15X
=0,8944⋅N
15
.
(Z3/2.19)
Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH
ZADANIE 2
7
N
15Y
=0,4472⋅N
15
.
(Z3/2.20)
Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 15 przedstawia rysunek Z3/2.9. Obie siły składowe
przyłożone są w węźle numer 3.
Siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na lewą część kratownicy płaskiej względem punktu K. Równanie to ma postać
M
K
=−0,4472⋅N
15
⋅
24,0
6,0
30,0⋅
24,0
6,0
−28,25⋅24,0=0
.
(Z3/2.21)
Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc
N
15
=16,55 kN
.
(Z3/2.22)
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline