8

Potęgowanie

8.1.

Wykazać, że jeżeli ϕ(n) jest liczbą nieparzystą, to ϕ(n) = 1.

(1)

8.2.

Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których ϕ(n) ¬ 5.

(1)

8.3.

Znaleźć wszystkie podgrupy cykliczne grupy

(a) (Z

⊥

13

, ·

13

),

(1)

(b) (Z

⊥

24

, ·

24

).

(1)

8.4.

Wyznaczyć rząd elementu 2 w grupie (Z

1237

, ·

1237

).

(2)

8.5.

Obliczyć 38

75

MOD 103.

(1)

8.6.

Niech a, m ∈ N, a⊥m, i niech m = p

k

1

1

·

p

k

2

2

·

. . . · p

k

l

l

będzie rozkładem liczby m

na czynniki pierwsze. Oznaczmy przez q

i

najmniejszą liczbę naturalną, dla której

a

q

i

≡

1 (mod p

k

i

i

),

i

= 1, 2, . . . , l

oraz niech q = NWW(q

1

, . . . , q

l

). Wykazać, że

(a) a

q

≡

1 (mod m),

(1)

(b) q ¬ ϕ(m),

(1)

(c) Czy istnieją takie liczby a, m, że q = ϕ(m)?

(1)

8.7.

Wykazać, że a

12

≡

1 (mod 105) dla każdej liczby a⊥105.

(2)

8.8.

Znaleźć 2

1000000

MOD 77.

(1)