Wykład 15

Witold Obłoza

11 stycznia 2011

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 194

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 195

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 194

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 195

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 194

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 195

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 194

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 195

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 194

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 195

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 196

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, a

i i

= a

j j

dla i 6= j,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).