Wykład 04
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
Wykład 04
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=1
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=1
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=1
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=1
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=1
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
)
=
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to aby
lim
n→∞
a
n
= 0.
DOWÓD:
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
spełnia warunek
Cauchy
,
ego
czyli ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| = |S
n
− S
n−1
| < ε.
Zatem ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| < ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
= 0.
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to aby
lim
n→∞
a
n
= 0.
DOWÓD:
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
spełnia warunek
Cauchy
,
ego
czyli ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| = |S
n
− S
n−1
| < ε.
Zatem ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| < ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
= 0.
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to aby
lim
n→∞
a
n
= 0.
DOWÓD:
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
spełnia warunek
Cauchy
,
ego
czyli ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| = |S
n
− S
n−1
| < ε.
Zatem ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| < ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
= 0.
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to aby
lim
n→∞
a
n
= 0.
DOWÓD:
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
spełnia warunek
Cauchy
,
ego
czyli ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| = |S
n
− S
n−1
| < ε.
Zatem ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| < ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
= 0.
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to aby
lim
n→∞
a
n
= 0.
DOWÓD:
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
spełnia warunek
Cauchy
,
ego
czyli ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| = |S
n
− S
n−1
| < ε.
Zatem ∀ε > 0 ∃n
0
∀n > n
0
|a
n
| < ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
= 0.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
lim
n→∞
a
n
= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
nie jest
warunkiem wystarczającym.
DOWÓD:
Szereg
∞
P
n=1
1
n
spełnia warunek lim
n→∞
a
n
= 0, ale nie jest zbieżny.
Ciąg sum częsciowych szeregu
∞
P
n=1
1
n
jest ciągiem rosnącym,
ma zatem
granicę.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S
2
k
}
∞
k=1
ciągu sum częściowych.
S
2
k
=
2
k
P
m=1
1
m
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
m
≥
1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l+1
P
m=2
l
+1
1
2
l+1
= 1 +
1
2
+
k−1
P
l=1
2
l
1
2
l+1
=
1 +
1
2
+ (k − 1) ·
1
2
=
k + 2
2
−→ ∞.
Zatem lim
n→∞
S
n
= ∞ czyli szereg
∞
P
n=1
1
n
nie jest zbieżny.
TWIERDZENIE 32
Jeżeli szeregi
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
są zbieżne i λ ∈ R to zbieżny jest
∞
P
n=1
(a
n
+ b
n
) oraz
∞
P
n=1
λa
n
. Ponadto jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A,
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
(a
n
+ b
n
) = A + B oraz
∞
P
n=1
λa
n
= λA.
DOWÓD:
Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.
TWIERDZENIE 32
Jeżeli szeregi
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
są zbieżne i λ ∈ R to zbieżny jest
∞
P
n=1
(a
n
+ b
n
) oraz
∞
P
n=1
λa
n
. Ponadto jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A,
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
(a
n
+ b
n
) = A + B oraz
∞
P
n=1
λa
n
= λA.
DOWÓD:
Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).
=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
Szereg geometryczny
∞
P
n=1
a · q
n−1
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:
S
n
= a
1 − q
n
1 − q
=
a
1 − q
· (1 − q
n
).=
a
1 − q
−
a
1 − q
· q
n
.
Wyrażenie
a
1 − q
jest stałe,
istnienie granicy właściwej ciągu S
n
zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
q
n
.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
Jeżeli ∀n a
n
≥ 0 to warunkiem wystarczaj
,
acym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to, aby ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
był ograniczony z góry.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
Jeżeli ∀n a
n
≥ 0 to warunkiem wystarczaj
,
acym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to, aby ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
był ograniczony z góry.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
Jeżeli ∀n a
n
≥ 0 to warunkiem wystarczaj
,
acym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to, aby ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
był ograniczony z góry.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
Jeżeli ∀n a
n
≥ 0 to warunkiem wystarczaj
,
acym zbieżności szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest to, aby ci
,
ag {S
n
}
∞
n=1
był ograniczony z góry.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
Załóżmy, że ∀n a
n
> 0 oraz a
n
≥ a
n+1
wówczas szereg
∞
P
n=1
a
n
jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg
∞
P
n=1
2
n
a
2
n
.
DOWÓD:
Niech S
k
=
k
P
n=1
a
n
i S
k
=
k
P
n=1
2
n
a
2
n
.
Wystarczy pokazać, że ci
,
agi {S
k
},
{S
k
} s
,
a równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
Załóżmy, że ∀n a
n
> 0 oraz a
n
≥ a
n+1
wówczas szereg
∞
P
n=1
a
n
jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg
∞
P
n=1
2
n
a
2
n
.
DOWÓD:
Niech S
k
=
k
P
n=1
a
n
i S
k
=
k
P
n=1
2
n
a
2
n
.
Wystarczy pokazać, że ci
,
agi {S
k
},
{S
k
} s
,
a równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
Załóżmy, że ∀n a
n
> 0 oraz a
n
≥ a
n+1
wówczas szereg
∞
P
n=1
a
n
jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg
∞
P
n=1
2
n
a
2
n
.
DOWÓD:
Niech S
k
=
k
P
n=1
a
n
i S
k
=
k
P
n=1
2
n
a
2
n
.
Wystarczy pokazać, że ci
,
agi {S
k
},
{S
k
} s
,
a równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
Załóżmy, że ∀n a
n
> 0 oraz a
n
≥ a
n+1
wówczas szereg
∞
P
n=1
a
n
jest
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg
∞
P
n=1
2
n
a
2
n
.
DOWÓD:
Niech S
k
=
k
P
n=1
a
n
i S
k
=
k
P
n=1
2
n
a
2
n
.
Wystarczy pokazać, że ci
,
agi {S
k
},
{S
k
} s
,
a równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
2 · S
2
k
= 2a
1
+ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
n
≥ 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m+1
P
n=2
m
+1
a
2
m+1
=
= 2a
2
+ 2
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m+1
= S
k
.
Z kolei dla n ≤ 2
k
− 1 mamy:
S
n
≤ S
2
k
−1
= a
1
+
k−1
P
m=1
2
m+1
−1
P
n=2
m
a
n
≤ a
1
+
k−1
P
m=1
2
m
a
2
m
= a
1
+ S
k−1
.
Zatem dwa ciągi {S
n
} oraz {S
n
} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
Szereg
∞
P
n=1
1
n
α
jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
2
n
(2
n
)
α
=
∞
P
n=1
2
n(1−α)
.
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2
1−α
.
Zbieżny jest on gdy 2
1−α
< 1
czyli, gdy
α > 1
zaś dla α ≤ 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n
0
takie, że dla n większych od n
0
a
n
≥ b
n
≥ 0
to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
zaś szereg
∞
P
n=1
b
n
jest minorantą szeregu
∞
P
n=1
a
n
.
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest majorantą szeregu
∞
P
n=1
b
n
to
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ n
0
ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
wynika
ograniczoność {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
zaś z nieograniczoności {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
wynika nieograniczoność
{S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ n
0
ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
wynika
ograniczoność {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
zaś z nieograniczoności {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
wynika nieograniczoność
{S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ n
0
ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
wynika
ograniczoność {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
zaś z nieograniczoności {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
wynika nieograniczoność
{S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ n
0
ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
wynika
ograniczoność {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
zaś z nieograniczoności {T
n
=
n
P
k=1
b
k
}
∞
n=1
wynika nieograniczoność
{S
n
=
n
P
k=1
a
k
}
∞
n=1
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n ≥ n
0
S
n
− S
n
0
≥ T
n
− T
n
0
.
(S
n
− S
n
0
=
n
P
k=n
0
+1
a
n
≥
n
P
k=n
0
+1
b
n
= T
n
− T
n
0
.)
Stąd dla n ≥ n
0
mamy
T
n
≤ S
n
+ (T
n
0
− S
n
0
)
oraz
S
n
≥ T
n
+ (S
n
0
− T
n
0
).
Z ograniczoności S
n
wynika ograniczoność T
n
oraz z nieograniczoności T
n
wynika nieograniczoność S
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Niech b
,
ed
,
a dane dwa szeregi
∞
P
n=1
a
n
∞
P
n=1
b
n
takie, że ∀n a
n
≥ 0 oraz
b
n
> 0 i niech istnieje granica lim
n→∞
a
n
b
n
= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi
∞
P
n=1
a
n
oraz
∞
P
n=1
b
n
s
,
a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
DOWÓD:
Dla
n > n
0
g
2
≤
a
n
b
n
≤
3g
2
.
Mamy stad
g
2
b
n
≤ a
n
≤
3g
2
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
a
n
jest zbiezny to
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny na mocy klasycznego
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Niech b
,
ed
,
a dane dwa szeregi
∞
P
n=1
a
n
∞
P
n=1
b
n
takie, że ∀n a
n
≥ 0 oraz
b
n
> 0 i niech istnieje granica lim
n→∞
a
n
b
n
= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi
∞
P
n=1
a
n
oraz
∞
P
n=1
b
n
s
,
a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
DOWÓD:
Dla
n > n
0
g
2
≤
a
n
b
n
≤
3g
2
.
Mamy stad
g
2
b
n
≤ a
n
≤
3g
2
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
a
n
jest zbiezny to
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny na mocy klasycznego
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Niech b
,
ed
,
a dane dwa szeregi
∞
P
n=1
a
n
∞
P
n=1
b
n
takie, że ∀n a
n
≥ 0 oraz
b
n
> 0 i niech istnieje granica lim
n→∞
a
n
b
n
= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi
∞
P
n=1
a
n
oraz
∞
P
n=1
b
n
s
,
a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
DOWÓD:
Dla
n > n
0
g
2
≤
a
n
b
n
≤
3g
2
.
Mamy stad
g
2
b
n
≤ a
n
≤
3g
2
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
a
n
jest zbiezny to
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny na mocy klasycznego
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
Niech b
,
ed
,
a dane dwa szeregi
∞
P
n=1
a
n
∞
P
n=1
b
n
takie, że ∀n a
n
≥ 0 oraz
b
n
> 0 i niech istnieje granica lim
n→∞
a
n
b
n
= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi
∞
P
n=1
a
n
oraz
∞
P
n=1
b
n
s
,
a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
DOWÓD:
Dla
n > n
0
g
2
≤
a
n
b
n
≤
3g
2
.
Mamy stad
g
2
b
n
≤ a
n
≤
3g
2
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
a
n
jest zbiezny to
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny na mocy klasycznego
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny
∞
P
n=1
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
b
n
jest zbieżny to jest zbieżny
∞
P
n=1
3g
2
b
n
i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny
∞
P
n=1
a
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny
∞
P
n=1
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
b
n
jest zbieżny to jest zbieżny
∞
P
n=1
3g
2
b
n
i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny
∞
P
n=1
a
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
∞
P
n=1
g
2
b
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny
∞
P
n=1
b
n
.
Jeżeli
∞
P
n=1
b
n
jest zbieżny to jest zbieżny
∞
P
n=1
3g
2
b
n
i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny
∞
P
n=1
a
n
.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)
Załóżmy, że ∀n a
n
≥ 0 i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g.
Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
Jeżeli g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)
Załóżmy, że ∀n a
n
≥ 0 i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g.
Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
Jeżeli g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)
Załóżmy, że ∀n a
n
≥ 0 i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g.
Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
Jeżeli g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)
Załóżmy, że ∀n a
n
≥ 0 i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g.
Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
Jeżeli g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)
Załóżmy, że ∀n a
n
≥ 0 i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g.
Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
Jeżeli g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1
wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g < 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
n
√
a
n
<
1+g
2
< 1.
Stąd ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n
≤
1+g
2
n
.
Oznacza to, że szereg
∞
P
n=1
a
n
ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
Dowód dla g > 1
jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
n
q
1
n
2
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
n
q
1
n
= 1.