Wykład 15

Witold Obłoza

16 stycznia 2011

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

W. Obłoza 2012/13
WIEiK 304/14
czw. 12.45 13.30

K 16.15 17.00
K pt 9.10 9.55

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

LICZBY ZESPOLONE

UWAGA 185

Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.

Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0).

Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a ∈ R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.

Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b ∈ R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).

Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.

Mamy przy tym i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 czyli i

2

= −1.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 186

Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b ∈ R definiujemy

cz

,

eść rzeczywist

,

a Re z = a

cz

,

eść urojon

,

a Im z = b

sprz

,

eżenie z = a − bi

moduł |z| =

√

a

2

+ b

2

oraz arg z jako dowol

,

a liczb

,

e rzeczywist

,

a ϕ dla; której sin ϕ =

b

√

a

2

+ b

2

cos ϕ =

a

√

a

2

+ b

2

. Jeżeli arg z ∈ [0, 2π) to nazywamy go argumentem

głównym i oznaczamy przez Arg z.

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA 187

Dowoln

,

a liczb

,

e zespolon

,

a z możemy przedstawić w postaci nazywanej

postaci

,

a trygonometryczn

,

a liczby zespolonej

z = |z|(cosϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ = arg z.

TWIERDZENIE 188

Mnoż

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły

i dodajemy argumenty.

DOWÓD:

Niech z

1

= |z

1

|(cosϕ

1

+ isin ϕ

1

) i z

2

= |z

2

|(cosϕ

2

+ isin ϕ

2

) wtedy

z

1

· z

2

= |z

1

|(cosϕ

1

+ i sin ϕ

1

) · |z

2

|(cosϕ

2

+ i sin ϕ

2

) =

|z

1

||z

2

| (cosϕ

1

cosϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

+ i(cosϕ

1

sin ϕ

2

+ sinϕ

1

cos ϕ

2

)) =

|z

1

||z

2

|(cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin (ϕ

1

+ ϕ

2

)).

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 189

Dziel

,

ac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i

odejmujemy argumenty.

TWIERDZENIE 190

Podnosz

,

ac liczb

,

e zespolon

,

a w postaci trygonometrycznej do pot

,

egi n

podnosimy moduł do pot

,

egi n i mnożymy argument oprzez n.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 191

Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej

|z|(cosϕ + i sin ϕ), s

,

a postaci ω

k

=

n

p|z|(cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n

),

gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.

TWIERDZENIE 192

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

z

1

± z

2

= z

1

± z

2

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

i jeśli z

2

6= 0 to

z

1

z

2

=

z

1

z

2

.

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) =

2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) =

32i

LICZBY ZESPOLONE

TWIERDZENIE 193

Niech z

1

, z

2

∈ C wtedy

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|,

|z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|,

i jeśli z

2

6= 0 to

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

.

PRZYKŁAD 194

Obliczyć (1 + i)

10

.

Niech z = 1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

π

4

.

z

10

=

√

2

10

(cos

10π

4

+ isin

10π

4

) = 2

5

(cos

π

2

+ isin

π

2

) = 32i

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

LICZBY ZESPOLONE

PRZYKŁAD 195

Obliczyć

3

√

−1 + i.

Niech z = −1 + i wówczs |z| =

√

2 zaś Arg z =

3π

4

.

ω

1

=

6

√

2(cos

π

4

+ i · sin

π

4

)) =

6

√

2(

√

2

2

+ i

√

2

2

),

ω

2

=

6

√

2(cos (

π

4

+

2π

3

) + i · sin (

π

4

+

2π

3

)) =

6

√

2(cos

11π

12

+ i · sin

11π

12

),

ω

3

=

6

√

2(cos (

π

4

+

4π

3

) + i · sin (

π

4

+

4π

3

)) =

6

√

2(cos

19π

12

+ i · sin

19π

12

).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 196

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 197

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 196

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 197

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 196

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 197

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 196

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 197

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 196

Niech K i V b

,

ed

,

a dowolnymi zbioremi każd

,

a funkcj

,

e postaci

J : K × V −→ V nazywamy działaniem zewn

,

etrnym w zbiorze V.

DEFINICJA 197

Czwórk

,

e (V, K, +, ·), gdzie (V, +) jest grup

,

a przemienn

,

a, K ciałem,

· : K × V −→ V działaniem zewn

,

etrznym w V nazywamy przestrzeni

,

a

wektorow

,

a ( liniow

,

a ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione s

,

a warunki

1)∀λ, µ ∈ K ∀x, y ∈ V (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y,

2)∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ V (λµ) · x = λ(µ · x),

3)∀x ∈ V e · x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele

K.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

PRZYKŁAD 198

Przestrzeń R

n

nad R.

W R

n

definiujemy dodawanie wzorem

(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) + (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

)

oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem

λ · (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = (λ · x

1

, λ · x

2

, . . . , λ · x

n

).

W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.

Przestrzeń C

n

nad C.

Przestrzeń C

n

nad R.

Przestrzeń R

n

nad Q.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 199

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA 200

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE 201

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 199

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA 200

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE 201

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 199

Niech V b

,

edzie przestrzeni

,

a wektorow

,

a nad ciałem K. Elementy V

nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.

DEFINICJA 200

Jeżeli (V, K, +, ·) jest przestrzeni

,

a wektorow

,

a i (U, K, +

|U ×U

, ·

|K×U

),

gdzie U ⊂ V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzeni

,

a p.w. V.

TWIERDZENIE 201

U ⊂ V jest podprzestrzeni

,

a p.w. (V, K, +, ·) wtw, gdy

∀u, v ∈ U ∀α ∈ K u + v ∈ U, αv ∈ U.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 202

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA 203

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA 204

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 202

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA 203

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA 204

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 202

Niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

b

,

ed

,

a wektorami, a λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a

skalarami wtedy wyrażenie λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

nazywamy kombinacj

,

a liniow

,

a wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

o

współczynnikach λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

.

DEFINICJA 203

Niech (V, K, +, ·) b

,

edzie p.w. i niech v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

∈ V. Przestrzeni

,

a

generowan

,

a przez v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywam podprzestrzeń liniow

,

a V

złożon

,

a z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

.

DEFINICJA 204

Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy

∀λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

∈ K (λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ λ

3

· v

3

+ · · · + λ

n

· v

n

=

O =⇒ λ

1

= λ

2

= λ

3

= · · · = λ

n

= 0).

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 205

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE 206

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA 207

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 205

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE 206

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA 207

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 205

Jeżeli wektory nie s

,

a liniowo niezależne to mówimy, że s

,

a liniowo zależne.

TWIERDZENIE 206

Warunkiem koniecznym i wystarczaj

,

acym na to aby wektory

v

1

, v

2

, v

3

, . . . , v

n

były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacj

,

a

liniow

,

a pozostałych.

DEFINICJA 207

Mówimy, że wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e w przestrzeni

wektorowej V, jeżeli
1)e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

s

,

a liniowo niezależne,

2)∀a ∈ V wektory e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

, a s

,

a liniowo zależne.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE 208

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE 209

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA 210

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA 211

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE 208

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE 209

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA 210

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA 211

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE 208

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE 209

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA 210

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA 211

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

TWIERDZENIE 208

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V to każdy wektor V można

jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.

TWIERDZENIE 209

Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja mi

,

edzy nimi.

DEFINICJA 210

Liczb

,

e elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.

DEFINICJA 211

Jeżeli e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

tworz

,

a baz

,

e p.w. V i

x = λ

1

· e

1

+ λ

2

· e

2

+ λ

3

· e

3

+ · · · + λ

n

· e

n

to λ

1

, λ

2

, λ

3

, . . . , λ

n

nazywamy współrz

,

ednymi wektora x w bazie e

1

, e

2

, e

3

, . . . , e

n

.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 212

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE 213

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 212

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE 213

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.