Wykład 21

Witold Obłoza

3 kwietnia 2011

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :











x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :











x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :











x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :











x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

PROSTA I PŁASZCZYZNA

UWAGA 306

Dwie proste

k :











x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :











x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

s

,

a równoległe jeżeli wektory [u

1

, v

1

, w

1

] oraz [u

2

, v

2

, w

2

] s

,

a równoległe.

DEFINICJA 307

Mówimy, że dwie proste s

,

a skośne wtw gdy nie maj

,

a punktów wspólnych

i nie leż

,

a w jednej płaszczyźnie.

PROSTA I PŁASZCZYZNA

UWAGA 306

Dwie proste

k :











x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :











x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

s

,

a równoległe jeżeli wektory [u

1

, v

1

, w

1

] oraz [u

2

, v

2

, w

2

] s

,

a równoległe.

DEFINICJA 307

Mówimy, że dwie proste s

,

a skośne wtw gdy nie maj

,

a punktów wspólnych

i nie leż

,

a w jednej płaszczyźnie.

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|v × P P

0

|

|v|

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|v × P P

0

|

|v|

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|v × P P

0

|

|v|

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|v × P P

0

|

|v|

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 311

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

→

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i

równoległa do wektora −

→

n

l

. Odległość prostych k i l wyraża si

,

e wzorem

d(k, l) =

[−

→

n

k

, −

→

n

l

,

−

−

→

KL]

|−

→

n

k

× −

→

n

l

|

.

TWIERDZENIE 312

Jeżeli dwie proste

k :











x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :











x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

przecinają się to kąt α między

nimi spełnia równanie cos α =

|[u

1

, v

1

, w

1

] ◦ [u

2

, v

2

, w

2

]|

|[u

1

, v

1

, w

1

]| · |[u

2

, v

2

, w

2

]|

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 311

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

→

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i

równoległa do wektora −

→

n

l

. Odległość prostych k i l wyraża si

,

e wzorem

d(k, l) =

[−

→

n

k

, −

→

n

l

,

−

−

→

KL]

|−

→

n

k

× −

→

n

l

|

.

TWIERDZENIE 312

Jeżeli dwie proste

k :











x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :











x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

przecinają się to kąt α między

nimi spełnia równanie cos α =

|[u

1

, v

1

, w

1

] ◦ [u

2

, v

2

, w

2

]|

|[u

1

, v

1

, w

1

]| · |[u

2

, v

2

, w

2

]|

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 311

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

→

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i

równoległa do wektora −

→

n

l

. Odległość prostych k i l wyraża si

,

e wzorem

d(k, l) =

[−

→

n

k

, −

→

n

l

,

−

−

→

KL]

|−

→

n

k

× −

→

n

l

|

.

TWIERDZENIE 312

Jeżeli dwie proste

k :











x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :











x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

przecinają się to kąt α między

nimi spełnia równanie cos α =

|[u

1

, v

1

, w

1

] ◦ [u

2

, v

2

, w

2

]|

|[u

1

, v

1

, w

1

]| · |[u

2

, v

2

, w

2

]|

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 313

Jeżeli prosta k :











x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

przebija płaszczyznę

π : Ax + By + Cz + D = 0

to kąt α między nimi spełnia równanie sin α =

|[u, v, w] ◦ [A, B, C]|

|[u, v, w| · |A, B, C]|

.

NORMA

DEFINICJA 314

Norm

,

a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C nazywamy funkcj

,

e

k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,

2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,

3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .

NORMA

DEFINICJA 314

Norm

,

a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C nazywamy funkcj

,

e

k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,

2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,

3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .

NORMA

DEFINICJA 314

Norm

,

a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C nazywamy funkcj

,

e

k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,

2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,

3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .

NORMA

DEFINICJA 314

Norm

,

a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C nazywamy funkcj

,

e

k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,

2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,

3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .

NORMA

DEFINICJA 314

Norm

,

a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub

K = C nazywamy funkcj

,

e

k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,

2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,

3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .

NORMA

PRZYKŁAD 315

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . v

n

) ∈ R

n

. Funkcje określone następującymi

wzorami s

,

a normami w R

n

k v k

√

·

=

s

n

P

k=1

v

2

k

,

k v k

P

=

n

P

k=1

|v

k

|,

k v k

max

=

max

k∈{1,2,...,n}

|v

k

|.

NORMA

PRZYKŁAD 315

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . v

n

) ∈ R

n

. Funkcje określone następującymi

wzorami s

,

a normami w R

n

k v k

√

·

=

s

n

P

k=1

v

2

k

,

k v k

P

=

n

P

k=1

|v

k

|,

k v k

max

=

max

k∈{1,2,...,n}

|v

k

|.

NORMA

PRZYKŁAD 315

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . v

n

) ∈ R

n

. Funkcje określone następującymi

wzorami s

,

a normami w R

n

k v k

√

·

=

s

n

P

k=1

v

2

k

,

k v k

P

=

n

P

k=1

|v

k

|,

k v k

max

=

max

k∈{1,2,...,n}

|v

k

|.

NORMA

PRZYKŁAD 315

Niech v = (v

1

, v

2

, . . . v

n

) ∈ R

n

. Funkcje określone następującymi

wzorami s

,

a normami w R

n

k v k

√

·

=

s

n

P

k=1

v

2

k

,

k v k

P

=

n

P

k=1

|v

k

|,

k v k

max

=

max

k∈{1,2,...,n}

|v

k

|.

METRYKA

DEFINICJA 316

Metryk

,

a w zbiorze X nazywamy funkcj

,

e

% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2) %(x, y) = %(y, x)

3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).

TWIERDZENIE 317

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk

,

a.

METRYKA

DEFINICJA 316

Metryk

,

a w zbiorze X nazywamy funkcj

,

e

% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2) %(x, y) = %(y, x)

3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).

TWIERDZENIE 317

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk

,

a.

METRYKA

DEFINICJA 316

Metryk

,

a w zbiorze X nazywamy funkcj

,

e

% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2) %(x, y) = %(y, x)

3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).

TWIERDZENIE 317

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk

,

a.

METRYKA

DEFINICJA 316

Metryk

,

a w zbiorze X nazywamy funkcj

,

e

% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2) %(x, y) = %(y, x)

3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).

TWIERDZENIE 317

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk

,

a.

METRYKA

DEFINICJA 316

Metryk

,

a w zbiorze X nazywamy funkcj

,

e

% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj

,

ac

,

a warunki

1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,

2) %(x, y) = %(y, x)

3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).

TWIERDZENIE 317

W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk

,

a.

GRANICA

DEFINICJA 318

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {x

k

}

k∈N

w przestrzeni metrycznej X.

Mówimy, że a ∈ X jest granic

,

a ci

,

agu {x

k

)}

k∈N

w przestrzeni metrycznej

(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy

lim

k→∞

%(x

k

, a) = 0.

Zapisujemy

lim

k−→∞

x

k

= a.

GRANICA

DEFINICJA 318

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {x

k

}

k∈N

w przestrzeni metrycznej X.

Mówimy, że a ∈ X jest granic

,

a ci

,

agu {x

k

)}

k∈N

w przestrzeni metrycznej

(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy

lim

k→∞

%(x

k

, a) = 0.

Zapisujemy

lim

k−→∞

x

k

= a.

GRANICA

DEFINICJA 318

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {x

k

}

k∈N

w przestrzeni metrycznej X.

Mówimy, że a ∈ X jest granic

,

a ci

,

agu {x

k

)}

k∈N

w przestrzeni metrycznej

(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy

lim

k→∞

%(x

k

, a) = 0.

Zapisujemy

lim

k−→∞

x

k

= a.

KULE

DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul

,

a otwart

,

a o środku a

i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.

Kul

,

a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór

K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.

DEFINICJA 320

W przestrzeni metrycznej (X, %)

punkt w nazywamy punktem wewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

KULE

DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul

,

a otwart

,

a o środku a

i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.

Kul

,

a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór

K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.

DEFINICJA 320

W przestrzeni metrycznej (X, %)

punkt w nazywamy punktem wewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

KULE

DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul

,

a otwart

,

a o środku a

i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.

Kul

,

a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór

K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.

DEFINICJA 320

W przestrzeni metrycznej (X, %)

punkt w nazywamy punktem wewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

KULE

DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul

,

a otwart

,

a o środku a

i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.

Kul

,

a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór

K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.

DEFINICJA 320

W przestrzeni metrycznej (X, %)

punkt w nazywamy punktem wewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

KULE

DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul

,

a otwart

,

a o środku a

i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.

Kul

,

a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór

K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.

DEFINICJA 320

W przestrzeni metrycznej (X, %)

punkt w nazywamy punktem wewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,

punkt z nazywamy punktem zewn

,

etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli

∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,

punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.

ZBIORY OTWARTE

DEFINICJA 321

Wn

,

etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów

wewn

,

etrznych.

Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.

Zbiór F nazywamy zbiorem domkni

,

etym jeśli X \ F jest zbiorem

otwartym.

TWIERDZENIE 322

Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U

a

jest zbiorem otwartym to

S

a∈A

U

a

= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U

a

} jest zbiorem otwartym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

U

k

jest otwarty to

n

T

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∀k ∈ Z

n

, x ∈ U

k

} jest otwarty.