MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

1

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

Z2/14.1. Zadanie 14

Wyznaczyć analitycznie reakcje w przegubach rzeczywistych A i B oraz prętach podporowych numer

1 i 2 układu trójprzegubowego przedstawionego na rysunku Z2/14.1.

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

Rys. Z2/14.1. Układ trójprzegubowy

Z2/14.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.

Dwa przeguby rzeczywiste A i B oraz dwa pręty podporowe numer 1 i 2 odbierają razem także sześć stopni
swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

1

A

2

B

II

I

C

∞

AB

Rys. Z2/14.2. Układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem fikcyjnym C

Pręty podporowe numer 1 i 2 tworzą przegub fikcyjny C znajdujący się pionowo w nieskończoności.

Przedstawia to rysunek Z2/14.2. Dwa przeguby rzeczywiste A i B leżą na prostej ukośnej natomiast przegub
fikcyjny C leży na prostej pionowej. Możemy więc stwierdzić, że wszystkie trzy przeguby nie leżą na jednej
prostej. Został tym samym spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

2

Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z2/14.1 spełnia warunek konieczny i

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.

Z2/14.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A
przedstawia rysunek Z2/14.3.

W pręcie podporowym kierunek reakcji pokrywa się z kierunkiem tego pręta. Rysunek Z2/14.3

przedstawia założone zwroty reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2.

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

V

A

H

A

R

1

R

2

X

Y

D

E

Rys. Z2/14.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A i prętach podporowych numer 1 i 2

Rysunek Z2/14.4 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną numer I.

Rysunek Z2/14.5 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną numer II. Rysunek
Z2/14.6 przedstawia założone zwroty reakcji działających w przegubie rzeczywistym B.

Poziomą składową reakcji w przegubie rzeczywistym A wyznaczymy z równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy
kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 X

=

H

A

−

6,0



20,0

=

0

H

A

=−

14,0 kN

.

(Z2/14.1)

Składowa ta ma więc zwrot przeciwny do założonego.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A wyznaczymy z równania sumy momentów

wszystkich sił działających tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie kręcił
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 równanie to będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

3

A

B

3,0

6,0

6,

0

3,

0

6,0 kN

16,0 kN

I

V

A

H

A

V

B

(I)

H

B

(I)

X

Y

[m]

Rys. Z2/14.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

1

2

B

4,0

2,0

4,0

4,

0

5,

0

[m]

8,0 kN

20,0 kN

II

R

1

R

2

V

B

(II)

H

B

(II)

X

Y

Rys. Z2/14.5. Założone zwroty składowych reakcji w przegubie B oraz w prętach podporowych numer 1 i 2 działające

na tarczę sztywną numer II

V

B

(I)

H

B

(I)

B

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/14.6. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B

 M

B



I



=V

A

⋅9,0−H

A

⋅9,06,0⋅6,0−16,0⋅6,0=0

V

A

⋅9,0−



−14,0



⋅9,06,0⋅6,0−16,0⋅6,0=0

V

A

=−7,333 kN

.

(Z2/14.2)

Pionowa składowa reakcji w przegubie rzeczywistym A ma więc w rzeczywistości zwrot przeciwny do
założonego.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

4

Reakcję w pręcie podporowym numer 1 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu E przedstawionego na rysunku Z2/14.3. Punkt
ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 2 i poziomej składowej
reakcji w przegubie A. Momenty od tych reakcji będą więc wynosiły zero. Dodatni moment będzie kręcił
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 M

E

=R

1

⋅4,0V

A

⋅19,0−16,0⋅16,0−6,0⋅3,0−8,0⋅8,020,0⋅5,0=0

R

1

⋅4,0



−7,333



⋅19,0−16,0⋅16,0−6,0⋅3,0−8,0⋅8,020,0⋅5,0=0

R

1

=94,33 kN

.

(Z2/14.3)

Reakcja ta ma więc zwrot zgodny z założonym.

Reakcję w pręcie podporowym numer 2 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu D przedstawionego na rysunku Z2/14.3. Punkt
ten jest punktem przecięcia się kierunków reakcji w pręcie podporowym numer 1 i poziomej składowej
reakcji w przegubie A. Momenty od tych reakcji będą więc wynosiły zero. Dodatni moment będzie kręcił
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 M

D

=−R

2

⋅4,0V

A

⋅15,0−16,0⋅12,0−6,0⋅3,0−8,0⋅4,020,0⋅5,0=0

−R

2

⋅4,0



−7,333



⋅15,0−16,0⋅12,0−6,0⋅3,0−8,0⋅4,020,0⋅5,0=0

R

2

=−63,00 kN

.

(Z2/14.4)

Reakcja ta ma więc zwrot przeciwny do założonego.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały

układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y.
Zgodnie z rysunkiem Z2/14.3 równanie to będzie miało postać

 Y =V

A

R

1

R

2

−16,0−8,0=−7,33394,33−63,0−24,0=−0,003≈0

.

(Z2/14.5)

Równanie (Z2/14.5) zostało spełnione. Możemy więc stwierdzić, że reakcje w przegubie rzeczywistym A
oraz w prętach podporowych numer 1 i 2 zostały wyznaczone prawidłowo.

Rysunek Z2/14.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubie

rzeczywistym A oraz w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te oraz siły czynne działające na obie
tarcze sztywne znajdują się w równowadze.

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś poziomą X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 składowa ta będzie miała
wartość

 X



I



=−H

B



I



H

A

−6,0=0

−H

B



I



−14,0−6,0=0

H

B



I



=−20,0 kN

.

(Z2/14.6)

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zasto-

sujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś pionową Y. Jako dodatni przyj-
miemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.4 składowa ta będzie miała wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

5

1

A

2

B

3,0

6,0

4,0

2,0

4,0

6,

0

3,

0

4,

0

5,

0

[m]

6,0 kN

16,0 kN

8,0 kN

20,0 kN

II

I

14,0 kN

7,333 kN

94,33 kN

63,0 kN

Rys. Z2/14.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A oraz w prętach

podporowych numer 1 i 2

 Y



I



=V

B



I



V

A

−16,0=0

V

B



I



−7,333−16,0=0

V

B



I



=23,33 kN

.

(Z2/14.7)

Pionowa składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pozioma ma zwrot

przeciwny do założonego. Rysunek Z2/14.8 przedstawia prawidłowe zwroty składowych reakcji w
przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.

Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale

przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z
równowagi założonych zwrotów składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B przedstawionych na
rysunku Z2/14.6. Możemy więc napisać, że

H

B



II



=H

B



I



=−20,0 kN

,

(Z2/14.8)

V

B



II



=V

B



I



=23,33 kN

.

(Z2/14.9)

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/14.5 równanie sumy rzutów na
oś X ma postać

 X



II



=H

B



II



20,0=−20,020,0=0

.

(Z2/14.10)

Zgodnie z rysunkiem Z2/14.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/14. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 14

6

 Y



II



=−V

B



II



R

1

R

2

−8,0=−23,3394,33−63,0−8,0=0

.

(Z2/14.11)

Równania równowagi (Z2/14.10) i (Z2/14.11) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/14.8 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A i B oraz w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te oraz siły czynne działające na
każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.

A

B

3,0

6,0

6,

0

3,

0

6,0 kN

16,0 kN

I

14,0 kN

7,333 kN

20,0 kN

23,33 kN

1

2

B

4,0

2,0

4,0

4,

0

5,

0

[m]

8,0 kN

20,0 kN

II

94,33 kN

63,0 kN

20,0 kN

23,33 kN

Rys. Z2/14.8. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i B oraz w prętach

podporowych numer 1 i 2

Rysunek Z2/14.9 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji działających w

przegubie rzeczywistym B.

B

20,0 kN

23,33 kN

20,0 kN

23,33 kN

Rys. Z2/14.9. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni