Wykład 20
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]||[u
2
, v
2
, w
2
]|
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]||[u
2
, v
2
, w
2
]|
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 2752 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 01 07 WIL Wyklad 14id 2751 Nieznany (2)
BO I WYKLAD 01 3 2011 02 21
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron