Wykład 05

Witold Obłoza

2 grudnia 2010

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 41 (KRYTERIUM d’Alemberta)

Niech b

,

edzie dany szereg

∞

P

n=1

a

n

taki, że ∀n a

n

> 0 i niech istnieje

granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g. Jeżeli g < 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny,

a gdy g > 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest rozbieżny. Jeżeli g = 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

może być zbieżny lub rozbiezny.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

≥

1+g

2

n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

∞

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

∞

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

∞

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

∞

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

∞

P

n=1

a

n

n!

,

∞

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 43

Niech b

,

edzie dany szereg

∞

P

n=1

a

n

taki, że szereg

∞

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny

wtedy szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech S

n

=

n

P

k=1

a

k

, T

n

=

n

P

k=1

|a

k

| wtedy dla m > n mamy

|S

m

− S

n

| ≤ T

m

− T

n

.

Jeśli T

n

spełnia warunek Cauchyego to S

n

również.

ZBIEZNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA

DEFINICJA 44

Niech b

,

edzie dany szereg

∞

P

n=1

a

n

jeżeli szereg

∞

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny to

mówimy, że szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny bezwzgl

,

ednie. Jeżeli szereg

∞

P

n=1

|a

n

| jest rozbieżny, a szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny to mówimy, że szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny warunkowo.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

∞

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

∞

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

−

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

−

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

∞

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

∞

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

∞

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

∞

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 47

Mówimy że szereg

∞

P

n=1

(−1)

n

a

n

jest szeregiem naprzemiennym

jeżeli ∀n ∈ N a

n

≥ a

n+1

> 0 i lim

n→∞

a

n

= 0.

TWIERDZENIE 48

Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.

DOWÓD:

Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

∞

P

n=1

a

n

,

∞

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

∞

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

∞

P

n=1

b

n

jest

zbieżny to zbieżny jest

∞

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

∞

P

n=1

a

n

= A oraz

∞

P

n=1

b

n

= B to

∞

P

n=1

c

n

= AB.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

∞

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

∞

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Z uwagi na lim

n→∞

β

n

= 0 możemy wybrać n

0

tak duże aby ∀n ≥ n

0

|β

n

| <

ε

2α

.

Wybieraj

,

ac n

1

tak duże aby ∀n ≥ n

1

zachodziła nierówność

|a

n

| <

ε

2n

0

max{|β

q

| : q ∈ N}

otrzymujemy dla n > n

0

+ n

1

|γ

n

| ≤ |

n−n

0

P

m=1

a

m

β

n+1−m

| + |

n

P

m=n−n

0

+1

a

m

β

n+1−m

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

OTOCZENIA

DEFINICJA 51

Otoczeniem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

O(x

0

, ε) := {x ∈ R : |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε).

Otoczeniem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := [x

0

, x

0

+ ε).

Otoczeniem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

].

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

−

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.