WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

1

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

Z10/6.1. Zadanie 6

Narysować wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą

przedstawionego na rysunku Z10/6.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających
oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi



W

=

10,0

kN

m

3

.

(Z10/6.1)

Ciężar własny betonu zwykłego wynosi



B

=

25,0

kN

m

3

.

(Z10/6.2)

2,1

4,

5

4,0

H

2

0

[m]

A

A

Rys. Z10/6.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą

Z10/6.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A

Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika

o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/6.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej
ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wynosi

p=

W

⋅

h

.

(Z10/6.3)

Na dnie zbiornika na głębokości 4,0 metrów ciśnienie wody wynosi więc

p

h

=

10,0⋅4,0=40,0

kN

m

2

=

40,0 kPa

.

(Z10/6.4)

Ciężar własny betonowej ściany, równy iloczynowi objętości wycinka ściany przez ciężar własny betonu,
(Z10/6.2) przyłożony jest w środku prostopadłościanu i ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

2

1,0

[m]

Rys. Z10/6.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra

2,1

4,

5

4,

0

[m]

Q=2

36

,3

k

N

p

h

=40,0 kPa

1,05

1,05

Rys. Z10/6.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika

Q=25,0⋅2,1⋅4,5⋅1,0=236,3 kN

.

(Z10/6.5)

Rysunek Z10/6.3 przedstawia obciążenie czynne, które działa na wycinek ściany betonowej zbiornika o dłu-
gości 1 metra.

Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-

tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/6.3 siła ta
wynosi

W =

1
2

⋅

40,0⋅4,0⋅1,0=80,0 kN

.

(Z10/6.6)

Jej położenie przedstawia rysunek Z10/6.4.

Rysunek Z10/6.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej

i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyzna-
czać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-
czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/6.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający
M

Y

rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

3

2,1

4,

5

[m]

Q=

23

6,3

k

N

p

h

=40,0 kPa

1,05

1,05

4,0

W=80,0 kN

1

3

⋅

4,0

2

3

⋅4,0

Rys. Z10/6.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika

2,1

4,

5

[m]

Q=2

36

,3

k

N

1,05

1,05

4,0

X

N

M

Y

Z=Z

gl

W=80,0 kN

1

3

⋅

4,0

2

3

⋅4,0

Rys. Z10/6.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A

Siła normalna wynosi

N =−236,3 kN

.

(Z10/6.7)

Moment zginający M

Y

wynosi

M

Y

=−

80,0⋅

1
3

⋅

4,0 =−106,7 kNm

.

(Z10/6.8)

Rysunek Z10/6.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu
części ściany zbiornika.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

4

2,1

4,5

[m]

Q=

23

6,3

k

N

1,05

1,05

4,0

X

Z=Z

gl

W=80,0 kN

236,3 kN

106,7 kNm

X

Z=Z

gl

Y=Y

gl

236,3 kN

106,7 kNm

1

3

⋅

4,0

2

3

⋅4,0

Rys. Z10/6.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A

2,1

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

[m]

236,3 kN

106,7 kNm

Rys. Z10/6.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A

Rysunek Z10/6.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród

siły normalnej wynosi

z

N

=

−

106,7

−

236,3

=

0,4515 m

.

(Z10/6.9)

Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/6.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się
na osi Z=Z

gl

wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

5

2,1

1,

0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

236,3 kN

[m]

0,4515

0,5958

Rys. Z10/6.8. Siła normalna na mimośrodzie

2,1

6

=

0,35 m

.

(Z10/6.10)

Wartość bezwzględna mimośrodu z

N

(Z10/6.9) jest większa niż (Z10/6.10) więc siła normalna znajduje się

poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego wynosi

c=

2,1

2

−

0,4515=0,5985 m

.

(Z10/6.11)

Długość wykresu naprężeń normalnych

σ

X

wynosi

L=3⋅0,5985 =1,796 m

.

(Z10/6.12)

Naprężenie normalne

σ

0

zgodnie z (10.45) wynosi



0

=

2⋅



−

236,3



3⋅0,5985⋅1,0

=−

263,2

kN

m

2

=−

263,2 kPa

.

(Z10/6.13)

Rysunek Z10/6.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym.

W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać

będziemy ze wzoru (10.16). Pole powierzchni przekroju wynosi

A=2,1⋅1,0=2,1 m

2

.

(Z10/6.14)

Główny moment bezwładności względem osi Y=Y

gl

wynosi

J

Y

=

J

Ygl

=

1,0⋅2,1

3

12

=

0,7718 m

4

.

(Z10/6.15)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

6

2,1

1,

0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

[m]

26

3,2

k

Pa

1,796

26

3,2

k

P

a

2,1

1,796

Rys. Z10/6.9. Wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania

Funkcja naprężenia normalnego ma postać



X

=

−

236,3

2,1



−

106,7

0,7718

⋅

z=−112,5−138,2⋅z

.

(Z10/6.16)

Oś obojętna ma postać

−

112,5−138,2⋅z=0

,

(Z10/6.17)

którą możemy ostatecznie zapisać jako

z=−0,8140 m

.

(Z10/6.18)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/6.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi
obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą



X



A



=−

112,5−138,2⋅



−

1,05



=

32,61

kN

m

2

=

32,61 kPa

,

(Z10/6.19)



X



B



=−

112,5−138,2⋅



1,05



=−

257,6

kN

m

2

=−

257,6 kPa

.

(Z10/6.20)

Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/6.11.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6

7

2,1

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

[m]

0,8140

A

B

Rys. Z10/6.10. Oś obojętna

2,1

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

[m]

0,8140

A

B

32

,6

1 k

P

a

257,6 kPa

32

,6

1 k

P

a

25

7,6

k

P

a

Rys. Z10/6.11. Wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie

Dr inż. Janusz Dębiński