Wykład 24
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 03 08
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 03 08(1)
2011 04 04 WIL Wyklad 26
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 2752 Nieznany
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 01 07 WIL Wyklad 14id 2751 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
więcej podobnych podstron