Wykład 08
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nast
,
epuj
,
ace granice specjalne:
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
Jeżeli lim
x→x
0
|f (x)| = ∞ to lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1,
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
e
f (x)
−1
f (x)
= 1,
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
(1+x)
α
−1
x
= α,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
(1+f (x))
alpha
−1
f (x)
= α,
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
sin f (x)
f (x)
= 1.
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
∀{x
n
} takiego, że lim
n→∞
|x
n
| = ∞ zachodzi równośc lim
n→∞
(1 +
1
x
n
)
x
n
= e.
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine’go granicy funkcji, że
lim
|x|→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Wiemy, że ∀ε > 0
∃M, że ∀x takich, że |x| ≥ M
|(1 +
1
x
)
x
− e| < ε.
Z drugiej strony ∀M
∃δ > 0 takie, że ∀x
( 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ f (x) > M.)
Mamy stąd dla x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) \ {x
0
}
|(1 +
1
f (x)
)
f (x)
− e| < ε.
Czyli lim
x→x
0
(1 +
1
f (x)
)
f (x)
= e.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
,
Ale lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1
i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
ln(1+f (x))
f (x)
= 1 i mamy stąd
lim
x→0
e
x
− 1
x
= lim
x→0
e
x
− 1
ln(1 + e
x
− 1)
= 1.
lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
x
=
= lim
x→0
e
αln(1+x)
− 1
αln(1 + x)
·
αln(1 + x)
x
= α.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
pokazać, że lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x
2
≤
x|OB|
2
2
≤
|OB| · tg x
2
.
Stąd sin x ≤ x ≤ tg x.
Dzieląc przez
sin x > 0 mamy:
1 ≤
x
sin x
≤
1
cos x
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim
x→0
+
x
sin x
= 1.
Zatem lim
x→0
+
sin x
x
= 1.
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
lim
x→0
tgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
arcsinx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc sin f (x)
f (x)
= 1.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→0
arctgx
x
= 1,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
arc tg f (x)
f (x)
= 1.
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
,
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
log
a
(1+f (x))
f (x)
=
1
ln a
.
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a.
Jeżeli lim
x→x
0
f (x) = 0 to lim
x→x
0
a
f (x)
−1
f (x)
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
=
lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
=
lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
=
1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
=
lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
=
lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
·
ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a
= ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
lim
x→0
tgx
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1,
lim
x→0
arcsinx
x
= lim
x→0
arcsinx
sin arcsinx
= 1,
lim
x→0
arctgx
x
= lim
x→0
arctgx
tg arctgx
= 1,
lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
ln a
=
1
ln a
,
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
x
= lim
x→0
e
xln a
− 1
xln a
· ln a = ln a.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKŁAD 92
lim
x→x
0
sin x − sin x
0
x − x
0
=
2sin
x−x
0
2
cos
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= cos x
0
.
lim
x→x
0
cos x − cos x
0
x − x
0
=
−2sin
x−x
0
2
sin
x+x
0
2
2
x−x
0
2
= −sin x
0
.
lim
x→x
0
a
x
− a
x
0
x − x
0
= a
x
0
a
x−x
0
− 1
x − x
0
= a
x
0
ln a.
lim
x→x
0
x
α
− x
α
0
x − x
0
= lim
x→x
0
x
α
0
x
0
+x−x
0
x
0
α
− 1
x − x
0
=
lim
x→x
0
x
α
0
1 +
x−x
0
x
0
α
− 1
x
0
x−x
0
x
0
= αx
α−1
0
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→x
0
log
a
x − log
a
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
0
+x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
lim
x→x
0
log
a
1 +
x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
1
x
0
ln a
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→x
0
log
a
x − log
a
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
0
+x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
lim
x→x
0
log
a
1 +
x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
1
x
0
ln a
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→x
0
log
a
x − log
a
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
0
+x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
lim
x→x
0
log
a
1 +
x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
1
x
0
ln a
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→x
0
log
a
x − log
a
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
0
+x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
lim
x→x
0
log
a
1 +
x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
1
x
0
ln a
.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
lim
x→x
0
log
a
x − log
a
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
x
0
x − x
0
= lim
x→x
0
log
a
x
0
+x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
lim
x→x
0
log
a
1 +
x−x
0
x
0
x
0
x−x
0
x
0
=
1
x
0
ln a
.
POCHODNA
DEFINICJA 93
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli
istnieje granica właściwa lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
.
TWIERDZENIE 94
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli ma
pochodn
,
a w punkcie x
0
to jest w tym punkcie ci
,
agła.
DOWÓD:
Funkcja ω(x
0
, x) =
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
− f
0
(x
0
)
dla x 6= x
0
,
0
dla x = x
0
jest ci
,
agła w
zerze.
POCHODNA
DEFINICJA 93
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli
istnieje granica właściwa lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
.
TWIERDZENIE 94
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli ma
pochodn
,
a w punkcie x
0
to jest w tym punkcie ci
,
agła.
DOWÓD:
Funkcja ω(x
0
, x) =
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
− f
0
(x
0
)
dla x 6= x
0
,
0
dla x = x
0
jest ci
,
agła w
zerze.
POCHODNA
DEFINICJA 93
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli
istnieje granica właściwa lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
.
TWIERDZENIE 94
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli ma
pochodn
,
a w punkcie x
0
to jest w tym punkcie ci
,
agła.
DOWÓD:
Funkcja ω(x
0
, x) =
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
− f
0
(x
0
)
dla x 6= x
0
,
0
dla x = x
0
jest ci
,
agła w
zerze.
POCHODNA
DEFINICJA 93
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli
istnieje granica właściwa lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
.
TWIERDZENIE 94
Niech dana b
,
edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x
0
. Jeżeli ma
pochodn
,
a w punkcie x
0
to jest w tym punkcie ci
,
agła.
DOWÓD:
Funkcja ω(x
0
, x) =
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
− f
0
(x
0
)
dla x 6= x
0
,
0
dla x = x
0
jest ci
,
agła w
zerze.
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b)
to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b) to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b) to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b) to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b) to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
Mamy ponadto f (x) = f (x
0
) + (x − x
0
)f
0
(x
0
) + (x − x
)
ω(x
0
, x) czyli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn
,
a w każdym punkcie punkcie
x ∈ (a, b) to funkcj
,
e f
0
: (a, b) 3 x −→ f
0
(x) ∈ R nazywamy funkcj
,
a
pochodn
,
a funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace wzory:
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(a
x
)
0
= a
x
ln a,
(log
a
x)
0
=
1
xln a
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= −sin x,
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech b
,
edzie dana bijekcja ci
,
agła f : (a, b) −→ (c, d), x
0
∈ (a, b) i niech
f
0
(x
0
) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn
,
a w punkcie y
0
= f (x
0
)
i ponadto (f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
DOWÓD:
lim
y→y
0
f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)
y − y
0
= lim
x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
=
1
f
0
(x
0
)
.
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech b
,
edzie dana bijekcja ci
,
agła f : (a, b) −→ (c, d), x
0
∈ (a, b) i niech
f
0
(x
0
) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn
,
a w punkcie y
0
= f (x
0
)
i ponadto (f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
DOWÓD:
lim
y→y
0
f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)
y − y
0
= lim
x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
=
1
f
0
(x
0
)
.
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech b
,
edzie dana bijekcja ci
,
agła f : (a, b) −→ (c, d), x
0
∈ (a, b) i niech
f
0
(x
0
) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn
,
a w punkcie y
0
= f (x
0
)
i ponadto (f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
DOWÓD:
lim
y→y
0
f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)
y − y
0
= lim
x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
=
1
f
0
(x
0
)
.
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech b
,
edzie dana bijekcja ci
,
agła f : (a, b) −→ (c, d), x
0
∈ (a, b) i niech
f
0
(x
0
) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn
,
a w punkcie y
0
= f (x
0
)
i ponadto (f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
DOWÓD:
lim
y→y
0
f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)
y − y
0
= lim
x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
=
1
f
0
(x
0
)
.
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech b
,
edzie dana bijekcja ci
,
agła f : (a, b) −→ (c, d), x
0
∈ (a, b) i niech
f
0
(x
0
) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn
,
a w punkcie y
0
= f (x
0
)
i ponadto (f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
DOWÓD:
lim
y→y
0
f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)
y − y
0
= lim
x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
=
1
f
0
(x
0
)
.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
PRZYKŁAD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
(arccos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
,
DOWÓD:
Niech x = sin y dla y ∈ [−
π
2
,
π
2
] wówczas y = arc sin x.
Mamy: (arc sin x)
0
=
1
(sin y)
0
=
1
cos y
=
1
p
1 − sin
2
y
.
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x
0
maj
,
a pochodn
,
a w
punkcie x
0
to funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj
,
a pochodn
,
a w punkcie
x
0
i ponadto
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + g
0
(x
0
)f (x
0
).
DOWÓD:
lim
x→x
0
(f + g)(x) − (f + g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) + g(x) − f (x
0
) − g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
+
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
lim
x→x
0
(f · g)(x) − (f · g)(x
0
)
x − x
0
= lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
) + f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x) · g(x) − f (x) · g(x
0
)
x − x
0
+
f (x) · g(x
0
) − f (x
0
) · g(x
0
)
x − x
0
=
lim
x→x
0
f (x)
g(x) − g(x
0
)
x − x
0
+ g(x
0
)
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
=
= f (x
0
)g
0
(x
0
) + g(x
0
)f
0
(x
0
).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 05 WIL Wyklad 05
2010 11 07 WIL Wyklad 07
2010 11 WIL Wyklad 07id 27178 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 03id 27176 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 06id 27177 Nieznany (2)
2010 12 WIL Wyklad 09id 27185 Nieznany (2)
Charakterystyka przedsiębiorstwa turystycznego i jego otoczenia [KOMPLETNY], SEMESTR I, Podstawy Mar
2011 03 08 WIL Wyklad 24
więcej podobnych podstron