Wykład 17

Witold Obłoza

21 stycznia 2011

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 236

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a

i

k

j

l

}

k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}

.

DEFINICJA 237

Jeżeli macierz A jest macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n to M

k l

oznacza

wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.

TWIERDZENIE 238

Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj

,

acych

a

j k

wynosi a

j k

A

j k

= (−1)

j+k

a

j k

M

j k

.

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 236

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a

i

k

j

l

}

k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}

.

DEFINICJA 237

Jeżeli macierz A jest macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n to M

k l

oznacza

wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.

TWIERDZENIE 238

Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj

,

acych

a

j k

wynosi a

j k

A

j k

= (−1)

j+k

a

j k

M

j k

.

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 236

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a

i

k

j

l

}

k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}

.

DEFINICJA 237

Jeżeli macierz A jest macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n to M

k l

oznacza

wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.

TWIERDZENIE 238

Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj

,

acych

a

j k

wynosi a

j k

A

j k

= (−1)

j+k

a

j k

M

j k

.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

a

j k

A

j, k

=

P

p∈S

n

p(j)=k

(−1)

κ(p)

a

1 p(1)

a

2 p(2)

a

3 p(3)

. . . a

n p(n)

=

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(p)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 p(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(s)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 s(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

M

j k

= a

j k

A

j, k

,

gdzie b

l s(l)

=

(

a

l p(l)

l < j,

a

l+1 p(l+1)

l ≥ j.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

a

j k

A

j, k

=

P

p∈S

n

p(j)=k

(−1)

κ(p)

a

1 p(1)

a

2 p(2)

a

3 p(3)

. . . a

n p(n)

=

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(p)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 p(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(s)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 s(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

M

j k

= a

j k

A

j, k

,

gdzie b

l s(l)

=

(

a

l p(l)

l < j,

a

l+1 p(l+1)

l ≥ j.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

a

j k

A

j, k

=

P

p∈S

n

p(j)=k

(−1)

κ(p)

a

1 p(1)

a

2 p(2)

a

3 p(3)

. . . a

n p(n)

=

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(p)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 p(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(s)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 s(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

M

j k

= a

j k

A

j, k

,

gdzie b

l s(l)

=

(

a

l p(l)

l < j,

a

l+1 p(l+1)

l ≥ j.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

a

j k

A

j, k

=

P

p∈S

n

p(j)=k

(−1)

κ(p)

a

1 p(1)

a

2 p(2)

a

3 p(3)

. . . a

n p(n)

=

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(p)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 p(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(s)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 s(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

M

j k

= a

j k

A

j, k

,

gdzie b

l s(l)

=

(

a

l p(l)

l < j,

a

l+1 p(l+1)

l ≥ j.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

a

j k

A

j, k

=

P

p∈S

n

p(j)=k

(−1)

κ(p)

a

1 p(1)

a

2 p(2)

a

3 p(3)

. . . a

n p(n)

=

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(p)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 p(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

P

s∈S

n−1

(−1)

κ(s)

b

1 s(1)

b

2 s(2)

b

3 s(3)

. . . b

n−1 s(n−1)

=

(−1)

k+j

a

j k

M

j k

= a

j k

A

j, k

,

gdzie b

l s(l)

=

(

a

l p(l)

l < j,

a

l+1 p(l+1)

l ≥ j.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 239

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ

n
l=1

a

j l

A

j l

= Σ

n
l=1

a

l k

A

l k

.

TWIERDZENIE 240

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A

T

s

,

a równe.

Wyznacznik macierzy trójk

,

atnej jest równy iloczynowi wyrazów na

przek

,

atnej.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 239

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ

n
l=1

a

j l

A

j l

= Σ

n
l=1

a

l k

A

l k

.

TWIERDZENIE 240

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A

T

s

,

a równe.

Wyznacznik macierzy trójk

,

atnej jest równy iloczynowi wyrazów na

przek

,

atnej.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 239

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ

n
l=1

a

j l

A

j l

= Σ

n
l=1

a

l k

A

l k

.

TWIERDZENIE 240

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A

T

s

,

a równe.

Wyznacznik macierzy trójk

,

atnej jest równy iloczynowi wyrazów na

przek

,

atnej.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 241

Niech dane b

,

ed

,

a dwie macierze kwadratowe

A = {a

i j

}

i,j∈Z

n

,

B = {b

i j

}

i,j∈Z

n

,

stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z

n

.

Załóżmy, że a

i j

= b

i j

dla j 6= k

wtedy |A| + |B| = |C|,

gdzie

c

i j

=

(

a

i j

dla j 6= k

a

i k

+ b

i k

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 241

Niech dane b

,

ed

,

a dwie macierze kwadratowe

A = {a

i j

}

i,j∈Z

n

,

B = {b

i j

}

i,j∈Z

n

,

stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z

n

.

Załóżmy, że a

i j

= b

i j

dla j 6= k

wtedy |A| + |B| = |C|,

gdzie

c

i j

=

(

a

i j

dla j 6= k

a

i k

+ b

i k

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 241

Niech dane b

,

ed

,

a dwie macierze kwadratowe

A = {a

i j

}

i,j∈Z

n

,

B = {b

i j

}

i,j∈Z

n

,

stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z

n

.

Załóżmy, że a

i j

= b

i j

dla j 6= k

wtedy |A| + |B| = |C|,

gdzie

c

i j

=

(

a

i j

dla j 6= k

a

i k

+ b

i k

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 242

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si

,

e znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si

,

e z samych zer to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn

,

e pomnożymy przez liczb

,

e to

wyznacznik pomnoży si

,

e przez t

,

e liczb

,

e.

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s

,

a proporcjonalne to

wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a

pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si

,

e.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

TWIERDZENIE 243

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,p}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,q}

, C = {c

i j

}

i j∈{1,2...,(p+q)}

takie, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},

c

p+i p+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},

c

i p+j

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , p}, j ∈ {1, 2 . . . , q}

wtedy det C = det A · det B.

TWIERDZENIE 244

Niech b

,

ed

,

a dane macierze kwadratowe A = {a

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

,

B = {b

i j

}

i j∈{1,2...,n}

wtedy det (A B) = det A · det B.

DOWÓD:

Niech D = A B to jest d

i j

= Σ

n
l=1

a

i l

· b

l j

.

WYZNACZNIKI

Utwórzmy macierz
c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},

gdzie δ

i j

=

(

1

i=j,

0

i 6= j.

WYZNACZNIKI

Utwórzmy macierz
c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},

gdzie δ

i j

=

(

1

i=j,

0

i 6= j.

WYZNACZNIKI

Utwórzmy macierz
c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},

gdzie δ

i j

=

(

1

i=j,

0

i 6= j.

WYZNACZNIKI

Utwórzmy macierz
c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},

gdzie δ

i j

=

(

1

i=j,

0

i 6= j.

WYZNACZNIKI

Utwórzmy macierz
c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= b

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},

gdzie δ

i j

=

(

1

i=j,

0

i 6= j.

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż

,

ac

I kolumn

,

e w macierzy C przez b

1 1

, II kolumn

,

e przez b

2 1

itd n-t

,

a przez

b

n 1

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C

(1)

tak

,

a, że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}

c

n+i n+j

= b

i j

dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

i n+j

= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+1

= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+1

= d

i j

dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},

WYZNACZNIKI

Mnoż

,

ac I kolumn

,

e w macierzy C

1

przez b

1 2

, II kolumn

,

e przez b

2 2

itd

n-t

,

a przez b

n 2

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy

macierz C

(2)

.

Kontynuuj

,

ac otrzymamy macierz C

(n)

, tak

,

a że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= d

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},

WYZNACZNIKI

Mnoż

,

ac I kolumn

,

e w macierzy C

1

przez b

1 2

, II kolumn

,

e przez b

2 2

itd

n-t

,

a przez b

n 2

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy

macierz C

(2)

.

Kontynuuj

,

ac otrzymamy macierz C

(n)

, tak

,

a że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= d

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},

WYZNACZNIKI

Mnoż

,

ac I kolumn

,

e w macierzy C

1

przez b

1 2

, II kolumn

,

e przez b

2 2

itd

n-t

,

a przez b

n 2

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy

macierz C

(2)

.

Kontynuuj

,

ac otrzymamy macierz C

(n)

, tak

,

a że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= d

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},

WYZNACZNIKI

Mnoż

,

ac I kolumn

,

e w macierzy C

1

przez b

1 2

, II kolumn

,

e przez b

2 2

itd

n-t

,

a przez b

n 2

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy

macierz C

(2)

.

Kontynuuj

,

ac otrzymamy macierz C

(n)

, tak

,

a że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= d

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},

WYZNACZNIKI

Mnoż

,

ac I kolumn

,

e w macierzy C

1

przez b

1 2

, II kolumn

,

e przez b

2 2

itd

n-t

,

a przez b

n 2

i dodaj

,

ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy

macierz C

(2)

.

Kontynuuj

,

ac otrzymamy macierz C

(n)

, tak

,

a że

c

i j

= a

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i n+j

= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

i n+j

= d

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},

c

n+i j

= −δ

i j

dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}, j ∈ {1, 2 . . . , p},

WYZNACZNIKI

Zmieniaj

,

ac porz

,

adek kolumn otrzymujemy

d

C

(n)

=















d

11

d

12

. . .

d

1n

a

11

a

12

. . .

a

1n

d

21

d

22

. . .

d

2n

a

21

a

22

. . .

a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

d

n1

d

n2

. . .

d

nn

a

n1

a

n2

. . .

a

nn

0

0

. . .

0

−1

0

. . .

0

0

0

. . .

0

0

−1

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

. . .

0

0

0

. . .

−1















.

St

,

ad det C = (−1)

n

det d

C

(n)

= (−1)

2n

det D = det D, a to oznacza, że

|A B| = |A||B|.

WYZNACZNIKI

Zmieniaj

,

ac porz

,

adek kolumn otrzymujemy

d

C

(n)

=















d

11

d

12

. . .

d

1n

a

11

a

12

. . .

a

1n

d

21

d

22

. . .

d

2n

a

21

a

22

. . .

a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

d

n1

d

n2

. . .

d

nn

a

n1

a

n2

. . .

a

nn

0

0

. . .

0

−1

0

. . .

0

0

0

. . .

0

0

−1

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

. . .

0

0

0

. . .

−1















.

St

,

ad det C = (−1)

n

det d

C

(n)

= (−1)

2n

det D = det D, a to oznacza, że

|A B| = |A||B|.

WYZNACZNIKI

Zmieniaj

,

ac porz

,

adek kolumn otrzymujemy

d

C

(n)

=















d

11

d

12

. . .

d

1n

a

11

a

12

. . .

a

1n

d

21

d

22

. . .

d

2n

a

21

a

22

. . .

a

2n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

d

n1

d

n2

. . .

d

nn

a

n1

a

n2

. . .

a

nn

0

0

. . .

0

−1

0

. . .

0

0

0

. . .

0

0

−1

. . .

0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

. . .

0

0

0

. . .

−1















.

St

,

ad det C = (−1)

n

det d

C

(n)

= (−1)

2n

det D = det D, a to oznacza, że

|A B| = |A||B|.

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 245

Macierz

,

a odwrotn

,

a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz

kwadratow

,

a A

−1

tak

,

a, że AA

−1

= A

−1

A = I, gdzie I jest macierz

,

a

jednostkow

,

a.

TWIERDZENIE 246

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn

,

a to det A 6= 0.

TWIERDZENIE 247

Niech A b

,

edzie macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy

istnieje macierz odwrotna A

−1

oraz A

−1

=

1

|A|





A

11

. . .

A

1n

. . .

. . .

. . .

A

n1

. . .

A

nn





T

.

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 245

Macierz

,

a odwrotn

,

a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz

kwadratow

,

a A

−1

tak

,

a, że AA

−1

= A

−1

A = I, gdzie I jest macierz

,

a

jednostkow

,

a.

TWIERDZENIE 246

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn

,

a to det A 6= 0.

TWIERDZENIE 247

Niech A b

,

edzie macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy

istnieje macierz odwrotna A

−1

oraz A

−1

=

1

|A|





A

11

. . .

A

1n

. . .

. . .

. . .

A

n1

. . .

A

nn





T

.

WYZNACZNIKI

DEFINICJA 245

Macierz

,

a odwrotn

,

a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz

kwadratow

,

a A

−1

tak

,

a, że AA

−1

= A

−1

A = I, gdzie I jest macierz

,

a

jednostkow

,

a.

TWIERDZENIE 246

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn

,

a to det A 6= 0.

TWIERDZENIE 247

Niech A b

,

edzie macierz

,

a kwadratow

,

a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy

istnieje macierz odwrotna A

−1

oraz A

−1

=

1

|A|





A

11

. . .

A

1n

. . .

. . .

. . .

A

n1

. . .

A

nn





T

.

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

WYZNACZNIKI

DOWÓD:

Niech C = {c

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

b

,

edzie iloczynem AA

−1

wtedy

c

i j

=

P

n
l=1

a

i l

A

j l

= δ

i j

· |A|.

DEFINICJA 248

Rz

,

edem macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy

maksymalny stopień jej niezerowego minora.

TWIERDZENIE 249

Rz

,

ad macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nie zmieni si

,

e jeżeli

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj

,

e liniow

,

a pozostałych kolumn

( to samo dla wierszy ),

b) usuniemy kolumn

,

e złożon

,

a z samych zer ( to samo dla wierszy ),

c) usuniemy wszystkie z wyj

,

atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to

samo dla wierszy ),

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

UWAGA 250

Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s

,

a jego

wartości na elementach pewnej bazy.

TWIERDZENIE 251

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W. Niech ci

,

ag wektorów

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej V zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Macierz

,

a odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

nazywamy macierz M

A

= {a

i j

}

i∈Z

m

j∈Z

n

, gdzie Av

k

=

P

m
i=1

a

i k

w

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

UWAGA 250

Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s

,

a jego

wartości na elementach pewnej bazy.

TWIERDZENIE 251

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W. Niech ci

,

ag wektorów

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej V zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Macierz

,

a odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

nazywamy macierz M

A

= {a

i j

}

i∈Z

m

j∈Z

n

, gdzie Av

k

=

P

m
i=1

a

i k

w

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

UWAGA 250

Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s

,

a jego

wartości na elementach pewnej bazy.

TWIERDZENIE 251

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W. Niech ci

,

ag wektorów

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej V

zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Macierz

,

a odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

nazywamy macierz M

A

= {a

i j

}

i∈Z

m

j∈Z

n

, gdzie Av

k

=

P

m
i=1

a

i k

w

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

UWAGA 250

Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s

,

a jego

wartości na elementach pewnej bazy.

