Wykład 17
Witold Obłoza
25 stycznia 2011
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {a
i
k
j
l
}
k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}
.
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n to M
k l
oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawieraj
,
acych
a
j k
wynosi a
j k
A
j k
= (−1)
j+k
a
j k
M
j k
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
a
j k
A
j, k
=
P
p∈S
n
p(j)=k
(−1)
κ(p)
a
1 p(1)
a
2 p(2)
a
3 p(3)
. . . a
n p(n)
=
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(p)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 p(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
P
s∈S
n−1
(−1)
κ(s)
b
1 s(1)
b
2 s(2)
b
3 s(3)
. . . b
n−1 s(n−1)
=
(−1)
k+j
a
j k
M
j k
= a
j k
A
j, k
,
gdzie b
l s(l)
=
(
a
l p(l)
l < j,
a
l+1 p(l+1)
l ≥ j.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Σ
n
l=1
a
j l
A
j l
= Σ
n
l=1
a
l k
A
l k
.
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A
T
s
,
a równe.
Wyznacznik macierzy trójk
,
atnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przek
,
atnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane b
,
ed
,
a dwie macierze kwadratowe
A = {a
i j
}
i,j∈Z
n
,
B = {b
i j
}
i,j∈Z
n
,
stopnia n a liczba naturalna k ∈ Z
n
.
Załóżmy, że a
i j
= b
i j
dla j 6= k
wtedy |A| + |B| = |C|,
gdzie
c
i j
=
(
a
i j
dla j 6= k
a
i k
+ b
i k
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni si
,
e znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa si
,
e z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumn
,
e pomnożymy przez liczb
,
e to
wyznacznik pomnoży si
,
e przez t
,
e liczb
,
e.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny s
,
a proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
si
,
e.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,p}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,q}
, C = {c
i j
}
i j∈{1,2...,(p+q)}
takie, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , p},
c
p+i p+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , q},
c
i p+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , p} j ∈ {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A · det B.
TWIERDZENIE 244
Niech b
,
ed
,
a dane macierze kwadratowe A = {a
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
,
B = {b
i j
}
i j∈{1,2...,n}
wtedy det (A B) = det A · det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest d
i j
= Σ
n
l=1
a
i l
· b
l j
.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= b
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
gdzie δ
i j
=
(
1
i=j,
0
i 6= j.
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A · det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnoż
,
ac
I kolumn
,
e w macierzy C przez b
1 1
, II kolumn
,
e przez b
2 1
itd n-t
,
a przez
b
n 1
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C
(1)
tak
,
a, że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n}
c
n+i n+j
= b
i j
dla i ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
i n+j
= 0 dla i, ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {2, 3 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+1
= 0 dla i ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+1
= d
i j
dla i, ∈ {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnoż
,
ac I kolumn
,
e w macierzy C
1
przez b
1 2
, II kolumn
,
e przez b
2 2
itd
n-t
,
a przez b
n 2
i dodaj
,
ac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C
(2)
.
Kontynuuj
,
ac otrzymamy macierz C
(n)
, tak
,
a że
c
i j
= a
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i n+j
= 0 dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
i n+j
= d
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n},
c
n+i j
= −δ
i j
dla i, j ∈ {1, 2 . . . , n} j ∈ {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniaj
,
ac porz
,
adek kolumn otrzymujemy
d
C
(n)
=
d
11
d
12
. . .
d
1n
a
11
a
12
. . .
a
1n
d
21
d
22
. . .
d
2n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
d
n1
d
n2
. . .
d
nn
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
0
0
. . .
0
−1
0
. . .
0
0
0
. . .
0
0
−1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
0
0
0
. . .
−1
.
St
,
ad det C = (−1)
n
det d
C
(n)
= (−1)
2n
det D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratow
,
a A
−1
tak
,
a, że AA
−1
= A
−1
A = I, gdzie I jest macierz
,
a
jednostkow
,
a.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotn
,
a to det A 6= 0.
TWIERDZENIE 247
Niech A b
,
edzie macierz
,
a kwadratow
,
a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy
istnieje macierz odwrotna A
−1
oraz A
−1
=
1
|A|
A
11
. . .
A
1n
. . .
. . .
. . .
A
n1
. . .
A
nn
T
.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {c
i j
}
i, j∈{1,2...,n}
b
,
edzie iloczynem AA
−1
wtedy
c
i j
=
P
n
l=1
a
i l
A
j l
= δ
i j
· |A|.
DEFINICJA 248
Rz
,
edem macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rz
,
ad macierzy A = {a
i j
}
i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}
nie zmieni si
,
e jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacj
,
e liniow
,
a pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumn
,
e złożon
,
a z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyj
,
atkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane s
,
a jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V −→ W b
,
edzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorow
,
a W. Niech ci
,
ag wektorów
(v
1
, v
2
, . . . , v
n
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej V a
(w
1
, w
2
, . . . , w
m
) b
,
edzie baz
,
a uporz
,
adkowan
,
a przestrzeni wektorowej W.
Macierz
,
a odwzorowania A w bazach (v
1
, v
2
, . . . , v
n
), (w
1
, w
2
, . . . , w
m
)
nazywamy macierz M
A
= {a
i j
}
i∈Z
m
j∈Z
n
, gdzie Av
k
=
P
m
i=1
a
i k
w
i
dla
k ∈ Z
n
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 2752 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
1 292011 01 07 WIL Wyklad 14id Nieznany
1 252010 12 09 WIL Wyklad 09id Nieznany
2011 01 07 WIL Wyklad 14id 2751 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron