MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

1

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

Z2/12.1. Zadanie 12

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z2/12.1. Siła czynna o wartości 18,0 kN w dół jest przyłożona w 
przegubie rzeczywistym B.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

18,0 kN

Rys. Z2/12.1. Układ trójprzegubowy

Z2/12.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody. 

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc 
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony 

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ   układ   trójprzegubowy   przedstawiony   na   rysunku   Z2/12.1   spełnia   warunek   konieczny  i 

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie 
wyznaczalnym. 

Z2/12.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej 

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym 
na   dwie   składowe:   poziomą   i   pionową.   Założone   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach   A   i   C 
przedstawia rysunek Z2/12.2.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania 

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni 
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w 
przegubie rzeczywistym A ma więc wartość

 M

C

=V

A

⋅9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0−18,0⋅5,0=0

V

A

=28,22 kN

(Z2/12.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

V

A

H

A

H

C

V

C

[m]

X

Y

I

II

18,0 kN

Rys. Z2/12.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania 

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni 
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w 
przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

A

=−V

C

⋅9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,018,0⋅4,0=0

V

C

=17,78 kN

(Z2/12.2)

Obie   pionowe   składowe   reakcji   w   przegubach  A  i   C  mają   więc   zwroty   zgodne   z   przyjętymi   na 

początku   obliczeń.   W   celu   sprawdzenia   obliczeń   zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił 
działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze 
zwrotem osi Y. Równanie to ma postać

 Y =V

A

V

C

−12,0−16,0−18,0=28,2217,78−46,0=0

.

(Z2/12.3)

Równanie równowagi (Z2/12.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w 
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/12.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na 

tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów 
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak 
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym 
A ma więc wartość

 M

B



I



=−H

A

⋅5,0V

A

⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

−H

A

⋅5,028,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

H

A

=20,98 kN

.

(Z2/12.4)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

3

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

V

A

H

A

[m]

X

Y

V

B

(I)

H

B

(I)

I

Rys. Z2/12.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

H

C

V

C

[m]

X

Y

II

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/12.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

18,0 kN

Rys. Z2/12.5. Siły działające w przegubie rzeczywistym B

Rysunek Z2/12.4 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na 

tarczę   sztywną   numer   II.   Zwroty   tych   reakcji   wynikają   bezpośrednio   z   założonych   zwrotów   reakcji 
działających w przegubie rzeczywistym B i przedstawionych na rysunku Z2/12.5. Poziomą składową reakcji 
w przegubie C wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną 

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

4

numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek 
zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

B



II



=H

C

⋅5,0−V

C

⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

⋅5,0−17,78⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

=6,98 kN

.

(Z2/12.5)

Obie   poziome   składowe   reakcji   w  przegubach  A  i   C   mają   więc   zwroty  zgodne   z  przyjętymi   na 

początku obliczeń. 

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały 

układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni  przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. 
Równanie to, zgodnie z rysunkiem Z2/12.2, ma postać

 X =H

A

−H

C

−8,0−6,0=20,98−6,98−14,0=0

.

(Z2/12.6)

Równanie równowagi (Z2/12.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w 
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/12.6   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A  i   C.   Składowe   tych   reakcji   oraz   siły  czynne   działające   na   cały  układ   trójprzegubowy 
znajdują się w równowadze.

Aby  wyznaczyć   poziomą   składową   reakcji   w   przegubie   B  działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   X.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.3 składowa ta ma wartość

 X



I



=−H

B



I



H

A

−8,0=0

−H

B



I



20,98−8,0=0

H

B



I



=12,98 kN

.

(Z2/12.7)

Aby  wyznaczyć   pionową   składową   reakcji   w   przegubie   B   działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   Y.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.3 składowa ta ma wartość

 Y



I



=V

B



I



V

A

−12,0=0

V

B



I



28,22−12,0=0

V

B



I



=−16,22 kN

.

(Z2/12.8)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa 

reakcji   w   przegubie   B   ma   zwrot   przeciwny   do   założonego.   Rysunek   Z2/12.7   przedstawia   prawidłowe 
wartości i zwroty obu składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer 
I.

Aby wyznaczyć poziomą składową  reakcji w przegubie B  działającą  na tarczę sztywną numer II 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   X.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.4 składowa ta ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

5

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

28,22 kN

17,78 kN

20,98 kN

6,98 kN

18,0 kN

Rys. Z2/12.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

 X



II



=H

B



II



−H

C

−6,0=0

H

B



II



−6,98−6,0=0

H

B



II



=12,98 kN

.

(Z2/12.9)

Aby wyznaczyć pionową  składową reakcji  w przegubie  B działającą  na  tarczę  sztywną  numer II 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   Y.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.4 składowa ta ma wartość

 Y



II



=V

B



II



V

C

−16,0=0

V

B



II



17,78−16,0=0

V

B



II



=−1,78kN

.

(Z2/12.10)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa 

reakcji   w   przegubie   B   ma   zwrot   przeciwny   do   założonego.   Rysunek   Z2/12.7   przedstawia   prawidłowe 
wartości i zwroty obu składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer 
II.

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów 

wszystkich sił działających na przegub rzeczywisty B na  osie:  poziomą X i  pionową Y. Jako dodatnie 
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.5 równanie sumy rzutów na 
oś X ma postać

 X



B



=H

B



I



−H

B



II



=12,98−12,98=0

.

(Z2/12.11)

Zgodnie z rysunkiem Z2/12.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

 Y



II



=−V

B



I



−V

B



II



−18,0=−



−16,22



−



−1,78



−18,0=0

.

(Z2/12.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

6

Równania równowagi (Z2/12.11) i (Z2/12.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i 
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/12.7   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II. Składowe tych reakcji oraz siły czynne 
działające na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

I

28,22 kN

20,98 kN

12,98 kN

16,22 kN

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

[m]

II

17,78 kN

6,98 kN

1,78 kN

12,98 kN

Rys. Z2/12.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na 

tarcze sztywne numer I i II

Rysunek   Z2/12.8   przedstawia   rzeczywiste   wartości   i   zwroty   sił   działających   w   przegubie 

rzeczywistym B, które znajdują się w równowadze.

1,78 kN

12,98 kN

B

12,98 kN

16,22 kN

18,0 kN

Rys. Z2/12.8. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni