Wykład 5

Struktury algebraiczne

5.1

Działania modularne

Dla dowolnej liczby naturalnej m > 1 oznaczmy

Z

m

= {0, 1, . . . , m − 1},

Z

+

m

= {1, . . . , m − 1},

Z

⊥
m

= {n ∈ Z

m

: n⊥m}.

Zauważmy, że

Z

⊥
m

⊂ Z

+

m

⊂ Z

m

.

W zbiorze Z

m

wprowadzamy działania wewnętrzne dodawania modulo m +

m

i mno-

żenia modulo m

·

m

następująco: dla dowolnych a, b ∈ Z

m

przyjmujemy

a

+

m

b

= (a + b) MOD m oraz a ·

m

b

= (a · b) MOD m.

Wewnętrzność tak wprowadzonych działań jest oczywista.

Lemat 5.1. Niech m

∈ N \ {1} i a, b ∈ Z. Wtedy

(a) (a + b) MOD m = [(a MOD m) + (b MOD m)] MOD m,

(b) (a · b) MOD m = [(a MOD m) · (b MOD m)] MOD m.

Korzystając z definicji działań modulo m możemy zapisać równości występujące w

lemacie w poniższej postaci:

(a) (a + b) MOD m = (a MOD m) +

m

(b MOD m),

(b) (a · b) MOD m = (a MOD m) ·

m

(b MOD m).

Twierdzenie 5.1. Dla dowolnej liczby naturalnej m para

(Z

m

,

+

m

) jest grupą abelową.

15

Zauważmy, że:

• Działanie +

m

nie jest wewnętrzne w zbiorach Z

+
m

i Z

⊥
m

dla każdej liczby całkowitej

m >

2.

• Działanie ·

m

nie jest wewnętrzne w zbiorach Z

+
m

, jeżeli m jest liczbą złożoną.

• Działanie ·

m

jest wewnętrzne w zbiorze Z

⊥
m

dla każdej liczby całkowitej m > 1.

5.2

Element odwrotny względem mnożenia modulo

m

Definicja 5.1.

Niech m > 1 będzie liczbą naturalną i a ∈ Z

m

. Jeżeli istnieje taka liczba

b

∈ Z

m

, że a·

m

b

= 1, to nazywamy ją elementem odwrotnym do a modulo m i oznaczamy

symbolem a

−1

mod m.

Twierdzenie 5.2. Niech m >

1 będzie liczbą naturalną i a ∈ Z. Wówczas a posiada

element odwrotny modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy

NWD(a, m) = 1.

Twierdzenie 5.3. Dla dowolnej liczby naturalnej m >

2 para (Z

⊥
m

,

·

m

) jest grupą abe-

lową.

Wniosek 5.1. Niech m >

2 będzie liczbą naturalną. Para (Z

+
m

,

·

m

) jest grupą abelową

wtedy i tylko wtedy, gdy m jest liczbą pierwszą.

Wniosek 5.2. Jeżeli p

∈ P, to (Z

p

,

+

p

,

·

p

) jest ciałem przemiennym.

16