MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

1

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

Z2/3.1. Zadanie 3

Metodą wykreślną wyznaczyć reakcje we wszystkich przegubach układu trójprzegubowego

przedstawionego na rysunku Z2/3.1.

A

B

C

P

1

I

II

P

2

Rys. Z2/3.1. Układ trójprzegubowy

Z2/3.2. Analiza kinematyczna układu tarcz sztywnych

Układ trójprzegubowy na rysunku Z2/3.1 składa się z dwóch tarcz sztywnych, które mają sześć stopni

swobody. Trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają obu tarczom sztywnym wszystkie sześć stopni
swobody. Został więc tym samym spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności.

Przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony także i warunek

dostateczny geometrycznej niezmienności. Układ trójprzegubowy jest więc układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z2/3.3. Analiza statyczna układu tarcz sztywnych

Ze względu na to, że obciążone siłami czynnymi są obie tarcze sztywne tworzące układ

trójprzegubowy musimy działanie każdej siły rozpatrywać osobno. Możemy tak zrobić, ponieważ reakcje na
podporach są funkcjami liniowymi sił czynnych. Innymi słowy, jeżeli dana siła wzrośnie dwa razy to i
reakcja z nią związana wzrośnie dwa razy. Udowodnimy to w następnym rozdziale. Rysunek Z2/3.2
przedstawia układ trójprzegubowy, w którym obciążona jest tarcza sztywna numer I. Obciążenie to
będziemy nazywać stan 1. Rysunek Z2/3.3 przedstawia układ trójprzegubowy, w którym obciążona jest
tarcza sztywna numer II. Obciążenie to będziemy nazywać stan 2. W obu stanach wyznaczymy reakcje w
przegubach rzeczywistych A i C. Na koniec zsumujemy wyniki czyli dokonamy tak zwanej superpozycji.

A

B

C

P

1

I

II

Rys. Z2/3.2. Stan 1

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

2

A

B

C

I

II

P

2

Rys. Z2/3.3. Stan 2

Z2/3.4. Analiza statyczna stanu 1

W stanie 1 tarcza sztywna numer II jest obciążona tylko reakcjami w przegubach B i C. Znamy w ten

sposób kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C. Przedstawia to rysunek Z2/3.4.

A

B

C

P

1

I

II

Rys. Z2/3.4. Kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C w stanie 1

Łącząc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C i kierunek siły P

1

otrzymujemy punkt D

przedstawiony na rysunku Z2/3.5.

A

B

C

P

1

I

II

D

Rys. Z2/3.5. Punkt przecięcia kierunków siły P

1

oraz reakcji w przegubie C w stanie 1

Aby układ trójprzegubowy znajdował się w równowadze kierunki wszystkich sił działających na

niego muszą się przeciąć w jednym punkcie. Punktem tym będzie punkt D. Łącząc punkt A z punktem D
otrzymamy więc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A w stanie 1. Przedstawia to rysunek Z2/3.6.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

3

A

B

C

P

1

I

II

D

Rys. Z2/3.6. Kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 1

Skoro znamy kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C możemy zacząć budować wielobok

sił. Przedstawia go rysunek Z2/3.7. W tym celu przenosimy równolegle siłę P

1

. Do jednego końca przykła-

damy kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A natomiast do drugiego końca kierunek reakcji w prze-
gubie rzeczywistym C. Ich punkt przecięcia wyznaczy nam wartości poszczególnych reakcji. Natomiast ich
zwroty muszą być takie aby siła wypadkowa z wieloboku sił była równa zero. Siły te muszą się więc gonić.

A

B

C

P

1

I

II

D

P

1

R

A

(1)

R

C

(1)

Rys. Z2/3.7. Wielobok sił w równowadze w stanie 1

Rysunek Z2/3.8 przedstawia siłę czynną P

1

oraz reakcje działające w przegubach rzeczywistych A i C

na układ trójprzegubowy będące w równowadze w stanie 1.

A

B

C

P

1

I

II

R

A

(1)

R

C

(1)

Rys. Z2/3.8. Reakcje w przegubach A i C w stanie 1

Z2/3.5. Analiza statyczna stanu 2

W stanie 2 tarcza sztywna numer I jest obciążona tylko reakcjami w przegubach A i B. Znamy w ten

sposób kierunek reakcji w przegubie A. Przedstawia to rysunek Z2/3.9.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

4

A

B

C

I

II

P

2

Rys. Z2/3.9. Kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A w stanie 2

Łącząc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A i kierunek siły P

2

otrzymujemy punkt E

przedstawiony na rysunku Z2/3.10.

A

B

C

I

II

P

2

E

Rys. Z2/3.10. Punkt przecięcia kierunków siły P

2

oraz reakcji w przegubie A w stanie 2

Aby układ trójprzegubowy znajdował się w równowadze kierunki wszystkich sił działających na

niego muszą się przeciąć w jednym punkcie. Punktem tym będzie punkt E. Łącząc punkt C z punktem E
otrzymamy więc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C. Przedstawia to rysunek Z2/3.11.

Skoro znamy kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C możemy zacząć budować wielobok

sił. Przedstawia go rysunek Z2/3.12. W tym celu przenosimy równolegle siłę P

2

. Do jednego końca

przykładamy kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A natomiast do drugiego końca kierunek reakcji w
przegubie rzeczywistym C. Ich punkt przecięcia wyznaczy nam wartości poszczególnych reakcji. Natomiast
ich zwroty muszą być takie aby siła wypadkowa z wieloboku sił była równa zero. Siły te muszą się więc
gonić.

