WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

1

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

Z10/8.1. Zadanie 8

Narysować wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą

przedstawionego na rysunku Z10/8.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających
oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi



W

=

10,0

kN

m

3

.

(Z10/8.1)

Ciężar własny betonu zwykłego wynosi



B

=

25,0

kN

m

3

.

(Z10/8.2)

2,0

5,5

6,0

2,9

[m]

H

2

O

A

A

Rys. Z10/8.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą

Z10/8.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A

Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika

o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/8.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej
ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wyznaczać będziemy ze
wzoru

p=

W

⋅

h

.

(Z10/8.3)

Jak więc widać ciśnienie rośnie liniowo wraz ze wzrostem głębokości. Na dnie zbiornika na głębokości 5,5
metra ciśnienie wody wynosi więc

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

2

1,0

[m]

Rys. Z10/8.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra

2,0

5,5

6,0

2,9

[m]

H

2

O

1,0

1,0

0,6

0,3

p

h

=55,0 kPa

Q

1

=

3

00

,0

k

N

Q

2

=6

7,5

k

N

Rys. Z10/8.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika

p

h

=

10,0⋅5,5=55,0

kN

m

2

=

55,0 kPa

.

(Z10/8.4)

Przekrój ściany betonowej, który ma kształt trapezu, rozłożymy na prostokąt i trójkąt prostokątny. Przedsta-
wia to rysunek Z10/8.3. Ciężar części ściany o przekroju prostokątnym wynosi

Q

1

=

25,0⋅2,0⋅6,0⋅1,0=300,0 kN

.

(Z10/8.5)

Ciężar części ściany o przekroju trójkątnym wynosi

Q

2

=

25,0⋅

1

2

⋅

0,9⋅6,0⋅1,0=67,5 kN

.

(Z10/8.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

3

Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-

tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/8.3 siła ta
wynosi

W =

1
2

⋅

55,0⋅5,5⋅1,0=151,3 kN

.

(Z10/8.7)

Jej położenie przedstawia rysunek Z10/8.4.

2,0

6,0

2,9

[m]

H

2

O

1,0

1,0

0,6

0,3

p

h

=55,0 kPa

Q

1

=

30

0,0

k

N

Q

2

=6

7,

5

kN

5,5

1

3

⋅5,5

2

3

⋅5,5

W

=

151

,3

kN

Rys. Z10/8.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika

Rysunek Z10/8.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej

i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyzna-
czać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-
czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/8.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający
M

Y

rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.

Siła normalna wynosi

N =−300,0−67,5=−367,5 kN

.

(Z10/8.8)

Moment zginający M

Y

wynosi

M

Y

=

151,3⋅

1
3

⋅

5,5−300,0⋅



1,45−1,0





67,5⋅



1,45−0,6



=

199,8 kNm

.

(Z10/8.9)

Rysunek Z10/8.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu
części ściany zbiornika.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

4

2,0

6,

0

1,45

[m]

1,0

1,0

0,6

0,3

Q

1

=

30

0,0

k

N

Q

2

=

67,

5 k

N

5,

5

1

3

⋅5,5

2

3

⋅5,5

W=151,3 kN

X

N

M

Y

Z=Z

gl

1,45

Rys. Z10/8.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A

2,0

6,

0

1,45

[m]

1,0

1,0

0,6

0,3

Q

1

=

30

0,0

k

N

Q

2

=

67,

5 k

N

5,

5

1

3

⋅5,5

2

3

⋅5,5

W=151,3 kN

X

Z=Z

gl

1,45

367,5 kN

199,8 kNm

X

367,5 kN

199,8 kNm

Z=Z

gl

Y=Y

gl

Rys. Z10/8.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

5

2,9

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

367,5 kN

199,8 kNm

[m]

Rys. Z10/8.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A

2,9

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

367,5 kN

[m]

0,5437

0,9063

Rys. Z10/8.8. Siła normalna na mimośrodzie

Rysunek Z10/8.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród

siły normalnej wynosi

z

N

=

199,8

−

367,5

=−

0,5437 m

.

(Z10/8.10)

Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/8.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się
na osi Z=Z

gl

wynosi

2,9

6

=

0,4833 m

.

(Z10/8.11)

Wartość bezwzględna mimośrodu z

N

(Z10/8.10) jest większa niż (Z10/8.11) więc siła normalna znajduje

się poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego
wynosi

c=

2,9

2

−

0,5437=0,9063 m

.

(Z10/8.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

6

Długość wykresu naprężeń normalnych

σ

X

wynosi

L=3⋅0,9063=2,719 m

.

(Z10/8.13)

Naprężenie normalne

σ

0

zgodnie z (10.45) wynosi



0

=

2⋅



−

367,5



3⋅0,9063⋅1,0

=−

270,3

kN

m

2

=−

270,3 kPa

.

(Z10/8.14)

Rysunek Z10/8.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym.

2,9

1,

0

Z=Z

gl

Y=Y

gl

[m]

27

0,

3 k

P

a

2,719

2,9

27

0,

3 k

P

a

2,719

Rys. Z10/8.9. Wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania

W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać

będziemy ze wzoru (10.16). Aby wyznaczyć funkcję naprężenia normalnego musimy najpierw wyznaczyć
charakterystyki geometryczne przekroju. Pole powierzchni przekroju wynosi

A=2,9⋅1,0=2,9 m

2

.

(Z10/8.15)

Główny moment bezwładności względem osi Y=Y

gl

wynosi

J

Y

=

J

Ygl

=

1,0⋅2,9

3

12

=

2,032 m

4

.

(Z10/8.16)

Funkcja naprężenia normalnego ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

7

2,9

1,0

Z=Z

gl

Y=

Y

gl

[m]

1,289

A

B

Rys. Z10/8.10. Oś obojętna

2,9

1,0

Z=Z

gl

Y=Y

gl

[m]

A

B

26

9,

3 k

P

a

15

,88

k

P

a

1,289

26

9,3

k

P

a

15

,8

8 k

P

a

Rys. Z10/8.11. Wykres naprężenia normalnego

σ

X

w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie



X

=

−

367,5

2,9



199,8
2,032

⋅

z=−126,798,33⋅z

.

(Z10/8.17)

Oś obojętna ma postać

−

126,798,33⋅z=0

,

(Z10/8.18)

którą możemy ostatecznie zapisać jako

z=1,289 m

.

(Z10/8.19)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/8.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi
obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

8



X



A



=−

126,798,33⋅



−

1,45



=−

269,3

kN

m

2

=−

269,3 kPa

,

(Z10/8.20)



X



B



=−

126,798,33⋅1,45=15,88

kN

m

2

=

15,88 kPa

.

(Z10/8.21)

Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/8.11.

Dr inż. Janusz Dębiński