Wykład 05
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 41 (KRYTERIUM d’Alemberta)
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że ∀n a
n
> 0 i niech istnieje
granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= g. Jeżeli g < 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny,
a gdy g > 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
jest rozbieżny. Jeżeli g = 1 to szereg
∞
P
n=1
a
n
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1
wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Niech g > 1 wówczas ∃n
0
takie, że ∀n > n
0
a
n+1
a
n
>
1+g
2
> 1.
Zatem ∀n > n
0
a
n
≥
1+g
2
n−n
0
−1
· a
n
0
+1
,
Szereg
∞
P
n=1
a
n
ma minorantę rozbieżną
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
Dla szergu zbieżnego
∞
P
n=1
1
n
2
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1,
ale i dla szeregu rozbieżnego
∞
P
n=1
1
n
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
∞
P
n=1
n
k
a
n
dla k ∈ R i a > 1,
∞
P
n=1
a
n
n!
,
∞
P
n=1
n!
n
n
.
Wynika stąd, że
lim
n→∞
n
k
a
n
= 0,
lim
n→∞
a
n
n!
= 0,
lim
n→∞
n!
n
n
= 0.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny
wtedy szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech S
n
=
n
P
k=1
a
k
, T
n
=
n
P
k=1
|a
k
| wtedy dla m > n mamy
|S
m
− S
n
| ≤ T
m
− T
n
.
Jeśli T
n
spełnia warunek Cauchyego to S
n
również.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny
wtedy szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech S
n
=
n
P
k=1
a
k
, T
n
=
n
P
k=1
|a
k
| wtedy dla m > n mamy
|S
m
− S
n
| ≤ T
m
− T
n
.
Jeśli T
n
spełnia warunek Cauchyego to S
n
również.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
taki, że szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny
wtedy szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech S
n
=
n
P
k=1
a
k
, T
n
=
n
P
k=1
|a
k
| wtedy dla m > n mamy
|S
m
− S
n
| ≤ T
m
− T
n
.
Jeśli T
n
spełnia warunek Cauchyego to S
n
również.
ZBIEZNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA
DEFINICJA 44
Niech b
,
edzie dany szereg
∞
P
n=1
a
n
jeżeli szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest zbieżny to
mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny bezwzgl
,
ednie. Jeżeli szereg
∞
P
n=1
|a
n
| jest rozbieżny, a szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny to mówimy, że szereg
∞
P
n=1
a
n
jest zbieżny warunkowo.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
Jeżeli ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
n=1
a
n
jest ograniczony a ci
,
ag {b
n
}
jest nierosn
,
acy i zbieżny do zera to
∞
P
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
DOWÓD:
Niech A
k
=
k
P
n=1
a
n
i ∀k ∈ N |A
k
| ≤ M.
Dla q > p > 1 mamy
q
P
n=p+1
a
n
b
n
=
q
P
n=p+1
(A
n
− A
n−1
)b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q
P
n=p+1
A
n−1
b
n
=
q
P
n=p+1
A
n
b
n
−
q−1
P
n=p
A
n
b
n+1
=
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
|S
q
− S
p
| = |
q
P
n=p+1
a
n
b
n
| = |
q−1
P
n=p+1
A
n
(b
n
− b
n+1
) + A
q
b
q
− A
p
b
p+1
| ≤
|M |
q−1
P
n=p+1
|b
n
− b
n+1
| + |b
q
| + |b
p+1
|
!
= 2M b
p+1
.
Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n
0
∀q > p > n
0
b
p+1
<
ε
2M
,
a co za tym idzie |S
q
− S
p
| < ε.
Zatem {S
n
} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKŁAD 46
Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
P
k=1
cos kx =
1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx
2(1 − cosx)
− 1.
Wynika st
,
ad, że ci
,
ag sum cz
,
eściowych szeregu
∞
P
k=1
coskx jest ograniczony,
a {
1
n
p
}
∞
n=1
jest malej
,
acy i ma granic
,
e zero przy n zmierzaj
,
acym do
nieskończoności.
Na mocy Twierdzenia 44 szereg
∞
P
n=1
cos nx
n
p
jest zbieżny.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
Mówimy że szereg
∞
P
n=1
(−1)
n
a
n
jest szeregiem naprzemiennym
jeżeli ∀n ∈ N a
n
≥ a
n+1
> 0 i lim
n→∞
a
n
= 0.
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
Mówimy że szereg
∞
P
n=1
(−1)
n
a
n
jest szeregiem naprzemiennym
jeżeli ∀n ∈ N a
n
≥ a
n+1
> 0 i lim
n→∞
a
n
= 0.
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
Mówimy że szereg
∞
P
n=1
(−1)
n
a
n
jest szeregiem naprzemiennym
jeżeli ∀n ∈ N a
n
≥ a
n+1
> 0 i lim
n→∞
a
n
= 0.
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
Mówimy że szereg
∞
P
n=1
(−1)
n
a
n
jest szeregiem naprzemiennym
jeżeli ∀n ∈ N a
n
≥ a
n+1
> 0 i lim
n→∞
a
n
= 0.
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny
to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
Iloczynem Cauchy’ego szeregów
∞
P
n=1
a
n
,
∞
P
n=1
b
n
nazywamy szereg
∞
P
n=1
c
n
, gdzie c
n
=
n
P
k=1
a
k
b
n+1−k
.
TWIERDZENIE 50
Jeżeli szereg
∞
P
n=1
a
n
jest bezwzgl
,
ednie zbieżny, a szereg
∞
P
n=1
b
n
jest
zbieżny to zbieżny jest
∞
P
n=1
c
n
iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.
Ponadto, jeżeli
∞
P
n=1
a
n
= A oraz
∞
P
n=1
b
n
= B to
∞
P
n=1
c
n
= AB.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|.
Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) =
A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
Dla n ≥ 1 oznaczmy A
n
=
∞
P
k=1
a
k
B
n
=
n
P
k=1
b
k
C
n
=
n
P
k=1
c
k
β
n
= B − B
n
α =
∞
P
k=1
|a
k
|. Mamy
C
n
=
n
P
k=1
k
P
m=1
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
n
P
k=m
a
m
b
k+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B
n+1−m
=
n
P
m=1
a
m
B +
n
P
m=1
a
m
(B
n+1−m
− B) = A
n
B −
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
Niech γ
n
=
n
P
m=1
a
m
β
n+1−m
. Wystarczy pokazać, że lim
n→∞
γ
n
= 0.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim
n→∞
β
n
= 0 możemy wybrać n
0
tak duże aby ∀n ≥ n
0
|β
n
| <
ε
2α
.
Wybieraj
,
ac n
1
tak duże aby ∀n ≥ n
1
zachodziła nierówność
|a
n
| <
ε
2n
0
max{|β
q
| : q ∈ N}
otrzymujemy dla n > n
0
+ n
1
|γ
n
| ≤ |
n−n
0
P
m=1
a
m
β
n+1−m
| + |
n
P
m=n−n
0
+1
a
m
β
n+1−m
| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim
n→∞
β
n
= 0 możemy wybrać n
0
tak duże aby ∀n ≥ n
0
|β
n
| <
ε
2α
.
Wybieraj
,
ac n
1
tak duże aby ∀n ≥ n
1
zachodziła nierówność
|a
n
| <
ε
2n
0
max{|β
q
| : q ∈ N}
otrzymujemy dla n > n
0
+ n
1
|γ
n
| ≤ |
n−n
0
P
m=1
a
m
β
n+1−m
| + |
n
P
m=n−n
0
+1
a
m
β
n+1−m
| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim
n→∞
β
n
= 0 możemy wybrać n
0
tak duże aby ∀n ≥ n
0
|β
n
| <
ε
2α
.
Wybieraj
,
ac n
1
tak duże aby ∀n ≥ n
1
zachodziła nierówność
|a
n
| <
ε
2n
0
max{|β
q
| : q ∈ N}
otrzymujemy dla n > n
0
+ n
1
|γ
n
| ≤ |
n−n
0
P
m=1
a
m
β
n+1−m
| + |
n
P
m=n−n
0
+1
a
m
β
n+1−m
|
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim
n→∞
β
n
= 0 możemy wybrać n
0
tak duże aby ∀n ≥ n
0
|β
n
| <
ε
2α
.
Wybieraj
,
ac n
1
tak duże aby ∀n ≥ n
1
zachodziła nierówność
|a
n
| <
ε
2n
0
max{|β
q
| : q ∈ N}
otrzymujemy dla n > n
0
+ n
1
|γ
n
| ≤ |
n−n
0
P
m=1
a
m
β
n+1−m
| + |
n
P
m=n−n
0
+1
a
m
β
n+1−m
| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
O(x
0
, ε) := {x ∈ R : |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε).
Otoczeniem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := [x
0
, x
0
+ ε).
Otoczeniem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
].
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
O(x
0
, ε) := {x ∈ R : |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε).
Otoczeniem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := [x
0
, x
0
+ ε).
Otoczeniem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
].
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
O(x
0
, ε) := {x ∈ R : |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε).
Otoczeniem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := [x
0
, x
0
+ ε).
Otoczeniem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór O
+
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
].
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.
SĄSIEDZTWA
DEFINICJA 52
S
,
asiedztwem punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór
S(x
0
, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x
0
| < ε} = (x
0
− ε, x
0
+ ε) \ {x
0
}.
S
,
asiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0
nazywamy zbiór S
+
(x
0
, ε) := (x
0
, x
0
+ ε).
S
,
asiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy
zbiór S
−
(x
0
, ε) := (x
0
− ε, x
0
).
S
,
asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).
S
,
asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie
a ∈ R.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2010 11 07 WIL Wyklad 07
PD W2 Wstep do j Prolog(2010 11 05) 1 1
2010 11 05(2),19,26 szeregi, geometria analityczna
2010 11 05 Życiorysdy działaczy Obozu Narodowo Radykalnego
PD W2 Wstep do j Prolog(2010 11 05) 1 1
2010 11 05(2),19,26 szeregi, geometria analityczna
2010 11 05 Blumsztajn i paroksyzm
więcej podobnych podstron