Rysunek Z2/3.13 przedstawia siłę czynną P

2

oraz reakcje działające w przegubach rzeczywistych A i

C na układ trójprzegubowy będące w równowadze w stanie 2.

Z2/3.6. Superpozycja stanu 1 i 2

Na koniec reakcje w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 1 i 2 sumujemy ze sobą. Wypadkowe

reakcje w tych przegubach będą się znajdowały na przekątnej równoległoboku, którego bokami są reakcje w

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

5

stanie 1 i 2. Rysunek Z2/3.14 a) przedstawia superpozycję reakcji w przegubie rzeczywistym A. Rysunek
Z2/3.14 b) przedstawia superpozycję reakcji w przegubie rzeczywistym B.

A

B

C

I

II

P

2

E

Rys. Z2/3.11. Kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 2

A

B

C

I

II

P

2

E

P

2

R

A

(2)

R

C

(2)

Rys. Z2/3.12. Wielobok sił w równowadze w stanie 2

A

B

C

I

II

P

2

R

C

(2)

R

A

(2)

Rys. Z2/3.13. Reakcje w przegubach A i C w stanie 2

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

6

R

A

(1)

R

C

(1)

R

A

(2)

R

C

(2)

R

A

R

C

a)

b)

Rys. Z2/3.14. Reakcje. a) w przegubie rzeczywistym A, b) w przegubie rzeczywistym C

Rysunek Z2/3.15 przedstawia cały układ trójprzegubowy z działającymi na niego siłami czynnymi P

1

i

P

2

oraz reakcjami w przegubach rzeczywistych A i C. Jak widać na tym rysunku wszystkie te siły znajdują

się w równowadze, ponieważ siła wypadkowa z wieloboku sił wynosi zero.

A

B

C

P

1

I

II

P

2

R

A

R

C

P

1

P

2

R

A

R

C

Rys. Z2/3.15. Siły działające na układ trójprzegubowy w równowadze

A

B

P

1

I

R

A

F

Rys. Z2/3.16. Punkt przecięcia kierunków siły P

1

oraz reakcji w przegubie A

Z2/3.7. Wyznaczenie reakcji w przegubie rzeczywistym B

Na koniec pozostaje nam tylko wyznaczenie reakcji w przegubie rzeczywistym B. Rysunek Z2/3.16

przedstawia tarczę sztywną numer I z działającymi na nią siłą P

1

oraz reakcji w przegubie rzeczywistym A.

Kierunki tych sił muszą się przeciąć w jednym punkcie. Będzie to punkt F przedstawiony na rysunku
Z2/3.16.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

7

Łącząc punkty B i F otrzymamy kierunek reakcji w przegubie B działającej na tarczę sztywną numer

I. Przedstawia to rysunek Z2/3.17.

Jeżeli zbudujemy wielobok sił dla tarczy sztywnej numer I to otrzymamy wartość i zwrot reakcji w

przegubie B działającej na tę tarczę sztywną. Jej kierunek wyznaczony z wieloboku sił musi być równoległy
do wyznaczonego z połączenia punktów B i F. Przedstawia to także rysunek Z2/3.17.

Rysunek Z2/3.18 przedstawia wszystkie siły działające na tarczę sztywną numer I będące w

równowadze.

A

B

P

1

I

R

A

F

P

1

R

A

R

B

(I)

Rys. Z2/3.17. Wielobok sił dla tarczy sztywnej numer I

A

B

P

1

I

R

A

R

B

(I)

Rys. Z2/3.18. Tarcza sztywna numer I w równowadze

Rysunek Z2/3.19 przedstawia tarczę sztywną numer II z działającymi na nią siłą P

2

oraz reakcją w

przegubie rzeczywistym C. Kierunki tych sił muszą się przeciąć w jednym punkcie aby ta tarcza sztywna
była w równowadze. Będzie to punkt G przedstawiony na rysunku Z2/3.19.

Łącząc punkty C i G otrzymamy kierunek reakcji w przegubie B działającej na tarczę sztywną numer

II. Przedstawia go rysunek Z2/3.20.

Jeżeli zbudujemy wielobok sił dla tarczy sztywnej numer II to otrzymamy wartość i zwrot reakcji w

przegubie B działającej na tę tarczę sztywną . Jej kierunek wyznaczony z wieloboku sił musi być równoległy
do wyznaczonego z połączenia punktów B i G. Przedstawia to także rysunek Z2/3.20.

Rysunek Z2/3.21 przedstawia wszystkie siły działające na tarczę sztywną numer II będące w

równowadze.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

8

B

C

II

P

2

R

C

G

Rys. Z2/3.19. Punkt przecięcia kierunków siły P

2

oraz reakcji w przegubie C

B

C

II

P

2

R

C

G

R

B

(II)

R

C

P

2

Rys. Z2/3.20. Wielobok sił dla tarczy sztywnej numer II

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3

9

B

C

II

P

2

R

C

R

B

(II)

Rys. Z2/3.21. Tarcza sztywna numer II w równowadze

Rysunek Z2/3.22 przedstawia obie tarcze sztywne numer I i II wraz z działającymi na nie siłami

będącymi w równowadze. Jak widać reakcje w przegubie B działające na tarcze sztywne numer I i II mają te
same wartości i kierunki ale przeciwne zwroty.

B

C

II

P

2

R

C

R

B

(II)

A

B

P

1

I

R

A

R

B

(I)

Rys. Z2/3.22. Tarcze sztywne numer I i II będące w równowadze

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni