MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

1

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

Z2/8.1. Zadanie 8

Metodą wykreślną wyznaczyć reakcje we wszystkich przegubach układu trójprzegubowego

przedstawionego na rysunku Z2/8.1. Kierunki prętów podporowych numer 1 i 2 są do siebie równoległe.

1

P

2

I

II

A

C

2

P

1

Rys. Z2/8.1. Układ trójprzegubowy

Z2/8.2. Analiza kinematyczna układu tarcz sztywnych

Układ trójprzegubowy na rysunku Z2/8.2 składa się z dwóch tarcz sztywnych, które mają sześć stopni

swobody. Dwa pręty podporowe numer 1 i 2 oraz dwa przeguby rzeczywiste A i C odbierają obu tarczom
sztywnym wszystkie sześć stopni swobody. Został więc tym samym spełniony warunek konieczny
geometrycznej niezmienności.

Pręty podporowe numer 1 i 2 sprowadzamy do przegubu fikcyjnego B znajdującego się poziomo w

nieskończoności. Przeguby A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został więc spełniony także i warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności. Układ trójprzegubowy jest więc układem geometrycznie
niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

B

∞

1

I

II

A

C

2

Rys. Z2/8.2. Układ trójprzegubowy

Z2/8.3. Analiza statyczna układu tarcz sztywnych

Ze względu na to, że obciążone siłami czynnymi są obie tarcze sztywne tworzące układ

trójprzegubowy musimy działanie każdej siły rozpatrywać osobno. Możemy tak zrobić, ponieważ reakcje na
podporach są funkcjami liniowymi sił czynnych. Innymi słowy, jeżeli dana siła wzrośnie dwa razy to i
reakcja z nią związana wzrośnie dwa razy. Udowodnimy to w następnym rozdziale. Rysunek Z2/8.3
przedstawia układ trójprzegubowy, w którym obciążona jest tarcza sztywna numer I. Obciążenie to
będziemy nazywać stan 1. Rysunek Z2/8.4 przedstawia układ trójprzegubowy, w którym obciążona jest

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

2

tarcza sztywna numer II. Obciążenie to będziemy nazywać stan 2. W obu stanach wyznaczymy reakcje w
przegubach rzeczywistych A i C. Na koniec zsumujemy wyniki czyli dokonamy tak zwanej superpozycji.

1

I

II

A

C

2

P

1

B

∞

Rys. Z2/8.3. Stan 1

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

Rys. Z2/8.4. Stan 2

Z2/3.4. Analiza statyczna stanu 1

W stanie 1 tarcza sztywna numer II jest obciążona tylko reakcjami w przegubach B i C. Kierunek

reakcji w przegubie fikcyjnym B jest taki sam jak kierunek tworzących go prętów podporowych numer 1 i 2
czyli poziomy. Aby tarcza sztywna numer II była w równowadze reakcje w przegubach B i C muszą działać
na jednej prostej. Prosta ta będzie pozioma i będzie przechodzić przez punkt C. Przedstawiają to rysunki
Z2/8.5 i Z2/8.6.

1

II

C

2

B

∞

Rys. Z2/8.5. Kierunek reakcji w przegubach B i C tarczy sztywnej numer II w stanie 1

Łącząc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C i kierunek siły P

1

otrzymujemy punkt D

przedstawiony na rysunku Z2/8.7.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

3

1

I

II

A

C

2

P

1

B

∞

Rys. Z2/8.6. Kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C w stanie 1

1

I

II

A

2

P

1

B

∞

C

D

Rys. Z2/8.7. Punkt przecięcia kierunków siły P

1

oraz reakcji w przegubie C w stanie 1

Aby układ trójprzegubowy znajdował się w równowadze kierunki wszystkich sił działających na

niego muszą się przeciąć w jednym punkcie. Punktem tym będzie punkt D. Łącząc punkt A z punktem D
otrzymamy więc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A w stanie 1. Przedstawia to rysunek Z2/8.8.

1

I

II

A

2

P

1

B

∞

C

D

Rys. Z2/8.8. Kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 1

Skoro znamy kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C możemy zacząć budować wielobok

sił. Przedstawia go rysunek Z2/8.9. W tym celu przenosimy równolegle siłę P

1

. Do jednego końca

przykładamy kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A natomiast do drugiego końca kierunek reakcji w
przegubie rzeczywistym C. Ich punkt przecięcia wyznaczy nam wartości poszczególnych reakcji. Natomiast
ich zwroty muszą być takie aby siła wypadkowa z wieloboku sił była równa zero. Siły te muszą się więc
gonić.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

4

1

I

II

A

2

P

1

B

∞

C

D

P

1

R

A

(1)

R

C

(1)

Rys. Z2/8.9. Wielobok sił w równowadze w stanie 1

Rysunek Z2/8.10 przedstawia siłę czynną P

1

oraz reakcje działające w przegubach rzeczywistych A i

C na układ trójprzegubowy będące w równowadze w stanie 1.

1

I

II

A

2

P

1

B

∞

C

R

A

(1)

R

C

(1)

Rys. Z2/8.10. Reakcje w przegubach A i C w stanie 1

Z2/8.5. Analiza statyczna stanu 2

W stanie 2 tarcza sztywna numer I jest obciążona tylko reakcjami w przegubach A i B. Kierunek

reakcji w przegubie fikcyjnym B jest taki sam jak kierunek tworzących go prętów podporowych numer 1 i 2
czyli poziomy. Aby tarcza sztywna numer I była w równowadze reakcje w przegubach A i B muszą działać
na jednej prostej. Prosta ta będzie pozioma i będzie przechodzić przez punkt A. Przedstawiają to rysunki
Z2/8.11 i Z2/8.12.

1

I

A

2

B

∞

Rys. Z2/8.11. Kierunek reakcji w przegubach A i B tarczy sztywnej numer I w stanie 2

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

5

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

Rys. Z2/8.12. Kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A w stanie 2

Łącząc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A i kierunek siły P

2

otrzymujemy punkt E

znajdujący się poziomo w nieskończoności. Przedstawia go rysunek Z2/8.13.

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

Rys. Z2/8.13. Punkt przecięcia kierunków siły P

2

oraz reakcji w przegubie A w stanie 2

Aby układ trójprzegubowy znajdował się w równowadze kierunki wszystkich sił działających na

niego muszą się przeciąć w jednym punkcie. Punktem tym będzie punkt E. Łącząc punkt C z punktem E
otrzymamy więc kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C w stanie 2. Kierunek ten będzie poziomy.
Przedstawia to rysunek Z2/8.14.

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

Rys. Z2/8.14. Kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 2

Kierunki wszystkich sił działających na układ trójprzegubowy są do siebie równoległe. Do

wyznaczenia reakcji musimy zastosować wielobok sznurowy. Na początek obieramy biegun O i siłę P

2

łączymy z nim za pomocą promieni 1 i 2. Przedstawia to rysunek Z2/8.15.

Siła P

2

znajduje się pomiędzy promieniami 1 i 2. Promienie te muszą się więc przeciąć na kierunku tej

siły w punkcie F. Przedstawia to rysunek Z2/8.16.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

6

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

P

2

O

1

2

Rys. Z2/8.15. Biegun O i promienie 1 i 2 w stanie 2

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

P

2

O

1

2

1

2

F

Rys. Z2/8.16. Promienie 1 i 2 przecinające się na kierunku siły P

2

w punkcie F w stanie 2

Promień 1 przecina kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym C w punkcie G natomiast promień 2

przecina kierunek reakcji w przegubie rzeczywistym A w punkcie H. Przedstawia to rysunek Z2/8.17.

Łącząc punkty G i H otrzymamy promień 3, który przenosimy do bieguna O. Przedstawia to rysunek

Z2/8.18.

Promień 3 wyznacza nam wartości reakcji w przegubach rzeczywistych A i C. Reakcje te przedstawia

rysunek Z2/8.19. Kierunki tych reakcji wynikają z faktu, że siła wypadkowa z wieloboku sił wynosi zero.
Czyli siły w wieloboku muszą się gonić. Na kierunku reakcji w przegubie rzeczywistym A R

A

przecinają się

promienie 2 i 3 czyli pomiędzy tymi promieniami występuje ta reakcja. Na kierunku reakcji w przegubie
rzeczywistym C R

C

przecinają się promienie 1 i 3 czyli pomiędzy tymi promieniami występuje ta reakcja.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

7

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

P

2

O

1

2

1

2

F

G

H

3

Rys. Z2/8.17. Promienie 1 i 2 przecinające kierunki reakcji w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 2

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

P

2

O

1

2

1

2

F

G

H

3

3

Rys. Z2/8.18. Promień 3 w stanie 2

Rysunek Z2/8.20 przedstawia siłę czynną P

2

oraz reakcje w przegubach rzeczywistych A i C będące w

równowadze w stanie 2.

Z2/8.6. Superpozycja stanu 1 i 2

Na koniec tej części działań reakcje w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 1 i 2 sumujemy ze

sobą. Wypadkowa reakcja w przegubie rzeczywistym A będzie się znajdowała na przekątnej równoleg-
łoboku, którego bokami są reakcje w stanie 1 i 2. Wypadkową reakcję w przegubie rzeczywistym C
wyznaczymy łącząc początek reakcji w tym przegubie w stanie 1 z końcem reakcji w tym przegubie w stanie
2. Rysunek Z2/8.21 a) przedstawia superpozycję reakcji w przegubie rzeczywistym A. Rysunek Z2/8.21 b)
przedstawia superpozycję reakcji w przegubie rzeczywistym C.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

8

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

E ∞

P

2

1

2

1

2

F

G

H

3

3

R

A

(2)

R

C

(2)

O

Rys. Z2/8.19. Reakcje w przegubach rzeczywistych A i C w stanie 2

1

P

2

I

II

A

C

2

B

∞

R

A

(2)

R

C

(2)

Rys. Z2/8.20. Reakcje w przegubach rzeczywistych A i C wstanie 2

R

A

(1)

R

C

(1)

R

A

(2)

R

C

(2)

R

A

R

C

a)

b)

Rys. Z2/8.21. Reakcje. a) w przegubie rzeczywistym A, b) w przegubie rzeczywistym C

Rysunek Z2/8.22 przedstawia cały układ trójprzegubowy z działającymi na niego siłami czynnymi P

1

i

P

2

oraz reakcjami w przegubach rzeczywistych A i C. Jak widać na tym rysunku wszystkie te siły znajdują

się w równowadze, ponieważ siła wypadkowa z wieloboku sił wynosi zero.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

9

1

P

2

I

II

A

C

2

P

1

R

A

R

C

P

1

P

2

R

C

R

A

B

∞

Rys. Z2/8.22. Siły działające na układ trójprzegubowy w równowadze

Z2/8.7. Reakcje w prętach podporowych numer 1 i 2

Na koniec pozostaje nam tylko wyznaczenie reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2. Rysunek

Z2/3.16 przedstawia tarczę sztywną numer I z działającymi na nią siłą P

1

oraz reakcją w przegubie

rzeczywistym A. Kierunki tych sił muszą się przeciąć w jednym punkcie. Będzie to punkt J przedstawiony
na rysunku Z2/8.23.

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

Rys. Z2/8.23. Punkt przecięcia kierunków siły P

1

oraz reakcji w przegubie A

Punkt J jest punktem przyłożenia reakcji w przegubie fikcyjnym w nieskończoności B. Kierunek tej

reakcji jest oczywiście poziomy. Ten sam kierunek otrzymamy tworząc wielobok sił dla tarczy sztywnej
numer I. Przedstawia to rysunek Z2/8.24.

Wszystkie siły działające na tarczę sztywną numer I będące w równowadze są przedstawione na

rysunku Z2/8.25.

Reakcję w przegubie fikcyjnym w nieskończoności B musimy rozłożyć na kierunki prętów

podporowych numer 1 i 2. Ponieważ kierunki wszystkich sił są równoległe zastosujemy wielobok sznurowy.

Na początek obieramy biegun O

1

i reakcję w przegubie fikcyjnym R

B

(I)

łączymy z nim za pomocą

promieni 4 i 5. Przedstawia to rysunek Z2/8.26.

Reakcja R

B

(I)

znajduje się pomiędzy promieniami 4 i 5. Promienie te muszą się więc przeciąć na

kierunku tej reakcji w punkcie K. Przedstawia to rysunek Z2/8.27.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

10

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

A

P

1

R

B

(I)

Rys. Z2/8.24. Kierunek reakcji w przegubie fikcyjnym B oraz wielobok sił dla tarczy sztywnej numer I

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

Rys. Z2/8.25. Siły działające na tarczę sztywną numer I w równowadze

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

R

B

(I)

O

1

4

5

Rys. Z2/8.26. Biegun O

1

oraz promienie 4 i 5

Promień 4 wieloboku sznurowego przecina kierunek reakcji w pręcie podporowym numer 1 w

punkcie L natomiast promień 5 wieloboku sznurowego przecina kierunek reakcji w pręcie podporowym
numer 2 w punkcie M. Przedstawia to rysunek Z2/8.28.

Łącząc punkty L i M otrzymamy promień 6, który przenosimy równolegle do bieguna O

1.

Przedstawia

to rysunek Z2/8.29.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

11

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

R

B

(I)

O

1

4

5

4

5

K

Rys. Z2/8.27. Promienie 4 i 5 przecinające się na kierunku reakcji R

B

(I)

w punkcie K

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

R

B

(I)

O

1

4

5

4

5

K

L

M

Rys. Z2/8.28. Promienie 4 i 5 przecinające kierunki reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

R

B

(I)

O

1

4

5

4

5

K

L

M

6

6

Rys. Z2/8.29. Promień 6

Promień 6 wyznacza nam wartości reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2. Reakcje te

przedstawia rysunek Z2/8.30. Kierunki tych reakcji wynikają z faktu, że reakcja R

B

(I)

jest siłą wypadkową z

reakcji w prętach podporowych numer 1 i 2. Na kierunku reakcji w pręcie podporowym numer 1 R

1

(I)

przecinają się promienie 4 i 6 czyli pomiędzy tymi promieniami występuje ta reakcja. Na kierunku reakcji w
pręcie podporowym numer 2 R

2

(I)

przecinają się promienie 5 i 6 czyli pomiędzy tymi promieniami występuje

ta reakcja.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/8. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 8

12

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

J

R

B

(I)

R

B

(I)

O

1

4

5

4

5

K

L

M

6

6

R

1

(I)

R

2

(I)

Rys. Z2/8.30. Reakcje w prętach podporowych numer 1 i 2

Rysunek Z2/8.31 przedstawia wszystkie siły działające na tarczę sztywną numer I. Jak widać z

wieloboku sił siły te znajdują się w równowadze, ponieważ wielobok ten zamyka się czyli jego siła
wypadkowa wynosi zero.

1

I

A

2

P

1

R

A

B

∞

R

1

(I)

R

2

(I)

R

A

R

2

(I)

R

1

(I)

P

1

Rys. Z2/8.31. Siły działające na tarczę sztywną numer I w równowadze

Reakcje w prętach podporowych numer 1 i 2 działające na tarczę sztywną numer II będą miały te

same wartości jak działające na tarczę sztywną numer I ale przeciwne zwroty. Reakcje te przedstawia
rysunek Z2/8.32. Na rysunku tym widać, że tarcza sztywna numer II znajduje się w równowadze, ponieważ
siłą wypadkowa z wieloboku sił działających na tą tarczę wynosi zero.

1

P

2

II

C

2

R

C

B

∞

R

2

(II)

R

1

(II)

P

2

R

2

(II)

R

1

(II)

R

C

Rys. Z2/8.32. Siły działające na tarczę sztywną numer II w równowadze

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni