5
Struktury algebraiczne
5.1.
Niech m ∈ N i a, b ∈ Z. Wykazać, że
(a) (a + b) MOD m = [(a MOD m) + (b MOD m)] MOD m,
(b) (a · b) MOD m = [(a MOD m) · (b MOD m)] MOD m.
Wywnioskować stąd, że działania modularne są łączne w zbiorze Z
m
(3)
5.2.
Wykazać, że
(a) Dla żadnej liczby całkowitej p > 2 działanie +
p
nie jest wewnętrzne w zbiorach
Z
+
p
i Z
⊥
p
.
(1)
(b) Działanie ·
p
jest wewnętrzne w zbiorze Z
⊥
p
dla każdej liczby całkowitej p > 1. (1)
5.3.
Zbadać, czy istnieje wskazany element odwrotny, a jeśli tak, to wyznaczyć go.
(a) 195
−1
mod 221,
(1)
(b) 144
−1
mod 233.
(1)
5.4.
(a) Znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z
+
5
, ·
5
).
(1)
(b) Dla znalezionych podgrup wykazać, że istnieją ich izomorfizmy z pewnymi gru-
pami (Z
m
,
+
m
).
(2)
(c) Czy osiągnięte rezultaty można uogólnić na przypadek dowolnej grupy (Z
p
, ·
p
),
gdzie p jest liczbą pierwszą?
(2)