2010 11 05 WIL Wyklad 05

background image

Wykład 05

Witold Obłoza

20 stycznia 2011

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 41 (KRYTERIUM d’Alemberta)

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

taki, że ∀n a

n

> 0 i niech istnieje

granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g. Jeżeli g < 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny,

a gdy g > 1 to szereg

P

n=1

a

n

jest rozbieżny. Jeżeli g = 1 to szereg

P

n=1

a

n

może być zbieżny lub rozbiezny.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1

wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

1+g

2



n−n

0

−1

· a

n

0

+1

,

Szereg

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.

Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

UWAGA 42

Następujące szeregi są zbieżne:

P

n=1

n

k

a

n

dla k ∈ R i a > 1,

P

n=1

a

n

n!

,

P

n=1

n!

n

n

.

Wynika stąd, że

lim

n→∞

n

k

a

n

= 0,

lim

n→∞

a

n

n!

= 0,

lim

n→∞

n!

n

n

= 0.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 43

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

taki, że szereg

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny

wtedy szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech S

n

=

n

P

k=1

a

k

, T

n

=

n

P

k=1

|a

k

| wtedy dla m > n mamy

|S

m

− S

n

| ≤ T

m

− T

n

.

Jeśli T

n

spełnia warunek Cauchyego to S

n

również.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 43

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

taki, że szereg

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny

wtedy szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech S

n

=

n

P

k=1

a

k

, T

n

=

n

P

k=1

|a

k

| wtedy dla m > n mamy

|S

m

− S

n

| ≤ T

m

− T

n

.

Jeśli T

n

spełnia warunek Cauchyego to S

n

również.

background image

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 43

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

taki, że szereg

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny

wtedy szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech S

n

=

n

P

k=1

a

k

, T

n

=

n

P

k=1

|a

k

| wtedy dla m > n mamy

|S

m

− S

n

| ≤ T

m

− T

n

.

Jeśli T

n

spełnia warunek Cauchyego to S

n

również.

background image

ZBIEZNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA

DEFINICJA 44

Niech b

,

edzie dany szereg

P

n=1

a

n

jeżeli szereg

P

n=1

|a

n

| jest zbieżny to

mówimy, że szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny bezwzgl

,

ednie. Jeżeli szereg

P

n=1

|a

n

| jest rozbieżny, a szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny to mówimy, że szereg

P

n=1

a

n

jest zbieżny warunkowo.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

TWIERDZENIE 45

Jeżeli ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

n=1

a

n

jest ograniczony a ci

,

ag {b

n

}

jest nierosn

,

acy i zbieżny do zera to

P

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

DOWÓD:

Niech A

k

=

k

P

n=1

a

n

i ∀k ∈ N |A

k

| ≤ M.

Dla q > p > 1 mamy

q

P

n=p+1

a

n

b

n

=

q

P

n=p+1

(A

n

− A

n−1

)b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q

P

n=p+1

A

n−1

b

n

=

q

P

n=p+1

A

n

b

n

q−1

P

n=p

A

n

b

n+1

=

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Zauważmy jeszcze, że

|S

q

− S

p

| = |

q

P

n=p+1

a

n

b

n

| = |

q−1

P

n=p+1

A

n

(b

n

− b

n+1

) + A

q

b

q

− A

p

b

p+1

| ≤

|M |

q−1

P

n=p+1

|b

n

− b

n+1

| + |b

q

| + |b

p+1

|

!

= 2M b

p+1

.

Z drugiej strony ∀ε > 0 ∃n

0

∀q > p > n

0

b

p+1

<

ε

2M

,

a co za tym idzie |S

q

− S

p

| < ε.

Zatem {S

n

} jest ciągiem Cauchy’ego i jako taki jest zbieżny do granicy

właściwej.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

PRZYKŁAD 46

Dla x 6= 2kπ i p > 0 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

Rzeczywiście zachodzi wzór

n

P

k=1

cos kx =

1 + cosnx − cos(n + 1)x − cosx

2(1 − cosx)

− 1.

Wynika st

,

ad, że ci

,

ag sum cz

,

eściowych szeregu

P

k=1

coskx jest ograniczony,

a {

1

n

p

}

n=1

jest malej

,

acy i ma granic

,

e zero przy n zmierzaj

,

acym do

nieskończoności.

Na mocy Twierdzenia 44 szereg

P

n=1

cos nx

n

p

jest zbieżny.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 47

Mówimy że szereg

P

n=1

(−1)

n

a

n

jest szeregiem naprzemiennym

jeżeli ∀n ∈ N a

n

≥ a

n+1

> 0 i lim

n→∞

a

n

= 0.

TWIERDZENIE 48

Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.

DOWÓD:

Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 47

Mówimy że szereg

P

n=1

(−1)

n

a

n

jest szeregiem naprzemiennym

jeżeli ∀n ∈ N a

n

≥ a

n+1

> 0 i lim

n→∞

a

n

= 0.

TWIERDZENIE 48

Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.

DOWÓD:

Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 47

Mówimy że szereg

P

n=1

(−1)

n

a

n

jest szeregiem naprzemiennym

jeżeli ∀n ∈ N a

n

≥ a

n+1

> 0 i lim

n→∞

a

n

= 0.

TWIERDZENIE 48

Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.

DOWÓD:

Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 47

Mówimy że szereg

P

n=1

(−1)

n

a

n

jest szeregiem naprzemiennym

jeżeli ∀n ∈ N a

n

≥ a

n+1

> 0 i lim

n→∞

a

n

= 0.

TWIERDZENIE 48

Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.

DOWÓD:

Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

P

n=1

b

n

jest

zbieżny to zbieżny jest

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

P

n=1

a

n

= A oraz

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

c

n

= AB.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

P

n=1

b

n

jest

zbieżny to zbieżny jest

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

P

n=1

a

n

= A oraz

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

c

n

= AB.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

P

n=1

b

n

jest

zbieżny

to zbieżny jest

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

P

n=1

a

n

= A oraz

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

c

n

= AB.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

P

n=1

b

n

jest

zbieżny to zbieżny jest

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

P

n=1

a

n

= A oraz

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

c

n

= AB.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DEFINICJA 49

Iloczynem Cauchy’ego szeregów

P

n=1

a

n

,

P

n=1

b

n

nazywamy szereg

P

n=1

c

n

, gdzie c

n

=

n

P

k=1

a

k

b

n+1−k

.

TWIERDZENIE 50

Jeżeli szereg

P

n=1

a

n

jest bezwzgl

,

ednie zbieżny, a szereg

P

n=1

b

n

jest

zbieżny to zbieżny jest

P

n=1

c

n

iloczyn Cauchy’ego tych szeregów.

Ponadto, jeżeli

P

n=1

a

n

= A oraz

P

n=1

b

n

= B to

P

n=1

c

n

= AB.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|.

Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) =

A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ 1 oznaczmy A

n

=

P

k=1

a

k

B

n

=

n

P

k=1

b

k

C

n

=

n

P

k=1

c

k

β

n

= B − B

n

α =

P

k=1

|a

k

|. Mamy

C

n

=

n

P

k=1

k

P

m=1

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

n

P

k=m

a

m

b

k+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B

n+1−m

=

n

P

m=1

a

m

B +

n

P

m=1

a

m

(B

n+1−m

− B) = A

n

B −

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

Niech γ

n

=

n

P

m=1

a

m

β

n+1−m

. Wystarczy pokazać, że lim

n→∞

γ

n

= 0.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Z uwagi na lim

n→∞

β

n

= 0 możemy wybrać n

0

tak duże aby ∀n ≥ n

0

n

| <

ε

.

Wybieraj

,

ac n

1

tak duże aby ∀n ≥ n

1

zachodziła nierówność

|a

n

| <

ε

2n

0

max{|β

q

| : q ∈ N}

otrzymujemy dla n > n

0

+ n

1

n

| ≤ |

n−n

0

P

m=1

a

m

β

n+1−m

| + |

n

P

m=n−n

0

+1

a

m

β

n+1−m

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Z uwagi na lim

n→∞

β

n

= 0 możemy wybrać n

0

tak duże aby ∀n ≥ n

0

n

| <

ε

.

Wybieraj

,

ac n

1

tak duże aby ∀n ≥ n

1

zachodziła nierówność

|a

n

| <

ε

2n

0

max{|β

q

| : q ∈ N}

otrzymujemy dla n > n

0

+ n

1

n

| ≤ |

n−n

0

P

m=1

a

m

β

n+1−m

| + |

n

P

m=n−n

0

+1

a

m

β

n+1−m

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Z uwagi na lim

n→∞

β

n

= 0 możemy wybrać n

0

tak duże aby ∀n ≥ n

0

n

| <

ε

.

Wybieraj

,

ac n

1

tak duże aby ∀n ≥ n

1

zachodziła nierówność

|a

n

| <

ε

2n

0

max{|β

q

| : q ∈ N}

otrzymujemy dla n > n

0

+ n

1

n

| ≤ |

n−n

0

P

m=1

a

m

β

n+1−m

| + |

n

P

m=n−n

0

+1

a

m

β

n+1−m

|

<

ε
2

+

ε
2

= ε.

background image

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH

Z uwagi na lim

n→∞

β

n

= 0 możemy wybrać n

0

tak duże aby ∀n ≥ n

0

n

| <

ε

.

Wybieraj

,

ac n

1

tak duże aby ∀n ≥ n

1

zachodziła nierówność

|a

n

| <

ε

2n

0

max{|β

q

| : q ∈ N}

otrzymujemy dla n > n

0

+ n

1

n

| ≤ |

n−n

0

P

m=1

a

m

β

n+1−m

| + |

n

P

m=n−n

0

+1

a

m

β

n+1−m

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

background image

OTOCZENIA

DEFINICJA 51

Otoczeniem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

O(x

0

, ε) := {x ∈ R : |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε).

Otoczeniem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := [x

0

, x

0

+ ε).

Otoczeniem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

].

background image

OTOCZENIA

DEFINICJA 51

Otoczeniem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

O(x

0

, ε) := {x ∈ R : |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε).

Otoczeniem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := [x

0

, x

0

+ ε).

Otoczeniem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

].

background image

OTOCZENIA

DEFINICJA 51

Otoczeniem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

O(x

0

, ε) := {x ∈ R : |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε).

Otoczeniem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := [x

0

, x

0

+ ε).

Otoczeniem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór O

+

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

].

background image

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.

background image

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.

background image

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.

background image

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.

background image

SĄSIEDZTWA

DEFINICJA 52

S

,

asiedztwem punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy zbiór

S(x

0

, ε) := {x ∈ R : 0 < |x − x

0

| < ε} = (x

0

− ε, x

0

+ ε) \ {x

0

}.

S

,

asiedztwem prawostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0

nazywamy zbiór S

+

(x

0

, ε) := (x

0

, x

0

+ ε).

S

,

asiedztwem lewostronnym punktu x

0

∈ R o promieniu ε > 0 nazywamy

zbiór S

(x

0

, ε) := (x

0

− ε, x

0

).

S

,

asiedztwem ∞ nazywamy zbiór postaci S(∞) := (a, ∞).

S

,

asiedztwem −∞ nazywamy zbiór postaci S(−∞) := (−∞, a), gdzie

a ∈ R.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2010 11 07 WIL Wyklad 07
PD W2 Wstep do j Prolog(2010 11 05) 1 1
2010 11 05(2),19,26 szeregi, geometria analityczna
2010 11 05 Życiorysdy działaczy Obozu Narodowo Radykalnego
PD W2 Wstep do j Prolog(2010 11 05) 1 1
2010 11 05(2),19,26 szeregi, geometria analityczna
2010 11 05 Blumsztajn i paroksyzm

więcej podobnych podstron