TWIERDZENIE 251

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W. Niech ci

,

ag wektorów

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej V zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Macierz

,

a odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

nazywamy macierz M

A

= {a

i j

}

i∈Z

m

j∈Z

n

, gdzie Av

k

=

P

m
i=1

a

i k

w

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

UWAGA 250

Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s

,

a jego

wartości na elementach pewnej bazy.

TWIERDZENIE 251

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni

wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W. Niech ci

,

ag wektorów

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej V zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Macierz

,

a odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

nazywamy macierz M

A

= {a

i j

}

i∈Z

m

j∈Z

n

, gdzie Av

k

=

P

m
i=1

a

i k

w

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 252

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym

z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W.

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a

przestrzeni wektorowej V zaś
(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Niech macierz odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

),

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) ma postać M

A

= {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

i niech

x = Σ

n
i=1

α

i

v

i

.

Wtedy Ax = Σ

m
k=1

γ

k

w

k

, gdzie γ

k

= Σ

n
i=1

a

k i

α

i

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 252

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym

z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W.

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a

przestrzeni wektorowej V

zaś

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Niech macierz odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

),

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) ma postać M

A

= {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

i niech

x = Σ

n
i=1

α

i

v

i

.

Wtedy Ax = Σ

m
k=1

γ

k

w

k

, gdzie γ

k

= Σ

n
i=1

a

k i

α

i

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 252

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym

z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W.

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a

przestrzeni wektorowej V zaś
(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Niech macierz odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

),

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) ma postać M

A

= {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

i niech

x = Σ

n
i=1

α

i

v

i

.

Wtedy Ax = Σ

m
k=1

γ

k

w

k

, gdzie γ

k

= Σ

n
i=1

a

k i

α

i

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 252

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym

z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W.

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a

przestrzeni wektorowej V zaś
(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Niech macierz odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

),

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) ma postać M

A

= {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

i niech

x = Σ

n
i=1

α

i

v

i

.

Wtedy Ax = Σ

m
k=1

γ

k

w

k

, gdzie γ

k

= Σ

n
i=1

a

k i

α

i

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 252

Niech A : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym

z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorow

,

a W.

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a

przestrzeni wektorowej V zaś
(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) b

,

edzie baz

,

a uporz

,

adkowan

,

a przestrzeni wektorowej W.

Niech macierz odwzorowania A w bazach (v

1

, v

2

, . . . , v

n

),

(w

1

, w

2

, . . . , w

m

) ma postać M

A

= {a

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

m

i niech

x = Σ

n
i=1

α

i

v

i

.

Wtedy Ax = Σ

m
k=1

γ

k

w

k

, gdzie γ

k

= Σ

n
i=1

a

k i

α

i

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 253

Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M

A◦B

= M

A

· M

B

. Mamy także M

A+B

= M

A

+ M

B

oraz

M

λ·A

= λ · M

A

.

DEFINICJA 254

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) oraz (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) b

,

ed

,

a bazami

uporz

,

adkowanymi przestrzeni wektorowej V.

Macierz

,

a przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

)

nazywamy macierz P

v v

0

= {p

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

n

, gdzie v

0

k

=

P

n
i=1

p

i k

v

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 253

Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M

A◦B

= M

A

· M

B

. Mamy także M

A+B

= M

A

+ M

B

oraz

M

λ·A

= λ · M

A

.

DEFINICJA 254

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) oraz (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) b

,

ed

,

a bazami

uporz

,

adkowanymi przestrzeni wektorowej V.

Macierz

,

a przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

)

nazywamy macierz P

v v

0

= {p

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

n

, gdzie v

0

k

=

P

n
i=1

p

i k

v

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 253

Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać M

A◦B

= M

A

· M

B

. Mamy także M

A+B

= M

A

+ M

B

oraz

M

λ·A

= λ · M

A

.

DEFINICJA 254

Niech ci

,

ag wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) oraz (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) b

,

ed

,

a bazami

uporz

,

adkowanymi przestrzeni wektorowej V.

Macierz

,

a przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

)

nazywamy macierz P

v v

0

= {p

i j

}

i∈Z

n

j∈Z

n

, gdzie v

0

k

=

P

n
i=1

p

i k

v

i

dla

k ∈ Z

n

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

UWAGA 255

Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy

(v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) jest macierz

,

a odzorowania identycznościowego przestrzeni

V z baz

,

a (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) w przestrzeń V z baz

,

a (v

1

, v

2

, . . . , v

n

).

Macierz przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) jest

macierz

,

a odwrotn

,

a do macierzy przejścia od bazy(v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) do bazy

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

).

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

UWAGA 255

Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy

(v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) jest macierz

,

a odzorowania identycznościowego przestrzeni

V z baz

,

a (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) w przestrzeń V z baz

,

a (v

1

, v

2

, . . . , v

n

).

Macierz przejścia od bazy (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) do bazy (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) jest

macierz

,

a odwrotn

,

a do macierzy przejścia od bazy(v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) do bazy

(v

1

, v

2

, . . . , v

n

).

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 256

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

oraz x =

P

n
i=1

α

i

v

i

=

P

n
i=1

α

0
i

v

0

i

to

α

k

= Σ

n
i=1

p

k i

α

0
i

, gdzie {p

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

jest macierz

,

a przejścia od bazy

v do bazy v

0

.

TWIERDZENIE 257

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W

Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= P

w

0

w

M

A w v

P

v v

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 256

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

oraz x =

P

n
i=1

α

i

v

i

=

P

n
i=1

α

0
i

v

0

i

to

α

k

= Σ

n
i=1

p

k i

α

0
i

, gdzie {p

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

jest macierz

,

a przejścia od bazy

v do bazy v

0

.

TWIERDZENIE 257

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W

Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= P

w

0

w

M

A w v

P

v v

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 256

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

oraz x =

P

n
i=1

α

i

v

i

=

P

n
i=1

α

0
i

v

0

i

to

α

k

= Σ

n
i=1

p

k i

α

0
i

, gdzie {p

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

jest macierz

,

a przejścia od bazy

v do bazy v

0

.

TWIERDZENIE 257

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W

Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= P

w

0

w

M

A w v

P

v v

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 256

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

oraz x =

P

n
i=1

α

i

v

i

=

P

n
i=1

α

0
i

v

0

i

to

α

k

= Σ

n
i=1

p

k i

α

0
i

, gdzie {p

i j

}

i, j∈{1,2...,n}

jest macierz

,

a przejścia od bazy

v do bazy v

0

.

TWIERDZENIE 257

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przestrzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W

Niech odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= P

w

0

w

M

A w v

P

v v

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 258

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przes-trzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= Q

−1

M

A w v

P, gdzie P jest macierz

,

a przejścia od

bazy v do v

0

, a Q jest macierz

,

a przejścia od bazy w do w

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

TWIERDZENIE 258

Jeżeli v = (v

1

, v

2

, . . . , v

n

), v

0

= (v

0

1

, v

0

2

, . . . , v

0

n

) s

,

a bazami przes-trzeni V,

a w = (w

1

, w

2

, . . . , w

m

), w

0

= (w

0

1

, w

0

2

, . . . , w

0

m

) s

,

a bazami przestrzeni

W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V −→ W w bazach v, w, ma macierz
M

A w v

to macierz M

A w

0

v

0

= Q

−1

M

A w v

P, gdzie P jest macierz

,

a przejścia od

bazy v do v

0

, a Q jest macierz

,

a przejścia od bazy w do w

0

jest macierz

,

a

odwzorowania A w bazach v

0

, w

0

.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 259

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. J

,

adrem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon

,

a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.

DEFINICJA 260

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon

,

a z elementów b

,

ed

,

acych wartościami odwzorowania f.

TWIERDZENIE 261

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym wtedy

dimker f + dimim f = dim V.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 259

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. J

,

adrem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon

,

a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.

DEFINICJA 260

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon

,

a z elementów b

,

ed

,

acych wartościami odwzorowania f.

TWIERDZENIE 261

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym wtedy

dimker f + dimim f = dim V.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 259

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. J

,

adrem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożon

,

a z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.

DEFINICJA 260

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem

odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożon

,

a z elementów b

,

ed

,

acych wartościami odwzorowania f.

TWIERDZENIE 261

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym wtedy

dimker f + dimim f = dim V.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DOWÓD:

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

r

stanowi

,

a baz

,

e ker f. Możemy j

,

a uzpełnić do bazy

p.w. V. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie t

,

a baz

,

a. Pokażemy, że wektory

f (v

r+1

), f (v

r+2

), . . . , f (v

n

) stanowi

,

a baz

,

e im f.

Jeżeli λ

1

f (v

r+1

) + λ

2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n−r

f (v

n

) = 0 to

f (λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

) = 0 czyli

λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ

i

s

,

a równe

0 otrzymujemy sprzeczność z liniow

,

a niezależności

,

a wektorów

v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ · · · + λ

n

v

n

) =

f (λ

r+1

v

r+1

+ λ

r+2

v

r+2

+ · · · + λ

n

v

n

) = f (λ

r+1

v

r+1

) + f (λ

r+2

v

r+2

) +

· · · + f (λ

n

v

n

) = λ

r+1

f (v

r+1

) + λ

r+2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n

f (v

n

).

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DOWÓD:

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

r

stanowi

,

a baz

,

e ker f. Możemy j

,

a uzpełnić do bazy

p.w. V. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie t

,

a baz

,

a. Pokażemy, że wektory

f (v

r+1

), f (v

r+2

), . . . , f (v

n

) stanowi

,

a baz

,

e im f.

Jeżeli λ

1

f (v

r+1

) + λ

2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n−r

f (v

n

) = 0 to

f (λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

) = 0 czyli

λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ

i

s

,

a równe

0 otrzymujemy sprzeczność z liniow

,

a niezależności

,

a wektorów

v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ · · · + λ

n

v

n

) =

f (λ

r+1

v

r+1

+ λ

r+2

v

r+2

+ · · · + λ

n

v

n

) = f (λ

r+1

v

r+1

) + f (λ

r+2

v

r+2

) +

· · · + f (λ

n

v

n

) = λ

r+1

f (v

r+1

) + λ

r+2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n

f (v

n

).

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DOWÓD:

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

r

stanowi

,

a baz

,

e ker f. Możemy j

,

a uzpełnić do bazy

p.w. V. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie t

,

a baz

,

a. Pokażemy, że wektory

f (v

r+1

), f (v

r+2

), . . . , f (v

n

) stanowi

,

a baz

,

e im f.

Jeżeli λ

1

f (v

r+1

) + λ

2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n−r

f (v

n

) = 0 to

f (λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

) = 0 czyli

λ

1

v

r+1

+ λ

2

v

r+2

+ · · · + λ

n−r

v

n

∈ kerf jeżeli nie wszystkie λ

i

s

,

a równe

0 otrzymujemy sprzeczność z liniow

,

a niezależności

,

a wektorów

v

1

, v

2

, . . . , v

n

.

Niech y ∈ im f wtedy y = f (λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ · · · + λ

n

v

n

) =

f (λ

r+1

v

r+1

+ λ

r+2

v

r+2

+ · · · + λ

n

v

n

) = f (λ

r+1

v

r+1

) + f (λ

r+2

v

r+2

) +

· · · + f (λ

n

v

n

) = λ

r+1

f (v

r+1

) + λ

r+2

f (v

r+2

) + · · · + λ

n

f (v

n

).

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 262

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f

jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.

TWIERDZENIE 263

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie baz

,

a p.w. V, a w

i

=

P

n
j=1

a

j i

v

j

, dla i ∈ Z

r

wtedy w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne wtw, gdy rz

,

ad macierzy

{a

j i

}

i ∈Z

r

, j∈Z

n

jest równy r.

DOWÓD:

Jeżeli rz A = r to zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,

że det





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





6= 0.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 262

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f

jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.

TWIERDZENIE 263

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie baz

,

a p.w. V, a w

i

=

P

n
j=1

a

j i

v

j

, dla i ∈ Z

r

wtedy w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne wtw, gdy rz

,

ad macierzy

{a

j i

}

i ∈Z

r

, j∈Z

n

jest równy r.

DOWÓD:

Jeżeli rz A = r to zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,

że det





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





6= 0.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

DEFINICJA 262

Niech f : V −→ W b

,

edzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f

jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.

TWIERDZENIE 263

Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

b

,

edzie baz

,

a p.w. V, a w

i

=

P

n
j=1

a

j i

v

j

, dla i ∈ Z

r

wtedy w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne wtw, gdy rz

,

ad macierzy

{a

j i

}

i ∈Z

r

, j∈Z

n

jest równy r.

DOWÓD:

Jeżeli rz A = r to zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy możemy założyć,

że det





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





6= 0.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Równość λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

r

w

r

= 0 oznacza równość

Σ

r
j=1

Σ

n
i=1

a

i j

λ

j

v

i

= 0.

St

,

ad, że v

1

, v

2

, . . . , v

n

jest baz

,

a mamy





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr









λ

1

. . .

λ

r





=





0

. . .

0





.

Macierz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





ma odwrotn

,

a, a zatem

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Równość λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

r

w

r

= 0 oznacza równość

Σ

r
j=1

Σ

n
i=1

a

i j

λ

j

v

i

= 0.

St

,

ad, że v

1

, v

2

, . . . , v

n

jest baz

,

a mamy





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr









λ

1

. . .

λ

r





=





0

. . .

0





.

Macierz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





ma odwrotn

,

a, a zatem

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Równość λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

r

w

r

= 0 oznacza równość

Σ

r
j=1

Σ

n
i=1

a

i j

λ

j

v

i

= 0.

St

,

ad, że v

1

, v

2

, . . . , v

n

jest baz

,

a mamy





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr









λ

1

. . .

λ

r





=





0

. . .

0





.

Macierz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





ma odwrotn

,

a, a zatem

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





−1





0

. . .

0





=





0

. . .

0





.

Czyli wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne.

Załóżmy teraz, że rz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

n1

. . .

a

nr





= p < r.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





−1





0

. . .

0





=





0

. . .

0





.

Czyli wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne.

Załóżmy teraz, że rz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

n1

. . .

a

nr





= p < r.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

r1

. . .

a

rr





−1





0

. . .

0





=





0

. . .

0





.

Czyli wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo niezależne.

Załóżmy teraz, że rz





a

11

. . .

a

1r

. . .

. . .

. . .

a

n1

. . .

a

nr





= p < r.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy i wektorów w

1

, w

2

, ·, w

r

możemy

założyć, że det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





6= 0.

Pokażemy, że wektory w

1

, w

2

, . . . , w

p

, w

p+k

dla k ∈ Z

r−p

s

,

a liniowo

zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

, gdzie





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





−1





−a

1 p+1

. . .

−a

p p+1





zeruje si

,

e, mimo

niezerowego współczynnika przy w

p+k

.

Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z

n−p

mamy

0 = det







a

11

. . .

a

1p

a

1 p+k

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

p p+k

a

p+l1

. . .

a

p+l p

a

p+l p+k







=

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy i wektorów w

1

, w

2

, ·, w

r

możemy

założyć, że det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





6= 0.

Pokażemy, że wektory w

1

, w

2

, . . . , w

p

, w

p+k

dla k ∈ Z

r−p

s

,

a liniowo

zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

, gdzie





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





−1





−a

1 p+1

. . .

−a

p p+1





zeruje si

,

e, mimo

niezerowego współczynnika przy w

p+k

.

Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z

n−p

mamy

0 = det







a

11

. . .

a

1p

a

1 p+k

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

p p+k

a

p+l1

. . .

a

p+l p

a

p+l p+k







=

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

Zmieniaj

,

ac kolejność wektorów bazy i wektorów w

1

, w

2

, ·, w

r

możemy

założyć, że det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





6= 0.

Pokażemy, że wektory w

1

, w

2

, . . . , w

p

, w

p+k

dla k ∈ Z

r−p

s

,

a liniowo

zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

, gdzie





λ

1

. . .

λ

r





=





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp





−1





−a

1 p+1

. . .

−a

p p+1





zeruje si

,

e, mimo

niezerowego współczynnika przy w

p+k

.

Rzeczywiście dla dowolnego l ∈ Z

n−p

mamy

0 = det







a

11

. . .

a

1p

a

1 p+k

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

p p+k

a

p+l1

. . .

a

p+l p

a

p+l p+k







=

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

det







a

11

. . .

a

1p

0

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0

a

p+l1

. . .

a

p+l p

Σ

p
j=1

λ

j

a

p+lj

+ a

p+l p+k







=

det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0





· Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

.

Zatem Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

co oznacza, że dla l ∈ Z

n−p

p + l-ta

współrz

,

edna kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest

równa 0.

Z wyboru λ

j

dla j ∈ Z

p

jasne jest, że dla l ∈ Z

p

l-ta współrz

,

edna

kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest równa 0.

St

,

ad wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo zależne.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

det







a

11

. . .

a

1p

0

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0

a

p+l1

. . .

a

p+l p

Σ

p
j=1

λ

j

a

p+lj

+ a

p+l p+k







=

det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0





· Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

.

Zatem Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

co oznacza, że dla l ∈ Z

n−p

p + l-ta

współrz

,

edna kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest

równa 0.

Z wyboru λ

j

dla j ∈ Z

p

jasne jest, że dla l ∈ Z

p

l-ta współrz

,

edna

kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest równa 0.

St

,

ad wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo zależne.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

det







a

11

. . .

a

1p

0

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0

a

p+l1

. . .

a

p+l p

Σ

p
j=1

λ

j

a

p+lj

+ a

p+l p+k







=

det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0





· Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

.

Zatem Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

co oznacza, że dla l ∈ Z

n−p

p + l-ta

współrz

,

edna kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest

równa 0.

Z wyboru λ

j

dla j ∈ Z

p

jasne jest, że dla l ∈ Z

p

l-ta współrz

,

edna

kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest równa 0.

St

,

ad wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo zależne.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

det







a

11

. . .

a

1p

0

. . .

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0

a

p+l1

. . .

a

p+l p

Σ

p
j=1

λ

j

a

p+lj

+ a

p+l p+k







=

det





a

11

. . .

a

1p

. . .

. . .

. . .

a

p1

. . .

a

pp

a

0





· Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

.

Zatem Σ

p
j=1

λ

j

a

p+l j

+ a

p+l p+k

co oznacza, że dla l ∈ Z

n−p

p + l-ta

współrz

,

edna kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest

równa 0.

Z wyboru λ

j

dla j ∈ Z

p

jasne jest, że dla l ∈ Z

p

l-ta współrz

,

edna

kombinacji λ

1

w

1

+ λ

2

w

2

+ λ

3

w

3

+ · · · + λ

p

w

p

+ w

p+k

jest równa 0.

St

,

ad wektory w

1

, w

2

, . . . , w

r

s

,

a liniowo zależne.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

UWAGA 264

Rz

,

ad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego

odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.

MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO

UWAGA 264

Rz

,

ad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego

odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 265

Macierz

,

a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )

(?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

nazywamy macierz

A = {a

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

,

a macierz

,

a uzupełnion

,

a tego układu nazywamy macierz

(??)





a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

a

m2

. . .

a

mn

b

m





.

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 265

Macierz

,

a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )

(?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

nazywamy macierz

A = {a

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

,

a macierz

,

a uzupełnion

,

a tego układu nazywamy macierz

(??)





a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

a

m2

. . .

a

mn

b

m





.

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 265

Macierz

,

a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )

(?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

nazywamy macierz

A = {a

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

,

a macierz

,

a uzupełnion

,

a tego układu nazywamy macierz

(??)





a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

a

m2

. . .

a

mn

b

m





.

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 265

Macierz

,

a układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )

(?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

nazywamy macierz

A = {a

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

,

a macierz

,

a uzupełnion

,

a tego układu nazywamy macierz

(??)





a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

. . .

. . .

. . .

. . .

a

m1

a

m2

. . .

a

mn

b

m





.

UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1







a

11

a

21

. . .

a

m1







+ x

2







a

12

a

22

. . .

a

m2







+ · · · + x

n







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







=







b

1

b

2

. . .
b

m







UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1







a

11

a

21

. . .

a

m1







+ x

2







a

12

a

22

. . .

a

m2







+ · · · + x

n







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







=







b

1

b

2

. . .
b

m







UKŁADY RÓWNAŃ

DEFINICJA 266

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.

TWIERDZENIE 267

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

DOWÓD:

Układ (?) jest równoważny równaniu macierzowemu

x

1







a

11

a

21

. . .

a

m1







+ x

2







a

12

a

22

. . .

a

m2







+ · · · + x

n







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







=







b

1

b

2

. . .
b

m







UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor







b

1

b

2

. . .
b

m







jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów







a

11

a

21

. . .

a

m1







,







a

12

a

22

. . .

a

m2







, . . .







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor







b

1

b

2

. . .
b

m







jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów







a

11

a

21

. . .

a

m1







,







a

12

a

22

. . .

a

m2







, . . .







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor







b

1

b

2

. . .
b

m







jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów







a

11

a

21

. . .

a

m1







,







a

12

a

22

. . .

a

m2







, . . .







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor







b

1

b

2

. . .
b

m







jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów







a

11

a

21

. . .

a

m1







,







a

12

a

22

. . .

a

m2







, . . .







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

UKŁADY RÓWNAŃ

powyższy układ ma rozwi

,

azanie wtw, gdy wektor







b

1

b

2

. . .
b

m







jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów







a

11

a

21

. . .

a

m1







,







a

12

a

22

. . .

a

m2







, . . .







a

1n

a

2n

. . .

a

mn







czyli, gdy rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy

zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det





a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn





UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det





a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn





UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det





a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn





UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det





a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn





UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 268

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(? ? ?)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

n 1

x

1

+ a

n 2

x

2

+ · · · + a

n n

x

n

= b

n

i niech rz

,

ad macierzy tego układu jest równy n.

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwi

,

azanie dane wzorami x

i

=

W

i

W

,

gdzie W = det{a}

i j

,

a

W

i

= det





a

11

. . .

a

1 i−1

b

1

a

1 i+1

. . .

a

1n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a . . .

a

n1

. . .

a

3 i−1

a

n

a

3 i+1

. . .

a

nn





UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







x

1

x

2

. . .

x

m







, B =







b

1

b

2

. . .
b

m







Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1







b

1

b

2

. . .
b

m







=







x

1

x

2

. . .

x

m







.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· M

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







x

1

x

2

. . .

x

m







, B =







b

1

b

2

. . .
b

m







Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1







b

1

b

2

. . .
b

m







=







x

1

x

2

. . .

x

m







.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· M

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







x

1

x

2

. . .

x

m







, B =







b

1

b

2

. . .
b

m







Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1







b

1

b

2

. . .
b

m







=







x

1

x

2

. . .

x

m







.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· M

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







x

1

x

2

. . .

x

m







, B =







b

1

b

2

. . .
b

m







Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1







b

1

b

2

. . .
b

m







=







x

1

x

2

. . .

x

m







.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· M

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

UKŁADY RÓWNAŃ

DOWÓD:

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







x

1

x

2

. . .

x

m







, B =







b

1

b

2

. . .
b

m







Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A

−1

.

Mamy zatem

A

−1







b

1

b

2

. . .
b

m







=







x

1

x

2

. . .

x

m







.

Czyli x

j

=

1

detA

n

P

l=1

b

l

· M

l j

=

W

i

W

.

Co kończy dowód.

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 269

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi



















a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 269

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi



















a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 269

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi



















a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l

UKŁADY RÓWNAŃ

TWIERDZENIE 269

Niech dany b

,

edzie układ równań liniowych

(∗)



















a

1 1

x

1

+ a

1 2

x

2

+ · · · + a

1 n

x

n

= b

1

a

2 1

x

1

+ a

2 2

x

2

+ · · · + a

2 n

x

n

= b

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m 1

x

1

+ a

m 2

x

2

+ · · · + a

m n

x

n

= b

m

i niech r rz

,

ad macierzy tego układu jest równy rz

,

edowi macierzy

uzupełnionej tego układu.

Niech det {a

i

k

j

l

}

k, l∈Z

r

6= 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi



















a

i

1

j

1

x

j

1

+ a

i

1

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

1

j

r

x

j

r

= b

i

1

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

1

l

x

l

a

i

2

j

1

x

j

1

+ a

i

2

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

2

j

r

x

j

r

= b

i

2

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

2

l

x

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

i

r

j

1

x

j

1

+ a

i

r

j

2

x

j

2

+ · · · + a

i

r

j

r

x

j

r

= b

i

r

−

P

l /

∈{j

1

,j

2

,...j

r

}

a

i

r

l

x

l